adjunk! A műfelháborodásom is ezért volt. (Örülök, hogy nem értetted félre...) :-))))))))))))))

Hát persze! Másnak is adjunk esélyt!

(Nekem már rég megvan, sajnos nehezen haladok vele, kellene már egy kis szabadság és nyugodt körülmények...)

ÉS OTHHAGYTAD Hoffstadter: Gödel-Escher-Bach KÖNYVÉT?!!!

Korábban azt igértem, hogy beszámolok arról az angol nyelvű nemstandard analízis könyvről, amit ezzel kapcsolatos vitáink után sikerült megszereznem. Nos, attól tartok, erre már nincs szükség, ugyanis megjelent Csirmaz László könyve a Typotexnél Nemsztenderd analízis címmel. Ajánlom minden kedves vitapartneremnek, s majd elolvasás után elmélkedjünk róla.

Ezen kívül is érdemes volt elmenni a Retek utcába - figyelem! nem jó a csengő, ajánlatos az alagsori ablakon beszólni, ha valaki be akar hatolni - megvettem a szintén vadonatúj Smullyan könyvet Gödel nemteljességi tételeiről, Dr. Ecco talányos kalandjait Dennis Shashától, valamint Róka Sándor 2000 elemi matematikai feladatát és a Bergengóc példatárat.

Azért érdekes volt.

(Olyan lassú az index, hogy néha egész nap nem jön le egy oldal.)

Ha egy halmaz rekurzív,akkor rekurzíve felsorolható. A r.f. tulajdonság pedig ekvivalens a diofantikussal. Tehát a prímszámok halmaza diofantikus. (Azt én sehol nem írtam, hogy a rekurzív tulajdonság ekvivalens a diofantikussal.)

"Még mindig nem értem, miért nem könnyebb egy polinom helyettesítési értékét kiszámolni, mint mindenféle teszteket elvégezni számokon."

noway!
Még mindig nem értem, miért nem könnyebb egy polinom helyettesítési értékét kiszámolni, mint mindenféle teszteket elvégezni számokon.
Azt most már talán értem, hogy miért nem jók ezek a polinomok nagy prímek generálására.

A prímszámok halmaza rekurzív is, nem csak rekurzíve felsorolható. Vagyis nagyság szerint is felsorolható. Ez pedig nem ekvivalens a diofantikussal. Van olyan halmaz, ami rekurzíve felsorolható, de nem rekurzív. Pl. ez bizonyítja, hogy nincs univerzális megoldás a diofantikus egyenletekre. (Ez nem befolyásolja annak az érdemi részét, amit írtál, csak kötözködtem egy kicsit.)

A prímszámok halmaza rekurzíve felsorolható, tehát diofantikus (ez a két tulajdonság ekvivalens).
(Diofantikus halmaz = van egy olyan P(x₁, x₂, ..., x_n, y) polinom, aminek akkor és csak akkor van zérushelye, ha y eleme a halmaznak.)

Ha P ilyen tulajdonságú, akkor legyen
Q(x₁, x₂, ..., x_n, x_n+1) = (1-2P²(x₁, x₂, ..., x_n, x_n+1))
Ekkor P(x₁, x₂, ..., x_n, x_n+1)=0 esetén Q(x₁, x₂, ..., x_n, x_n+1)=x_n+1, különben Q(x₁, x₂, ..., x_n, x_n+1)<0

Nem találtatok valami idevágó anyagot?

De, ha rögzítek 41 változót, nem biztos, hogy 5-ödfokú polinomot kapok. Hisz egy polinom lehet úgy is 5-ödfokú, hogy 5 változó van összeszorozva.

Olyan a polinom, hogy ha rögzítek pár változót, a legnagyobb fokú tag mindig negatív együtthatójú lesz?

Szerintem ekkora számokat összeszorozgatni lehet, s biztos könnyebb is, mint a Mersenne tesztet megcsinálni.

Idézek:

A max(Q(x1,...,xk),2) kifejezés a változók nemnegatív egész értékeire mindig prímet ad, és minden prímet megad. Az ilyen Q polinomok mindegyike elég komplikált. ... Van 5-ödfokú, ez azonban 42 változót tartalmaz. A jelenleg ismert legegyszerűbb egy 26 változós 25-ödfokú polinom.

Idézet vége.
Később:
Létezik olyan f(n) egy változós kifejezés is, amelyre a max(f(n),2) számok halmaza pontosan a prímszámok halmazával egyező.

Forrás: Lackovich Miklós: Prímképletek. Megjelent a Matematikai mozaik új kiadásában.

Tudtok erről? Van ezek után értelme a nagy prímek keresésének? Így elsőre, amennyire értem, ha a fenti Q polinomot (ami explicit megadva létezik) egy kicsit vizsgálgatjuk, majd a megfelelő változók helyére jó nagy számokat helyettesítünk, baromi nagy prímeket lehet kapni. És egy polinom helyettesítési értékét kiszámolni nem tűnik olyan bonyolultnak.

(Az elliptikus görbék furcsa, hogy megint előjöttek, mert ugye a Nagy Fermat sejtés bizonyításában is elég jelentős szerepet játszottak.)

A cikk arról szólt, hogy a faktorizációs titkosírásoknál (RSA) 512 bites számokat használnak, s azt feltörték x idő alatt. Az elliptikus görbéset 92(?) bites számokkal kb. 4x alatt. Ott említették a diszkrét logaritmust is, de csak futólag. Biztos valami számelméleti fogalom.

(független, nem-hamis): igaz-nem igaz, levezethető-nem levezethető, független-nem független: a 3 fogalom pár nem egyenrangú:

igaz nem azonos levezethető:
a Gödel-formula igaz (tudjuk, hogy az, feltéve persze, hogy a számelm. ellentmondásmentes) de nem levezethető

nem-levezethető nem azonos független:
megintcsak: a Gödel-formula nem levezethető mégis negációja ellentmondásra vezet (tehát nem független)

- - -

Bagoly(formula halmaz)> véges/megszám. formulából álló axiómarendszerekre gondoltam. A matematikai gyakorlatban mást még nem láttam:) Ja és bár száz éve láttam utoljára az S-L-t szerintem ezekre igaz.

ha jol sejtem, valoban igazad van az osztaly fogalom, talan azert lett kitalalva, hogy feloldjak ezt a paradoxont ugy, hogy ertelmes dolgot kapjanak meg mindig. Nos szerintem eleg megmaradni az osztalyoknal leven, hogy bizonyos tulajdonsagu halmazok osszessege mindig osztalyt alkot. Bar gondolom ez nem annyira valasz a kerdesedre :( Az egesznek annyi erteleme van, hogy precizen tudjunk beszelni a matematikai dolgokrol. Szoval ha a tetszoleges letezoknek van valami tulajdonsaga, azon kivul, hogy halmazok, akkor megy a dolog.

GPF,

valoban ELTE-s jegyzetrol van szo, es ha jol tudom barki hozzajuthat, csak nem tudom mikor van nyitva a bolt. A Fermat sejtes kapcsan, gondolom ez a kerdes tisztazodott annak idejen. Meg nem olvastam vissza mindent :) Egyebkent a nem hamis/igaz kerdesrol, egy csomo minden eszembe jut peldaul a modalis logika, tobberteku logikak, sot valoszinusegi modellek is, amelyben nem igaz vagy hamis allitasok vannak, hanem valamely valoszinuseggel igaz allitasok. Sajnos ezekrol nagyon keveset, tudok tul sokat, egyenlore :)))) Szoval gondolom nem mondok ujat, de egy Fi formula E elmelttol valo fuggetlensege azt jelenti, hogy Fi+E is konzisztens, es nem(Fi)+E is. Egyebkent nem igazan hiszem, hogy a Fermat sejtes tipusu tetelek fuggetlenek volnanak (pl. a Riemann sejtes).

Corrigendum az elozo levelemhez:
valoszinuleg elbonyolitottam a G"odel 2. kimondasat, ugyanis eleg lett volna annyit mondani, hogy ha E egy szep elmelet (lasd elozo hozzaszolas), akkor E-bol nem vezetheto le Con(E).
Bocsi igy talan egy kicsit erthetobb.

Még emésztem az előző hozzászólásodat. A Csirmaz az ELTE-s jegyzet, ugye? Most is lehet jegyzetet venni bárkinek? Mikor? Amikor én jártam, még a mostani könyvesbolt volt a jegyzetellátó, s az sokszor nyitva volt, azóta viszont nem találtam soha nyitva a jegyzetboltot.

Na. Régebben beszéltünk a Nagy Fermat könyv egy megjegyzéséről, mi szerint: Ha a Nagy Fermat tétel független lenne, akkor biztos nem lenne hamis, hiszen a hamisságát egy ellenpéldával lehetne cáfolni.

Tehát miért nem igaz ez az okfejtés:

A Nagy Fermat sejtés független => Nem hamis => Igaz.

az utolso kerdesedet sajna nem ertettem :( szoval egy kicsit bovebben si irhatnal, hogy mire gondolsz.

a G"odel tetel a kovetkezo lenne:
szoval PA-ban (szamelmelet, Peano aritmetika, termeszetes szamok) lehet ertelmezni rekurziv fuggvenyeket, azaz olyan fuggvenyeket, amik kiszamolhatoka "rekurziv modon", ez kabe azt jelenti, hogy van a kiszamolasukra vmilyen algortimus. Ha most egy elmelet nyelvenek jeleihez temeszetesen szamokat rendelunk, es persze a logikai jelekhez is, akkor az elmelet formulait (ugyeskedve) de le tudjuk kodolni rekurziv fuggvenyekkel a szamelemlet nyelvere, azaz termeszetes szamokka. (Persze kell, hogy a jelek szama ne legyen tobb mint ahany termeszetes szam van.) Sot nemcsak a formulakat tudjuk igy lekodolni, hanem a levezeteseket is (ugye egy levezetes az formulasorozat). Tehat egy PA modellben "modellezni" tudjuk az elsorendu logikat. Ha most egy elmelet olyan, hogy benne a PA-t tudjuk "modellezni" (ilyen peldaul a halmazelmelet), akkor abban az elmeletben is tudunk levezetesekrol beszelni. Tehat peldaul arrol is, hogy egy formula levezetheto e egy kiindulasi formulahalmazbol, azaz mondjuk egy axiomarendszerbol.
Azt a formulat, ami arrol beszel, hogy az adott E elmelet konzisztens-e, Con(E)-vel szokas jelolni.
Azt a formulat, ami pedig azt mondja, hogy egy Fi formula bizonyithato Pr(Fi)-vel jeloljuk. G"odel 2. nemteljessegi tetele ezek utana kb a kovetkezo: ha egy E elmelet szep (peldaul ebbe az is beletartozik, hogy PA reprezentalhato benne), akkor ha igaz Pr(Pr(Con(E))), akkor igaz Pr(nem(Con(E))) is. Remelem nem rontottam el semmit.... Szoval azt kell latni, hogy a bizonyitas a modellen belul tortenik, mi ennek ellenere nyilvan felulrol nezve, a modellen kivulrol be tudjuk latni, hogy egy elmelet konzisztens-e, azaz van-e modellje vagy nincs. Hiszen PA-rol latjuk, hogy van neki modellje (sot eleg sok, ahogy Nereida is ramutatott). Egyebkent PA helyett Q-rol szokas vegig beszelni, ami a szamelmelet egy gyengitese. Szoval remelem egy kicsit ertheto, amit irtam, ha nem azaz en hibam :) Erdemes peldaul Csirmaz Laszlo: Matematika logika jegyzetet megnezni, abban ugyan G"odel 2. nincs benne, de nagyon jol elmagyarazza ezt a szamokkal valo kodolast.

Azért számomra ez a Gödel tétel elég durván hangzik. Egy kicsit értelmezzétek, vagy mondjatok róla többet!

Na vegre, egy hozzaerto...
Akkor en most elkoszonok egy kis idore.

A Godel tetel eleg erdekes, es amilyen mely eredmenyt mond ki, olyan "eros" feltetelek mellett. Persze azert a halamzelmelet szerencsere kielegiti ezeket a felteteleket. En "nem latom" a paradoxont abban, hogy amit be tudunk bizonyitani az nem igaz :))) Ugye kabe errol szol az emlitett Godel tetelt.

Azt hogy nincsen olyan hogy minden halmazok halmaza azt eleg egyszeruen ki szoktak loni. Definialjak az osztaly fogalmat, ami vmi olyasmi ami nagyobb dolog minden halmaznal. (Ezt a szokasos halmazelmeletben (ZFC), is meg lehet tenni.) Es kijon hogy a halamzok azok bizony osztalyt alkotnak! Vigyazat egy osztaly nem feltetelen eleme a modellnek :)))) Ezutan felmerul a kerdes, hogy az osszes osztaly osztalyt alkot-e? :) Nos a Russel paradoxonhoz teljesen hasonlo bizonyitassal be lehet latni, hogy nem. Es igy definialhatunk egy ujabb fogalmat.... es igy tovabb es igy tovabb...

aztán vannak nemformális problémák: ezek egy része az - legalábbis szerintem - amikor valami szemléletileg evidens, belátható stb. tényt nem tudunk formálisan leirni, megfogni.

Példa1
Szemléletileg belátható az hogy "két halmaz közt értelmezett összes függvény" (formálisan: adott H, K halmazra, a H-n értelmezett K-ra képező fv-ek). Szal ez létező valami:)) ugyanakkor az általam emlitett ál-paradoxon bizonyitja, hogy a fenti tényt nem lehet "kiirni": tudjuk (?) hogy van de formális keretek közt nem tudjuk garantálni

Példa2
Fenti szinte szóról szóra átvihető a hatványhalmazra: tudjuk(?), hogy van adott halmaznak összes részhalnaza, de forálisan ezt nem tudjuk garantálni...

Példa3
Citálható a Gödel tétel is: az a tétel, amiről belátja, hogy nem bizható a számelmélet axiomáival arró tudjuk, hogy igaz (feltéve hogy a Számelmélet konzisztens, különben triviálisan igaz).

Na ellenvéleményt kéreeeeeeeek! Főleg a Gödel példa tünik gyanúsnak nekem:))

miert axiomatikai problema az, ha nem tudok valamit garantalni? A modell ugyanolyan jol mukodik, mint a halmazelmelet - miket beszelek, a modell maga a halmazelmelet.
Russell-paradoxon: nem letezik az osszes halmazok halmaza. A modell tartalmazza 'az osszes halmazt', de nincs olyan eleme, ami ugyanezt megtenne.

A Russel paradoxont itt mire érted? Nem volt teljesen vili:)

a paradoxont konnyu leloni. Ha van egy halmazelmelet-modelled, abban megvan minden szamossag frankon (ugye az kozismert, hogy a szamossagok is halmazok?), amik 'kivulrol' nezve megszamlalhatoak. Viszont a modellben nem lesz olyan halmaz, ami ket kulonbozo szamossag kozotti bijekcio lenne, es ez az ami szamit. Ja, es persze a modell maga onmagaban az 'osszes halmaz halmaza' lenne, vo. Russell-paradoxon.
Az, hogy egy halmaz hatvanyhalmaza nem tartalmaz minden 'elkepzelheto' reszhalmazt, megint csak 'kivulrol' nezve okozhat problemat. A modell azert modell, mert benne ugy mukodik minden, mint a 'valodi' halmazelmeletben.

GPF,

hirtelen elbizonytalanodtam. Szerencsere itt ul mellettem az axiomarendszerekben baromi jartas (volt) evfolyamtarsam. Mingyar' belep, oszt valaszol.

Nereida!
Az, hogy a Peano axiomarendszernek több modellje van nem jó persze, ha a természetes számokat akarjuk leírni, de jó lehet, ha másik axiomarendszer konzisztenciáját akarjuk vizsgálni. Igaz az az állítás, hogy:

Ha a Peano axiomarendszer ellentmondásmentes, akkor a valós számoké is az?

TRIKÓ

Ilyet lehet, hogy vegyük a halmazelmélet egy megszámlálható modelljét? Az nem csak a szűkített halmazelmélettel lehet?

Nereida (ZFC)>
amennyire emléxem ill. belátom a halmazelméletnél a hatványhalmaz-képzés az az axióma, ami "befuccsol": ha teccik az "összes részhalmaz halmaza" az a valami, amit nem lehet formalizálni.

Huhh, a másik (nem emléxem ekvivalens avagy mélyebb) formalizációs probléma a függvények körül van (biekció rulez). Gondoljátok csak meg ezt a "paradoxont":

Vegyük a halmazelmélet egy megszám. modelljét, ebben:

1) a valós és természetes számoknak is megvan a megszámlálható modellje,
2) a valós számok (azaz a modellnek) a számossága a természetes számok hatványhalmazáéval egyezik és
3) ismert tétel hogy egy hatványhalmaz mindig nagyobb számosságú az eredetinél

naszoval, konzisztenciaerosseg: egy axiomarendszer konzisztenciaerosebb egy masiknal, ha a konzisztenciaja (ellentmondasmentessege, ha ugy tetszik) a masiket maga utan vonja. A halmazelmelet a mondottak szerint igen eros; mindenesetre nem teljes, vagyis nem bizonyithato benne minden felirhato allitas, vesd ossze kontinuumhipotezis. Ha egy nem bizonyithato allitast hozzaveszunk, akkor egy erosebb rendszert kapunk.
Van egy olyan megszamlalhato struktura, ami a halmazelmelet minden axiomajat, a vegtelensegit kiveve, tudja. Sot, ha csak veges sok halmazelmeleti axiomat tartunk meg, annak is lesz megszamlalhato modellje.
A konzisztenciaosszehasonlitasra van egy modszer, ami ilyen megszamlalhato halmazelmelet-modelleket hasznal, forszolasnak (forcing) hivjak. Tegyuk fol, hogy van egy modell, amiben igaz nehany specko axioma; a forszolas kiboviti ezt a modellt ugy, hogy tovabbra is megszamlalhato, es egeszen mas axiomak lesznek benne igazak. Ekkor a kiindulasi axiomarendszer konzisztenciaerosebb. Standard pelda a kivalasztasi axioma ki-be-forszolasa.

A Peano-axiomarendszer az egyik leggyengebb. Elvileg a termeszetes szamokat volt hivatott rogziteni. Ehhez kepest kontinuum sok nemizomorf megszamlalhato modellje letezik, es ezek kozul csak egy izomorf a termeszetes szamokkal, de a tobbi is tartalmaz egy azzal izomorf reszstrukturat.

Szerintem pl. az euklideszi geometriában is lehet modellezni a valós számokat, vagy a természetessel is. (Mint ahogy már történt is e topicban erre kezdeményezés.) Így a Peano axiomarendszer ugyanolyan erős, mint a valósoké?
Pedig még a számosságuk sem azonos.

A halmazelméletét nem lehet modellezni valamivel?

nem voltam itthon a hetvegen, de most mar ime a valasz.

Az euklideszi rendszerbol kihagyva a parhuzamossagi axiomat kaphato az 'abszolut geometria', amiben a haromszog szogosszege legfeljebb 180. Nem vagyok geometer, ezert nem tudom, hogy milyen axiomakat kell meg hozzavenni-elhagyni-modositani, hogy meglegyen az elliptikus geometria.

Egyebkent meg van egy konzisztenciaerosseg nevu dolog, amit az axiomarendszerek ertekelesere hasznalnak. (Ez most nagyon nem preciz megfogalmazas.) Egy axiomarendszer erosebb lehet egy masiknal, aminek egyik jele, hogy abban modellezni lehet a masikat. Peldaul a halmazelmelet axiomarendszere (a ZFC) eleg eros, mert vegul is a metematikaban csak halmazokrol esik szo. Ennel gyengebb a valos szamok axiomarendszere. Az euklideszi geometria meg gyengebb, mivel a valos szamparokbol meg lehet csinalni az euklideszi sikot. Az euklideszi illetve Bolyai- (vagy parabolikus illetve hiperbolikus) geometriak konzisztenciaekvivalensek, mivel letezik a paraszfera es a Cayley-Klein modell. Usw, usw...

A Riemann-geometria nem axiomakra epul. Van egy n-dimenzios sokasagod (egy 'dolog', ami minden pontjaban 'ugy nez ki', mint az n-dimenzios euklideszi ter) es ezen kell definialni a metrikus tenzort meg a kovarians derivaciot, amik lenyegeben a tavolsagokat meg az iranyokat rogzitik a sokasagon. Sok icipici terkepdarabkat osszeragasztva kapja az ember a foldgombot. Nem magyarazom tovabb...

Na, ez már tetszik amit írsz a Riemann-georól. Szóval nem az, mint amit az előbb írtál, hogy a gömbfelületen az átellenes pontok azonosnak tekintése mellett? Az egy példa rá? De akkor sem stimmel, hogy a többi euklideszi axiomából levezethető, hogy a szögösszeg < 180 fok.

Ilyen értelemben nem mondható, hogy általánosabb, mivel más axiomákat használ. Vagy elhagy pár axiomát? Akkor könnyű általánosabbnak lenni.

Na, én diffgeo-ból nem voltam erős, az axiomatika, meg a halmazelmélet, meg a logika érdekelt.

azt az ominozus bekezdest otszor fogalmaztam at. Nem elegszer, ugy tunik... Szoval csak a szakma velemenyet probaltam/om kepviselni.

Riemann-geometria: amikor nem egy olyan merev dolgot nezel, mint a sik, vagy a gombfelszin. Meg van adva egy tavolsagstruktura a "feluleten" (akarhany dimenzioban), ami meghatarozza ket pont kozott a legrovidebb utat (geodetikus vonal, az egyenes megfeleloje). Egy ilyennek minden pontban van gorbulete (to:bbfe'le is), es a Gauss-gorbulet mondja meg lenyegeben, hogy annak a pontnak a kornyeken a haromszog szogosszege kisebb vagy nagyobb-e 180 foknal. Altalanosabb, mert mindharom "konstans gorbuletu" geometriat tartalmazza.
Az alt.rel.elm.-ben egy olyan (pszeudo-)Riemann-geometria szerepel, ahol a tavolsagok nem feltetlenul pozitivak, es a gorbulet a pontbeli tomeg-energia-impulzus-suruseg-arammal van osszefuggesben.

A feladat már volt a logikai topicban, bár ott véres banda ment át a függőhídon. Ki az a Taksonyka?

Köszönjük hozzászólásodat.
Hacseknek már elmondtuk ezeket, de nem győzték meg.

A Riemann geo-ról nem ez volt a kérdés, hanem, hogy mit kell elvetni az euklidesziből a párhuzamossági axiomán kívül, mert a többiből levezethető, hogy a háromszög szögösszege nem nagyobb 180 foknál. Miért általánosabb a Riemann geo? Mi az, hogy általánosabb?

Az első bekezdésed nem volt túl szép, de mi nagyon béketűrő emberkék vagyunk.

gondoltam hozzaszolok. Iden szereztem matematikus diplomat, es ugy hiszem, hogy emiatt valamelyest jobb ralatasom van a cimben (gondolom) foglaltakra, mint azok, akik fokent egyeb helyekrol szerzik matematikaval kapcsolatos tudasukat.

Hacseknek, ha meg nem kapott, a valasz:
Barmely ket racionalis/irracionalis szam kozott van racionalis/irracionalis szam. (Ez osszesen negy allitas.) Sot, nem csak egy, hanem megszamlalhato (racionalis), illetve kontinuum sok (irracionalis). Ugy kell elkepzelni, hogy a racionalis es irracionalis szamok a mak-es-porcukor elegy a teszta tetejen.

A 'van 180 foknal nagyobb szogosszegu haromszog' geometriat elliptikus geometrianak hivjak, es ugy kaphato a gombi geometriabol, hogy a gomb atellenes pontjait azonosnak tekintjuk. A Riemann-geometria sokkal-sokkal altalanosabb.

Van olyan formalis logika is, amiben nem igaz (=nem teszik fol) a harmadik kizarasa elvet. Bocs, de errol egy szot nem tudok.

Ha valaki nekem szegez egyeb, itt nem erintett ontopic kerdest, arra legjobb tudasom szerint valaszolok.

Csatlakozom Lalo-hoz.

Pedig elolvastam a Prím embert. Meg a Természet számait félig.

A Riemann féle geoban viszont a szögösszeg > 180 fok. Vagyis valahol ellentmond a többi euklideszi axiomának. De hol?

Hol vagy?

Ebey!
Ha jutsz valamire, hogy milyen is lehet egy eldönthetetlen probléma, oszd meg velünk. Én se nagyon akarom elhinni, hogy a Goldbach sejtés független, de nem tudom, ki lehet-e zárni. Mi az, hogy könnyen emészthető következmény? Csak megértjük valahogy.

Pl. olyan állításokról sem hihető, hogy független, mint pl. hogy végtelen sok ikerprím van? Vagy máshogy: az ikerprímek száma megszámlálhatóan végtelen? Ha a végtelen bekavar, al tudom képzelni, hogy független.

R-key!
Sajnos nem nagyon tudom, hogy a felsoroltaknak milyen átlátásuk volt a matematikáról, de nem nagyon győztél meg.
Erdősről köztudomású, hogy egy csomó terület nem érdekelte, nem is értette igazán az ott felmerült problémákat, csak voltak jó ötletei, esetleg a formulák alapján. A fizikusokról meg úgy gondolom, hogy az ő területük matematikáját nagyon jól tudták.
Neumann tényleg sokat tudott, halmazelmélet, anal, játékelmélet, ... De pl. számelméletben, kombinatorikában is otthon volt? Nem tudom, de nem is hiszem, hogy el tudjuk dönteni. Újabb független állítás. :-)

szerintem az, hogy a Goldbach-sejtés eldönthetetlen volna, eleve nehezen hihető felvetés. Az, hogy esetleges eldönthetetlenségének még ilyen általunk sem könnyen emészthető következménye volna, számomra még inkább valószínűtlenné teszi azt. Bár erre semmi bizonyítékom sincs, mégis úgy gondolom, hogy a számelmélet eldönthetetlen problémáinak egészen másmilyen formájúnak kell lenniük, mint a Goldbach-sejtés, vagy a Fermat-tétel.
Hogy milyeneknek? Nem tudom, majd gondolkodom rajta... :-)

Ez most ingyen volt? (Bocs) Nem Hajnal László. (Bocs)

Eléggé igazad van. Lehet, hogy Einstein mondta (de lehet, hogy csak egy magyarázója), hogy szakítani kellene már azzal az elavult elmélettel, hogy egy tudományos eredményt ha jól elmagyarázunk, akkor közérthető, meg népszerű lesz. Nem hiszem, hogy a relativitás elméletet el lehet úgy magyarázni, hogy az pontos is lesz, meg közérthető is.

Azért:
A száz évvel ezelőtti ember sem tudta. Nem is hitte, hogy tudja. Csak pár. Most sokkal nagyobb erre az igény, sokkal tanultabbak, tájékozottabbak az emberek, ezért is merül fel több probléma.

Nem véletlen, hogy a nemtudomki-re hivatkozol a természettudományokkal kapcsolatban. Még természettudós sincs, aki úgy ért hozzá, nemhogy filozófus. Vége a polihisztorok korának. Nemhogy úgy általában a természettudományokhoz nem lehet érteni, de még általában a matematikához sem. Talán Gauss, vagy Euler volt az utolsó, aki értett A matematikához. Szerintem abban semmi baj nincs, hogy mi itten amatőr filozófusoskodunk meg matematikusoskodunk.

A harmadik kizárásának elve röviden (szerintem): Ha nem igaz a nem A állítás, akkor igaz az A. Harmadik eset nincs. Vagy máshogy: A és nem A közül az egyik igaz.

Ha ez nem igaz, akkor van-e létjogosultsága az indirekt bizonyításnak? Vagy hogy van ez?

A Fermat-féle könyvből idézek szó szerint, hátha mások is elgondolkoznak rajta. Tehát:

Simon Singh: A nagy Fermat sejtés (Park Kiadó, 1999) 153-154. o.
... Furcsa módon, ha a nagy Fermat-sejtésről kiderült volna, hogy eldönthetetlen, akkor ebből már következett volna, hogy igaz. Az indoklás a következő: A tétel azt állítja, hogy az
xⁿ + yⁿ = zⁿ, ha n > 2
egyenletenek nincs megoldása a pozitív számok körében. Ha a nagy Fermat-sejtés tényleg hamis lenne, akkor ezt be lehetne bizonyítani egy megoldás megtalálásával, azaz az állítás eldönthető lenne. De ha a Fermat-sejtés igaz, akkor nem szükségképpen kínálkozik pontosan leírható út a bizonyításhoz, azaz a probléma lehetne éppenséggel eldönthetetlen is. Vagyis megtörténhetne, hogy a Fermat-sejtést, jóllehet igaz, nem lehetne belátni.

Az a kérdés, hogy egy ellenpélda-számhármas létezése esetén véges időben avagy végtelen időben lehet-e azt megtalálni, szerintem egyszerűen megválaszolható: véges időben. Persze ez a véges idő akármilyen hosszú lehet, de ez matematikai szempontból érdektelen. Jó példa erre az absztrakt-bolha-vadászat, ami a feladványos topic-ban lett feladva.Ellenpélda létezése esetén a megtalálhatóságot kár vitatni (kedves DcsabaS_!)i. Lehet például véletlen találgatás eredménye is.

off
Kedves DcsabaS_,
veled egyszerűen nem tudok vitatkozni. Azért nem, mert Te nem azt a - matematikában szerintem elengedhetetlen - módszert használod, hogy először adsz egy egzakt definíciót valamire és azután azt használod bizonyos állítások kimondásához, hanem:
1. állítasz valamit, ami számomra (és GPF, sőt valószínűleg a többiek számára is) vagy elfogadhatatlan, vagy érthetetlen.
2. Tiltakozásunkra válaszul az állításodban szereplő valamelyik fontos fogalmat (amely számunkra teljesen egyértelmű, hiszen a matematikusok már adtak rá _egzakt definíciót_ ) egyészen más, újszerű értelemben definiálod. Ez alapján állításod teljesen más, új értelmet(?, bár nem mindig) nyer.
Én azt hiszem, a Te (nálaménál valószínűleg magasabb) intelligenciád, és (nálaménál valószínűleg nem sokkal kisebb) matematikai ismereteid lehetővé tennék, hogy sokkal kevesebb legyen e topic-ban a meddő és felesleges egymás-mellett-elbeszélés, és ál-problémák helyett valódiakkal foglalkozhatnánk.

Dehogynem! Csak nekem pl. most annyi időm nincsen, hogy hozzá is szóljak.

Kezd a mi párbeszédünkké alakulni a topic? Nem vagyunk elég érdekesek?

Na, azért:

A matematika legtöbb része nem csak véges, meg végtelen halmazokkal foglalkozik, hanem az elemeket mindenféle tulajdonságokkal ruházza fel. Ezért nem egész pontos, amit írsz, hogy elég felsorolni valaminek az elemeit. (Egy véges halmaznak elég, de nem csak az elemekre vagyunk kíváncsiak.) Pl. azt hiszem, hogy a mat. történet eddigi legbonyolultabb bizonyítása a véges csoportokra vonatkozik. Több ezer oldal.

A korlátlanul folytatható lépéssorozat teljesen elfogadott dolog a mat.-ban. Ld. indukció. Nem tudom, ehhez kell-e az idő. Nem tudom, ez érdekes-e. Miért hozod elő az időt?

Mi az igaz, meg a nem igaz? Hú.
Asszem teljesen két megközelítést alkalmazok magamban is. A hétköznapi életben igaznak veszek olyan dolgokat, amiket kellően sok helyről, kellően megbízható emberek állítanak, vagy ebből kikövetkeztetek. Ezt hagyjuk.
De a matematikában mást értek igaz alatt, azt talán pontosabban el tudom mondani. De ebben nem lesz sok újdonság.

Amíg egy axiomarendszerről ki nem derül, hogy ellemtmondásos, el tudom fogadni igaznak az axiomákat. (Lehet, hogy nem érdekel, de igaz.) Aztán igaz még, amit ezekből le lehet vezetni. Ez persze mindig csak valamilyen feltételek közt igaz, nem abszolut igazság, de ez nem zavar. (A fordítottja jobban zavarna, vagyis, ha valaki abszolut igazságokat akarna írni, mondani.) Kész. Ilyen primitív az igazság fogalmam. Úgyhogy én bármit elfogadok, ami ezeknek eleget tesz.

Mi a létező?

"Ami nem létezik, az minden létezőtől független és fordítva.
"
Ez szerintem nem igaz. Nem létezik 8n+2 alakú prímszám, de ez nem független mindentől. (Vagy micsoda?) Vagy Te azt mondod, hogy a 8n+2 alakú prímek függetlenek minden létezőtől? De ennek nincs értelme. Erre mondom, hogy bagatelizálod a kérdést. Mi a fenének ilyen prímekkel foglalkozni? Ennél értelmesebb dolgok is tudnak függetlenek lenni. Függetlennek azt nevezem, amiről az én igazságfogalmammal nem lehet eldönteni, hogy igaz-e vagy hamis.
(Amióta a Magyarulez-t olvastam, nagyon próbálok vigyázni, de gondolom, nem megy mindig.)

A végtelen leírhatóságával kapcsolatban azzal egyetértek, hogy "kezdeni azért tudunk velük valamit véges eszközökkel is,", ez azonban szerintem csak úgy megy, ha a formalizmusok mellett magyarázkodni is kezdünk. Egy véges halmaznak a formális megadása könnyű, hiszen elegendő az elemeit tételesen fölsorolni. De ha a halmaz végtelen, az elemek hiánytalan fölsorolása lehetetlen. Bevezethetünk ugyan a halmazra valamilyen leírható jelölést, de attól még meg kell valahogy magyarázni, hogy hogyan férhetünk hozzá az elemeihez, ha egyszer nem voltunk képesek hiánytalanul leírni őket! Ez szerintem csak úgy lehetséges, ha valamilyen korlátlanul folytatható lépéssorozat képében becsempésszük az időt.

Írod:
"Az induló fázis a következő pillanatban nem annyi? Ez önmagában is ellentmondásosnak tűnik. Azért matematikával le lehet írni időben változó dolgokat, úgy hogy nem jutunk ellentmondáshoz."
Tényleg ellentmondásosnak tűnik. A matematikát _is_ fölhasználva le lehet írni időben változó dolgokat. Mondjuk nem tiszta matematikával (fizika is van benne). A lényeg az, hogy a formalizmusok önmagukban nem elegendők.

Írod:
"Csak nem érteted meg velem, hogy mit nevezel létezőnek és nem létezőnek."
Látod, innen mindenképpen tudnám, hogy erős matematikai vénád van (:-)))!
De hogy előbbre jussunk, azt kérdezem Tőled: mit nevezel igaznak, és mit nem igaznak?

Idézel engem, majd írod:
"A függetlenség alapesete a nem-létezés, másik tipikus esete a máshol-létezés."
"Na, ezt nagyon nem értem vagy én, vagy Te. (Bocs)"
Ami nem létezik, az minden létezőtől független és fordítva.
Ami máshol létezik, az csak azoktól a dolgoktól független, amelyektől elszigeteli a máshol létezés.

Feltételezed:
"S ami csak elviekben létezik, vagy igazolható, azt nem fogadod el."
Ezt így nem mondanám. Persze egyenlőségjelet nem tennék az "elviekben létező" és a "gyakorlatilag létező" közé, de el tudom fogadni a létezés különböző szintjeit, azaz pl. egyfajta létezésnek tekinteni az "az elviekben létezést" is. (Sok múlik azokon az elveken...)

Megint elmaradt a számozás. Legyen inkább a visszaidézés? Most már talán tudok én is dőlttel írni.

"A végtelen véges rendszerekben leírhatatlan"
Erre először kapásból azt akartam írni, hogy nem így van, mert pl. a termászetes számokat is elég jól leírják a Peano axiomák. Na, valahogy azért le lehet írni. De azt hiszem azok a Gödel tételek, amik a "valamire való" axiomarendszerekre vonatkoznak, éppen a végtelen számosságú elemeknél kezdenek érvényesek lenni. Tehát, kezdeni azért tudunk velük valamit véges eszközökkel is, de nagyon pontosan tényleg nem tudjuk leírni őket. Ennek ellenére az idézett állításom szerintem igaz, egy teljesen korrekt matematikai bizonyítás olyan kellene, hogy legyen. Ezt tartja magáról a matematika. A matematikusok persze tudják, hogy a valóságban ezt szinte soha nem lehet megtenni.

Bocs, de nem tom mi a harmonikus oszcillátor. (Az valami nagyon létező dolog lehet :-)) Így nem is igen értem ezt a példádat. Az induló fázis a következő pillanatban nem annyi? Ez önmagában is ellentmondásosnak tűnik.
Azért matematikával le lehet írni időben változó dolgokat, úgy hogy nem jutunk ellentmondáshoz.

Csak nem érteted meg velem, hogy mit nevezel létezőnek és nem létezőnek. Szerintem az üres halmaz pont annyira létezik, mint egy kör. Az üres halmaznak is van egy csomó tulajdonsága. A kontinuum hipotézis létező dolgokra vonatkozik?

"A függetlenség alapesete a nem-létezés, másik tipikus esete a máshol-létezés." Na, ezt nagyon nem értem vagy én, vagy Te. (Bocs)

Igen, régóta az a gyanúm, hogy a konkrétumok, algoritmusok ... hiányoznak Neked. S ami csak elviekben létezik, vagy igazolható, azt nem fogadod el. Ez nem baj.
Azt kell mondanom, hogy ez egy materialista világkép. (Nemtom, ezt sértésnek veszed-e, vagy nem.) Általában én is annak tartom magam. De a matematikában mindenféle idealista dolgot is el tudok fogadni. Lehet, hogy Te pont fordítva vagy. Ez érdekes.

Először erre a korábbi üzenetedre reagálok. Írod:
"Igazából ez azt jelentené, hogy csupán formulák átalakítását lenne szabad végezni, minden magyarázat, szemléltetés nélkül."
A végtelen véges rendszerekben leírhatatlan, ezért magyarázat és szemléltetés nélküli formális eszközökkel nem tudunk mit kezdeni vele. Ha a végtelen fogalma nélküli matematika számunkra kielégítő, akkor ez OK. (Én speciel egy ilyen matematikával nem lennék elégedett.)

Írod:
"Ha egy állításig és a tagadásáig is el lehet jutni, akkor az axiomarendszer ellentmondásos volt, s bebizonyosodott, hogy alkalmatlan, ki kell dobni, vagy módosítani kell."
Ha felírjuk pl. a harmonikus oszcillátort leíró "axiómákat", akkor majd úgy találjuk, hogy bármilyen induló fázist is tételezzünk fel róla, az a következő pillanatban már nem lehet annyi! (Vagyis ellentmond a kiinduló feltevésünknek.) Ebből nem következik, hogy a leíró axiómarendszer rossz (hiszen következményei összhangban vannak a valóságos eseményekkel!), hanem csak az, hogy igazságai nem lehetnek statikusak, örökérvényűek. Természetesen lehet célunk olyan axiómarendszer megalkotása is, amelyben csak időtől független igazságokat vizsgálunk. Megfigyelésem szerint a matematikusok szemlélete erősen hajlik is erre. Az időben fix dolgok keresése persze nagyon hasznos lehet - csak nem szabad megfelejtkezni arról, hogy ez nem minden.

Kérdezed:
"Fogalmakra nem használják a független kifejezést. Nem értem ez mit jelent."
Eredendően azt, hogy különböző rendszerekben értelmezettek. A különböző rendszerekben értelmezett fogalmak közvetlenül nem kapcsolhatók össze. Azt lehet tenni, hogy megalkotunk egy olyan ("magasabb") rendszert, amelynek vannak olyan alrendszerei, amelyek eléggé hasonlítanak az egyébként független fogalmakra és a magasabb rendszerben megszabhatjuk azok egymáshoz való (transzformációs) viszonyát. Ekkor adhatunk valami konkrét értelmet a függésnek is és a függetlenségnek is.

Írod:
"A létező, nem létező dolgokat elbagatelizálod."
Szó sincs róla. Éppen az idézőjeles kijelentés az elbagatelizálás.

Kérdezed:
"Most akkor van olyan értelmes állítás, amit lehet, vagy nem lehet ellenpéldával cáfolni?"
Éppen azért kell olyan fajta kitételeket tenni, hogy "az x állítás ellenpéldával megcáfolható lenne", mert ez NEM általános igazság. Nem létező dolgok (avagy az üres halmaz) tulajdonságaira vonatkozó állítások sem cáfolhatók ellenpéldával.

Újabb üzenetedre válaszolva. Írod:
"2. Nem értem, a kiegészítéssel együtt sem."
Ha valamire példát adhattunk, akkor az létezik. Ha létezik, akkor a létezésének lehetségesnek is kell lennie, ugyanis lehetetlen, hogy valami ne létezhessen, ha egyszer létezik.

Kérdezed:
"5.2 Nem értem. Ez miért más mint 5.1?"
Önmagában a hol létezés behatárolása (5.1) még nem elég, ugyanis a behatárolt tartományban "túl sok" dolog lehet.

Kérdezed:
"6. Megint a létező dolgok. Mik azok? A kontinuum hipotézis létező dolgokra vonatkozik?"
Ha tetszik, gondolj az üres halmazra, mint a nem létező dolgok reprezentánsára.

Írod:
"Az nem mindig nehezíti a dolgot, ha végtelen sok elem közül kell választani. Pl. "A minden szám páros" állítást könnyű ellenpéldával cáfolni, pedig végtelen sok páratlan van."
Ez igaz. Ez mutatja, hogy nem minden "végtelennel" van baj, vagyis a 8:-as pontnál lehettem volna enyhébb is, megengedve bizonyos fajtájú végteleneket. (A végtelenek között meghúzni a határt viszont egyáltalán nem könnyű.)

Írod:
"Ha tehát valami független, akkor elvileg sem tudunk ellenpéldát adni, nem csak azért, mert ügyetlenek vagyunk."
A függetlenség alapesete a nem-létezés, másik tipikus esete a máshol-létezés.

Írod:
"Ilyenkor feltehetnénk, hogy végtelen sok időnk van, végtelenül ügyesek gyorsak vagyunk, akkor sem tudnánk ellenpéldát adni."
Ez a feltevés bajos (a valóságnak is ellentmond).

Kösz a számozást! Így egyszerűbb lesz:
1. OK
2. Nem értem, a kiegészítéssel együtt sem.
3-5.1 OK
5.2 Nem értem. Ez miért más mint 5.1?
6. Megint a létező dolgok. Mik azok? A kontinuum hipotézis létező dolgokra vonatkozik?
7-8 ?????????
Az nem mindig nehezíti a dolgot, ha végtelen sok elem közül kell választani. Pl. "A minden szám páros" állítást könnyű ellenpéldával cáfolni, pedig végtelen sok páratlan van.

De nem ez a baj, hanem az, hogy itt elvi lehetőségekről van szó. Ha tehát valami független, akkor elvileg sem tudunk ellenpéldát adni, nem csak azért, mert ügyetlenek vagyunk. Ilyenkor feltehetnénk, hogy végtelen sok időnk van, végtelenül ügyesek gyorsak vagyunk, akkor sem tudnánk ellenpéldát adni.
Úgy érzem, Te azt várnád, hogy hogyan lehet konkrétan megadni az ellenpéldát.

Ja, eszembe jutott egy szép egzisztenciatétel, amire nem tudunk konkrét példát.

Az előbbiek szerint az "x állítás egy ellenpéldával megcáfolható lenne" kitételnek a következőket is tartalmaznia kell:
6: az állítás létező dologra vonatkozik,
7: lehetséges ellenpéldák helye tudható és
8: véges számú elem közül kell a kiválasztást elvégezni.

Most vegyük Ebey állításait:
A: az x állítás egy ellenpéldával megcáfolható lenne.
B: az x állítás eldönthetetlen.
C: az x állítás igaz.

Szerintem nem ezt mondja a Fermat könyv.
(A és B) ==> C nem igaz. Én azt nem értem, hogy miért nem. Valószínűleg azért, mert B és C nem zárják ki egymást. Ha jól emlékszem, a Fermat könyv olyan finoman fogalmaz, hogy ha a Fermat sejtés független lenne, akkor nem lehet hamis. De nem vonja le azt a következtetést, hogy akkor igaz.
Úgy tűnik, hogy ebben az esetben a harmadik lehetőség kizárásának elve nem működik. Lehet, hogy ugyanazt mondjuk, és eljátszuk a vak vezet világtalan effektust? (Bocs)
Ja, a Matematika élményében érdekes volt az a konstruktivista gondolatmenet is, ami a se nem 0 se nem pozitív, se nem negatív szám létezését igyekezet bizonyítani. A PI tizedesjegyeivel kavart. Ott is a harmadik kizárásának elvével volt baj.

Hát, ez nem volt túl értelmes hozzászólás, de most ennyire futotta.

A szerző Paul Hoffman(n?)

Nagy alakú, piros színű könyv. Talán így könnyebben ráakadsz. :-))

Szerzot, kiadot most nem tudok irni, de en kb harom hete vettem meg a Mamut aruhaz -1. emeleten

Ha ilyen hosszan írsz, légyszi számozd meg folytonosan a bekezdéseket, vagy az állításokat, könnyebb rá hivatkozni!

Az első gondolatsorhoz:
Jogos, hogy nagyon nehéz eldönteni, hogy valami be van-e bizonyítva. Igazából ez azt jelentené, hogy csupán formulák átalakítását lenne szabad végezni, minden magyarázat, szemléltetés nélkül. Tényleg nem így szoktak dolgozni a matematikusok.
Azért mégis elég kevés a hosszú ideig fennálló téves bizonyítás.
Az azért mégsem igaz, hogy az új axiomarendszerben levezetett tétel egy másikat cáfolna, hisz ahogy Te is írod, nem azonos dolgokra vonatkoznak. Tehát a tévességet én nem fogadom el.

Ha egy állításig és a tagadásáig is el lehet jutni, akkor az axiomarendszer ellentmondásos volt, s bebizonyosodott, hogy alkalmatlan, ki kell dobni, vagy módosítani kell. Ha egyikig sem lehet eljutni, akkor csak az bizonyosodott be, hogy nem teljes, nem képes minden problémát megoldani, ettől még el lehet fogadni. (Mint ahogy az összes valamire való axiomarendszerünk ilyen.)

Fogalmakra nem használják a független kifejezést. Nem értem ez mit jelent. Hogy pl. a geometria nem foglalkozik a színnel? Vagy mit? Számomra ez még filozófiai értelemben sem probléma, míg az állítások függetlensége nagyon is az.

A tévedés és a függetlenség viszonyáról írottakat nem értem.

A létező, nem létező dolgokat elbagatelizálod. Az előbbi megjegyzésed ezek után nem sokat mond. Most akkor van olyan értelmes állítás, amit lehet, vagy nem lehet ellenpéldával cáfolni?

A függetlenség, meg az ellentmondásmentesség sem ugyanaz. Tényleg nincs a halmazelméletről bizonyítva, hogy ellentmondásmentes. (Azt hiszem, ezt nem is lehet megtenni) De a kont.hip. mégis független.

Kicsit más:

Sokat beszéltünk már a függetlenségről, mint Gödel egyik legfontosabb eredményéről, de ha jól rémlik, még van pár hasonlóan nagy horderejű tétele.

Az ellentmondásmentességről mit is mondott? Mondta, hogy nem lehet a rendszeren belül bizonyítani? Azt hiszem, hogy igen.

Meg azt is mondta, hogy egy "valamire való" axiomarendszerre mindig lehet adni olyan modelleket, amik nem megfeleltethetők egymásnak. Pl. különböző számosságuak.

Így Gödel munkái nyomán kijelenthetjük, hogy a matematika olyan dolgokkal foglalkozik, amikről tudjuk, hogy:

Bármikor ellentmondás bukkanhat fel. Bármikor olyan kérdésre bukkanhatunk, amit nem tudunk eldönteni. Szinte bármit próbálunk meg jellemezni, az nem fog sikerülni, egy csomó tőle nagyon különböző dolog is bele fog férni a leírásba.
Szép az élet.

Talán ezek miatt is elég népszerű a konstruktivizmus, ahol ezek nem nagyon lépnek fel.

A "GPS" elírásért bocs!

Írod:
"Én csak azt állítottam, hogy Gödel tételéből nem következik az, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető."
1.) Nem tudhatjuk biztosan, hogy egy bebizonyítottnak vélt állítás valóban be van-e bizonyítva (a tévedés lehetséges).
2.) De ha egy rendszeren belüli állítás a rendszeren belüli eszközökkel tényleg be is van bizonyítva, ebből akkor sem következik, hogy a bebizonyított állítás a rendszeren kívül akár egyetlenegy dolgora is igaz, vagy hogy vonatkoztatható egyáltalán.
3.) Az viszont előfordulhat, hogy valamiért egy új (módosított, kiegészített) rendszert leszünk kénytelenek használni, amelyet jobb alappal vonatkoztathatunk a nekünk fontos dolgokra, mint a korábbit. Ezen új rendszerben nemcsak hogy megkérdőjelezhető lehet a korábbi rendszerben bebizonyítotthoz hasonló állítás, de egyenesen téves is lehet.
4.) Természetesen a különböző rendszerekben értelmezett fogalmak nem azonosíthatók egymással (legfeljebb csak hozzárendelések lehetségesek). Vagyis pl. az egész számok rendszerében értelmezett 5-ös szám nem lehet azonos a racionális számok rendszerében értelmezett 5/1, 10/2, 15/3, ... számokkal, illetve pl. a 2-dimenziós sík egyenesei sem esnek azonos fogalmi kategóriába a 3-dimenziós tér azon síkjának az egyeneseivel, amely sík pedig "párhuzamos az előbbi 2-dimenziós síkkal és nulla távolságra van tőle". (Egyáltalán, már ahhoz is, hogy beszélhessünk az előbbi síkok távolságáról, a sík új fogalmát kell megalkotnunk és használnunk!) Hasonlóság, analógia és megfeleltetés lehetséges a régi és az új sík-fogalom között, de azonosság nem. (A határértékkel kapcsolatos vitában is azt próbáltam megvilágítani, hogy a határérték elvileg más mint egy szám.)
5.) Az előbbiek miatt vagy elfogadjuk, hogy a különböző axiómarendszerek fogalmai és belső igazságai a többi rendszerre nem vihetők át, vagy pedig előfordulhat, hogy egy korábban (a szűkebb rendszerben) bebizonyított (tehát nemcsak bebizonyítottnak hitt, hanem tényleg bebizonyított) igazság a bővebb rendszerben majd tévesnek, vagy kétesnek bizonyul. Lehet választani. (Remélhetőleg kiderült már, hogy én az első verzió híve vagyok.)

Írod:
"Az eldönthetetlenség viszont matematikailag definiált fogalom. Azt jelenti, hogy egy adott axiomarendszerben (ami formulák csoportja) a logikai következtetés szabályaival nem lehet eljutni egy állítás formulájáig, sem ezen állítás tagadásának formulájáig."
Előfordulhat, hogy mindkettőig el lehet jutni. Az sem eldönthetőbb.

Írod:
"... És ilyen eldönthetetlenségekre vannak bizonyított példák. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az adott állítás független az axiomáktól."
Mint fentebb írtam, nemcsak állítások, de fogalmak is lehetnek az általad leírt értelemben függetlenek axiómá(k)tól és axiómarendszerektől.

Írod:
"A függetlenség tehát nem olyan kérdés, ami a tévedéssel rokon."
Attól függ. Ha a függetlenséget komolyan vesszük, vagyis ha a különböző fogalmi szintek látszólag ugyanolyan dolgait nem keverjük egymás között, akkor tényleg nem rokon a tévedéssel. Ha viszont a különböző fogalmi szintek (rendszerek) fogalmait egymással helyettesíthetőnek véljük, már nem ilyen rózsás a helyzet.

Írod:
"Nem értem, mi az, hogy nem létező dolgok tulajdonságai. A kör létezik? Szakasz létezik? sqr(2) létezik? i létezik? Mondjál két olyan dolgot a matematikában, ami létezik, meg ami nem!"
Vedd pl. ezt: "Az egységsugarú kör, és az őt 3 helyen átmetsző egységnyi hosszúságú szakasz metszéspontjai által meghatározott háromszög területe mindig egységnyi."
(Ez ugyan egy baromság, de aligha fogsz tudni példát hozni olyan "egységsugarú kör és őt 3 helyen átmetsző egységnyi hosszúságú szakasz végpontjai által meghatározott háromszög"-re, amelynek a területe nem egységnyi. Ez az állítás tehát ellenpéldával nem cáfolható. Mindössze azt lehet bizonyítani vele kapcsolatban, hogy nem létezhet az az objektum, amire az állítás vonatkoztatva van.)

Nem GPS, hanem GPF, de nem baj.

Utolsó két hozzászólásoddal vitatkoznom kell.
Először az utolsó. Én csak azt állítottam, hogy Gödel tételéből nem következik az, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető. A tévedést persze nem lehet kizárni. De azért azok viszonylag hamar kiderülnek.

Az eldönthetetlenség viszont matematikailag definiált fogalom. Azt jelenti, hogy egy adott axiomarendszerben (ami formulák csoportja) a logikai következtetés szabályaival nem lehet eljutni egy állítás formulájáig, sem ezen állítás tagadásának formulájáig. És ilyen eldönthetetlenségekre vannak bizonyított példák. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az adott állítás független az axiomáktól. A leghíresebb ilyen az euklideszi 5. posztulátum. Meg a kontinuumhipotézis. Általában az axiomákról megkövetelik, hogy függetlenek legyenek.
A függetlenség tehát nem olyan kérdés, ami a tévedéssel rokon. Meg nem is a kiszámíthatósággal, véges idővel. Az egy más téma, inkább az algoritmuselmélethez tartozik.

Nem értem, mi az, hogy nem létező dolgok tulajdonságai. A kör létezik? Szakasz létezik? sqr(2) létezik? i létezik? Mondjál két olyan dolgot a matematikában, ami létezik, meg ami nem!

Az utolsó idézetedre a válasz már egy kicsit jön az előzőekből. A kontinuumhipotézisről be van bizonyítva, hogy független. Tehát annyiban mondhatjuk, hogy MI látjuk függetlennek a dolgokat, amennyiben a matematika a MI alkotásunk. De e nélkül lenne értelme kontinuumhipotézisről beszélni?

Üdv, GPF

Honnan a csudából veszitek, hogy ha egy állítás "eldönthetetlen volna, akkor igaz volna" (Ebey)?!?
Az eldönthetelenségből csupán az következik, hogy sem meggyőző példát, sem meggyőző ellenpéldát nem lehet adni az adott gondolatrendszerben (vagyis az "eldönthetetlenségből" következik a "példaadhatatlanság"). De még ezt sem tudjuk véges időkben és eszünkkel egyértelműen megkülönböztetni attól az esettől, amikor csak mi nem tudjuk dűlőre vinni a kérdést, amely pedig esetleg igenis eldönthető valamilyen irányban. Ezért amikor a gondolatrendszer megfelelő kiegészítésével eldöntjük az "eldönthetetlent" egy nekünk tetsző irányban, akkor tévedhetünk (szemben ezzel az Ebey-féle tétellel: "A matematika ugyanis éppen attól más, mint a többi tudomány, hogy minden tétele örök érvényű, a tudomány haladása nem változtathatja meg azt".)

GPS kérdezi:
"Van olyan állítás, ami nem cáfolható ellenpéldával?"
A NEM létező dolgok tulajdonságaira vonatkozó állítások éppen ilyenek. (Ezért ha az "Ebey-féle" értelmben vett igazságokat akarunk megfogalmazni, ahhoz elegendő csupán nem létező dolgokról beszélni.)

Pontosítsunk egy kicsit!
Gödel nem azt mondja, hogy csaknem bármely állítás igazsága eldönthetetlen. Hanem azt, hogy minden "valmire való" axiomarendszerben felvethető olyan állítás, amely abban az axiomarendszerben nem eldönthető. (A valamire való kifejezésnek nála pontos értelme van, a matematikában általában használtak olyanok. Pl. a valós, vagy a természetes számoké is.)
Ebből nem következik, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető. Ebből "csak" az következik, hogy amíg nem sikerül egy állítást bizonyítani, vagy cáfolni, addig előfordulhat, hogy lehetetlen is.

Nem értem, mi a Gödel UTÁN, meg KÖZBEN. Állításai igazak, elfogadottak.

Gödel megítélése szerintem szubjektív (is lehet). Az az ember, aki élete legfőbb eredményeként bebizonyítja, hogy csaknem bármely állítás igazsága eldönthetetlen, nem csoda, hogy becsavarodik.
Ha kicsit távolabbról nézzük, Gödel bizonytalansági meglátásai a saját tételeire, valamint azok bármely cáfolatára is igazak.
Gödel tehát élete végefelé nem volt ugyan egészen komplett, de (vagy épp ezért) belátta, hogy sem a bizonyosság, sem a bizonytalanság nem bizonyos.

"A Prim Ember" cimu konyv is sztorizos (ezt persze nem pejorativ ertelemben mondom, nagyon jo tortenetek vannak benne), bizonyitasokat nem tartalmaz, csak utalasokat hires tetelekre. Az altalad emlitett "Az agyan nyitva all"-t nem olvastam, de a Prim embert batran ajanlom.
A konyvbol az altalad megfogalmazott kerdesekre valaszt fogsz kapni. Az is kiderul, hogy EP nagysaga tobbek kozott az "egyut-gondolkodas" modszerenek alkalmazasaban mutatkozott meg (amirol pl Fermat nem volt tul hires :).

Gondolom ezen a forumon is felvetett volna egy-ket jo problemat, ha hasznalt volna szamitogepet :)

A szavazáshoz:
Persze Ebey-nek van igaza, de a vitában Laloval értek egyet. De DCsabaS_ sem mond vad dolgokat. Árnyalatokon vitatkozunk, nem matematikai fogalmakon, állításokon.

Ebey:
Az eldönthetetlenségről. Azt hiszem, ez nem egész pontos, amit írsz. Az, hogy valami eldönthetetlen egy adott axionarendszerben igaz. Tehát a Goldbach sejtés eldönthetetlensége nem hiszem, hogy kihat az eldönthetetlenség eldönthetőségére. Az egy más axiomarendszerben megfogalmazott állítás. Tényleg, a logika is axiomarendszeren alapul?
Van olyan állítás, ami nem cáfolható ellenpéldával?
Pl. a kontinuumhipotézis eldönthetetlen, független. (Ezt ugye félig Gödeltől, félig Cohentől tudjuk) De a kontinuumhipotézist is lehetne cáfolni, ha találnánk egy megszámlálhatónál nagyobb, de kontinuumnál kisebb halmazt. (Pl valós számhalmazt.) Most akkor itt mit jelent a függetlenség? Nem értem.

Hú, A prím ember-ről még nem is hallottam. Mi ez? Honnan van? Magyarul megjelent? Kérek infót még.
Én nemrég "Az agyam nyitva áll"-t olvastam, de az nem ment ilyen mélységekbe, inkább sztorizós.

a múltkor vitatkoztam veled a Fermat-tétel bizonyíthatósága kapcsán. Azóta én is nekikezdtem a Fermat-tétel könyvnek (nagyon tetszik!), és már értem, mi is a Te problémád az ott írtakkal.

Kérem a topicot olvasókat, hogy szavazzanak a következő lehetőségek mellett:

a) A "1.41421356..." 13 jelből álló kifejezés az [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozat rövid jelölése, tehát egy sorozatról van szó.

b) A "1.41421356..." 13 jelből álló kifejezés a lim[1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozat rövid jelölése, tehát egy konkrét valós számról van szó.

Rendkívül nehéz vitatkozni veled, mert megjegyzéseid iránya, nyilvánvaló jóindulatod, az általános nézőpontod és beállítottságod nagyon rokonszenves és az elvekben egyet is értek veled. Valóban sok fogalomkeveredés van a matematikával, különösen a határértékszámítással kapcsolatban, valóban finoman kell megkülönböztetni bizonyos eseteket és valóban külön (szép) elmélete van a közelítő számításoknak.

DE.

A konkrét esetben te használsz a szokásostól eltérő fogalmakat, és ezek alapján nem létező problémák hibás kezelésében marasztalsz el másokat.

A kulcsprobléma (amiből a többi egyet nem értésünk is fakad) a

"1.41421356..."

13 jelből álló kifejezés értelmezése. Ezt te határozottan az [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozatnak tekinted, ezt tételezed fel másokról is, és ennek alapján súlyos kritikával illeted őket.

Végezzél el egy gondolatkísérletet. Tekintsed egy kis időre a "1.41421356..." 13 jelből álló kifejezést a [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozat határértékének. Fennállnak azok a problémák, amelyekről beszéltél? (egyenlőségjel két oldalán különböző típusú krfejezések, stb.) Remélem, hogy a válaszod egyérteműen nem lesz. Én minden további nélkül elismerem, hogy ha az említett kifejezést sorozatnak tekintjük, akkor teljes mértékben igazad van.

Tehát az alapprobléma az, minek tekintjük, ill. minek tekintik mások az említett kifejezést.

Kérdezed:
"Ezek szerint a hetes busz mennyiség? Hozzárendelték a járathoz a hetes számot és abban reménykednek, hogy információt nyerhetnek a csúcsforgalom méreteiről."
Igen, a hetes busz is mennyiség. Az is igaz, hogy hozzárendelték a hetes számot, bár azt már nem venném biztosra, hogy a csúcsforgalom méreteiről való információnyerés végett. A tájékozódás általános segítésén kívül feltehetően a rendszerbeállítás idejével (sorrendjével) függ össze a hetes szám. Ha ez igaz, akkor a busz-sorszámok között műveletek (pl. kivonás) segítségével megállapítható, hogy mely viszonylatok születtek meg korábban, vagy később.

Írod:
"Aztán egyszerűbb eset gyanánt a legnehezebbet, a kivételt csempészted be a nullával való osztásban."
Szó sincs róla. A kivétel azért jelentkezik egyes számításokban, mert nem azon az elvi alapon számolnak, amin kellene.

Írod:
"Ekkor nyugadtan felírhatom a következő egyenlőségeket: ..."
Továbbá:
"Ha az a lim jel ott van, akkor igenis be van fejezve a sorozat határértékének kiszámítása, van határérték, véges stb."
Meleg. Ezek után azt állítom, hogy a lim(...) típusú kifejezéssel jelzett befejezett dolgok nem teljes értékű kifejezői a határérték fogalmának, mert annak lényege a minden véges határon túl folytatható közelítés, és nem a közelítés befejezettsége. Ez utóbbi csak egy plusz feltevés, amely szemléletünk kényelmét szolgálhatja, de ugyanakkor esetenként különleges eljárásra (kivételek megszabására) kényszerít bennünket - ha el akarunk kerülni bizonyos ellentmondásokat.

Írod:
"Valószínűleg itt van az eltérés a nézőpontjaink között. Te a "1.41421356..." jelsorozatot sorozatnak tekinted, nem pedig a sorozat határértékének."
Újra meleg (:-))). A sorozatból levezethető a határértéke, de a határértékből nem vezethető le a sorozat. Vannak esetek (a fizikailag érdekes esetek szinte mind ilyenek!), amikor magához a sorozathoz kell visszanyúlnunk egy számításhoz és nem egyes részproblémák határértékeihez.

Javaslod:
"De javaslom, csinálj egy kis közvéleménykutatást: hányan tekintik sorozatnak a fenti jelsorozatot, s hányan egy konkrét számnak?"
Szükségtelen újabb közvéleménykutatást tartanom (már réges rég megtettem), ahhoz hogy tudjam: a matematikát tanult emberek döntő része úgy hiszi, a végtelen az egy konkrét szám, a határértékszámítás lényege pedig az, hogy a végtelen mellett elhanyagoljuk a végest, a véges mellett meg a végtelenül kicsinyt.

Írod:
"... mindenki úgy definiálja az általa használt jeleket és rövidítéseket, ahogy akarja. De viszont nem kérheted számon másokon a te, különbejáratú jelöléseidet."
Kedves Lalo! Eszembe sem jut az én elnevezéseimet és rövidítéseimet számonkérni másoktól! Csak azzal nem tudok azonosulni, ha fogalmilag különböző és nem azonos értékű dolgok kerülnek ugyanazon név alá. Sajnos, a határértékszámítás sem mentes ezektől a problémáktól. Általában úgy állítják be a dolgokat, mintha határértékként mindig kiszámolhatóak lennének a számok, továbbá hogy e kiszámolható számokkal kielégítően lehetne dolgozni, miközben pedig az az igazság, hogy nem mindig. Bizonyos mennyiségeket számokkal csak közelíthetünk, és az érdekesebb esetekben az sem elegendő, ha egyes részproblémáknak kiszámoljuk a véletlenül éppen kiszámolható határértékét. Ugyanis arra lehet szükség, hogy a teljes összefüggésre vonatkozóan végezzük el a határértékkel kapcsolatos közelítő számítást. (Egyáltalán, téves az a felfogás, amely a közelítő számításokat valami szükségképpen kevésbé igaz csúnyaságnak tartja.)

Definíciód elég dodonai:
"A mennyiségek olyan a dolgok, amelyekhez a számokat mint elvont fogalmakat rendelhetjük abban a reményben (azzal a céllal), hogy a számok közötti bizonyos műveletekkel képesek legyünk leírni a mennyiségek között meglévő (vagy kialakuló) bizonyos kapcsolatokat."

Ezek szerint a hetes busz mennyiség? Hozzárendelték a járathoz a hetes számot és abban reménykednek, hogy információt nyerhetnek a csúcsforgalom méreteiről.

Ami a következő pontot illeti, azt mondod, vegyünk egy egyszerűbb esetet. Aztán egyszerűbb eset gyanánt a legnehezebbet, a kivételt csempészted be a nullával való osztásban. De csináljuk végig amit .

Legyen két sorozat az:
[1, 1, 1, ...] és a [1-1/10, 1-1/100, 1-1/1000, ...]
Ekkor nyugadtan felírhatom a következő egyenlőségeket:

1 = lim [1, 1, 1, ...]

1 = lim [1-1/10, 1-1/100, 1-1/1000, ...]

1 = lim [1, 1, 1, ...] / lim [1-1/10, 1-1/100, 1-1/1000, ...]

A lényeg az, hogy a jobb oldalon már egy valós szám áll, amit egy sorozat határértékeként adtunk meg. Ha az a lim jel ott van, akkor igenis be van fejezve a sorozat határértékének kiszámítása, van határérték, véges stb.

Ugyanez a helyzet a "1.41421356..." jelsorozattal. Ez szerintem a lim [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint].

Valószínűleg itt van az eltérés a nézőpontjaink között. Te a "1.41421356..." jelsorozatot sorozatnak tekinted, nem pedig a sorozat határértékének. De javaslom, csinálj egy kis közvéleménykutatást: hányan tekintik sorozatnak a fenti jelsorozatot, s hányan egy konkrét számnak? Ez persze nem perdöntő, ugyanis mindenki úgy definiálja az általa használt jeleket és rövidítéseket, ahogy akarja. De viszont nem kérheted számon másokon a te, különbejáratú jelöléseidet.

Ha a "1.41421356..." jelsorozat valóban sorozat lenne, teljesen igazad lenne. De nem az, hanem egy sorozat határértéke, legalábbis a közkeletű értelmezés szerint.

Írod:
"Engem csak az ábrándít ki, amikor az új fogalmi szintet azonosnak veszik a régivel, vagyis ha elmismásolják a benne lévő újdonságot. Amikor a régi mintájára állítják be az újat, ahelyett, hogy az újjal modelleznék a régit."

Én nem érzem magam bűnösnek e vádpontokban. Légy szíves konkrétan idézzed be, mikor követtem el ezen vétkeket?

Nagyjából egyetértek az előbbiekkel. Tényleg új szinteket tudnak behozni a sorozatok, mint ahogy pl. a racionálsból el lehet jutni a valósokig a sorozatok segítségével.

De most még hova akarsz eljutni?

Egyébként a lentebb idézett könyvben állítások sorozatáról volt szó. Ezekkel vezette be a furcsa "számait". (ez kicsit most pongyola volt.)

Írod:
"Nem azonosak a sorozatok és a számok. Ezt senki sem állítja, ill. leginkább Te, amikor ilyeneket írsz:
"Ezt termeszetesen azzal jar, hogy szamokon ettol kezdve legalabbis sorozatokat kell ertunk." "
Az idézett mondatom nem azt jelenti, hogy a számok és a sorozatok azonosak lennének, hanem azt, hogy sorozatokkal olyan mennyiségi viszonyokat is ki lehet fejezni, amelyek valódiak (noha számokkal leírhatatlanok), miközben bármit ki lehet velük fejezni, amire a számokkal képesek vagyunk. Ezért alapjául szolgálhatnak egy magasabb szintű számfogalomnak, amelyben a sorozatok közül van miket megfeleltetni a hagyományos értelemben vett számoknak, de ez a megfeleltetés még nem tesz egyenlőséget a különböző fogalmi szintek közé, mint ahogy az sem, hogy mindkettőt valamilyen "szám"nak nevezzük. A lényeg az, hogy ha valaki pl. a 2^1/2-t számnak nevezi, akkor bizonyos sorozatokat nevezett számnak. Vagyis ha nem is tudatosan, de már egy másik fogalmi szinten operál. Egy olyan fogalmi szinten, ahol a hagyományos értelemben vett számokhoz is sorozatokat célszerű rendelnünk.

Sajnos most nincs időm részletesebb válaszra, ezért csak a lényeg.

Kérdezed:
"Elmélkedsz a számokról és mennyiségekről. Te mit tekintesz számnak, ill. mit tekintesz mennyiségnek? Mi szerinted a különbség?"
A mennyiségek olyan a dolgok, amelyekhez a számokat mint elvont fogalmakat rendelhetjük abban a reményben (azzal a céllal), hogy a számok közötti bizonyos műveletekkel képesek legyünk leírni a mennyiségek között meglévő (vagy kialakuló) bizonyos kapcsolatokat.

A négyzetgyök 2 kapcsán írod ( [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], = [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik]):
"Azt mondtam, hogy mindkét oldalon sorozat által definiált (azaz a sorozatok határértéke) valós szám áll, amelyek egyenlőek. Tehát a jobb oldalon nem egy-egy racionális szám áll, hanem egy sorozat határértéke."
Igen ám, csakhogy a határérték képzési definíciója olyan, hogy abban (helyesen) nem szerepel a teljesíthetőség, a befejezhetőség, ezért ha alkalmazunk is rá egy jelölést, attól az még nem válik hagyományos értelemben befejezetté, ha tetszik kiszámolttá. A kiszámolhatóság nem ugyanaz, mint a kiszámoltság. De vegyünk egy egyszerűbb esetet, amikor az eredmény nemcsak kiszámolhatónak, de kiszámoltnak is tűnik:
[0, 0, 0, 0, ...], = [1/1, 1/2, 1/3, 1/4 ... a tizedesjegyek kifejtése az osztó algoritmus szerint történik]
Itt legalább 3 különböző dologról van szó. Szó van egyszer a hagyományos értelemben vett 0-ról, szó van egy konvergáló sorozatról, és szó van a sorozat határértékéről, amihez a sorozat minden véges határon túl közeledik (történetesen ez utóbbi is 0). E sorozatnak nemcsak hogy van határértéke, de még abban is szerencsénk van, hogy e határérték történetesen véges számmal leírható. Mindez mégsem elég ahhoz, hogy számításainkban a két 0 (a 0 mint szám, és a 0 mint határérték) elegendő legyen. Tekintsük pl. az y = sin(x)/x függvényt! Ennek 0-ban vett határértékét sem állapíthatjuk meg olyan módon, hogy előbb külön-külön vesszük a számláló és a nevező 0-ban vett határértékét (mindkettő 0), majd azokat elosztjuk egymással, hanem csakis úgy, hogy az egész kifejezésre alkalmazzuk a határérték képzési módszert! Vagyis a határérték képzési módszere a lényeg, az esetlegesen megállapítható szám nem feltétlenül szolgál további értelmes számolások alapjául. Amíg a határérték képzési módszere képes a felszínre hozni olyan információkat, amelyekre adott esetben szükségünk lehet, a határértékként esetleg megállapítható számban nincsenek benne. Vagyis a határérték fogalma nem redukálható az eredményül kapható számra. (A számra való redukálás általában csak mint legutolsó lépés tűrhető el.)

Kérdezed:
"Szerinted mit jelent ez a "1.41421356..." karaktersorozat? "
Ez a karaktersorozat egy racionális számokból álló olyan sorozat, amelyre az igaz, hogy pontosan 1 olyan szám van, amihez minden véges határon túl közelít.

Pontatlanul érted meg, amit írtam:
"E hossz (vagyis egy szám) mérését párhuzamosan álló szakaszok viszonyára vezethetjük vissza (látszólag gond nélkül). Úgy hihetjük továbbá, hogy nem párhuzamos szakaszok hosszának egymáshoz viszonyított arányát is ugyanígy ki tudjuk fejezni.
Ugyanis nem a párhuzamosság megléte vagy hiánya a probléma, hanem az inkommenzurabilitás, az összemérhetetlenség. Ez, ugye párhuzamos szakaszoknál is előfordul... "
Az összemérhetetlenség természetesen párhuzamos összemérendőknél is fölléphet (erre utaltam azzal, hogy "látszólag gond nélkül"). A másik dolog amire céloztam az az volt, hogy a régi görögöknek a síkba kellett kilépni ahhoz, hogy be tudják látni a számokkal való összemérhetetlenség realitását. (Mi meg a görögöktől tudjuk.)

Lehet, hogy megállja ez a szőrös modell a helyét. Én nem olvastam el mégegyszer, de gondolkodtam egy kicsit rajta. Nekem azért még mindig kuriózum számba megy, nem érzem úgy, hogy világnézet módosító hatása lenne. De azért nagyon érdekes.

Ha jól emlékszem a Fermat könyvben a következők voltak a Gödel tételről:
1. Mind a mai napig a matematikusok feje fölött lebeg a függetlenség réme, elvileg bármikor kiderülhet egy bebizonyítandó állításról, hogy nem lehet igazolni.
2. Nem veszik ezt túl komolyan a matematikusok, mert úgy gondolják, hogy csak mesterkélt problémákon jön elő. Ennek persze a kontinuum-hipotézis függetlensége kicsit ellent mond.
3. Ha pl. a Nagy Fermat sejtés független lenne, akkor biztos nem lenne hamis, mert akkor lehetne ellenpéldát találni, és így nem lenne független. Erről már régebben írogattam itt, most sem értem teljesen. A felhozott példák nem győztek meg.

Mégegyszer elolvastam, és fenntartom az előző modellemet azzal a kiegészítéssel, hogy az említett galaxisok (azon nemstandard számok összességei, amelyek különbsége valós) pedig az eredeti valós számok tengelyével (az alapgalaxissal) "párhuzamosan" helyezkednek el, végtelen kicsiny távolságokra. Tehát a galaxisok és a monadok egymásra merőleges szálakként képzelhetők el, mint egy szép népi szőttes futó a dohányzóasztalon. Csak az egyik irányban végtelen hosszú, a másikban pedig végtelenül keskeny...

Lehet, hogy igazad van, mindössze egyszer olvastam el, s ugye ez "csak" ismeretterjesztő mű. (Megjegyzem, néhány ismeretterjesztő kiadvány pontosabb és fontosabb tud lenni túlcizellált elméleti szakkönyveknél, amelyek belemásznak a részletekbe, csak éppen a lényeget nem képesek feltárni.)
Matematikus ismerőseim igértek autentikus forrást is, ha megkaptam és átnéztem, referálok róla.

Kérdésedre válaszolva hadd dicsekedjem egy kicsit: valóban, felnyúlok a polcra és leveszem. Diákkoromból megmaradt a matematika szeretete, így évente egyszer-kétszer levadászom az érdekesnek tűnő könyveket, s legalábbis átfutom őket. Sajnos rendes, rendszeres matematizálásra nincs időm, ezért is örültem meg ennek a néhány topic-nak, ahol hasonszőrűekkel cserélhetek eszmét.

El fogom mégegyszer olvasni, nekem a szőrös modell még nem állt össze. Ezek a monad-ok nem a könyvből valók, ugye? Ott olyasmi van, hogy azok az újfajta számok alkotnak egy osztályt, aminek a különbsége valós. Ezek a galaxisok.
Hol vannak ezek a szőrök közt?

Nem volt időm a linkeket alaposan megnézni, de meg fogom. Furcsa, hogy a politika hogyan keveredik bele a matematikába.

Elolvastad a Fermat sejtéses könyvet is? Nem egészen az van benne, amit Hacsek mond.
Felnyúlsz a polcra és leveszed ezeket? Vagy honnan? Könyvtár? Melyik?

Köszi az infót, elolvastam a vonatkozó fejezetet, tényleg érdekes. Megpróbálom beilleszteni a világképembe úgy, hogy ne nagyon kelljen a meglevő elemeket átrendeznem.

Szóval ez a nemstandard analízis szerintem valami olyasfajta bővítés lehet, mint komplex sík a valós számokhoz képest - csak egészen más persze. Arról van tehát szó, hogy egy bővített számkörben vannak újfajta számok - én azért ezeket nem nevezném valósaknak - amelyek a zérusnál nagyobbak, de bármely hagyományos valósnál kisebbek, valamint olyan nagy újfajta (nemstandard) számok, amelyek minden valósnál nagyobbak. Ráadásul minden valóshoz van egy olyan "monad" (osztály?, halmaz?) amelyben ez az egyetlen valós van, a többi nemstandard és végtelenül közel van hozzá. Ennek alapján én úgy tudnám elképzelni ezt a bővítést szemléletesen, mintha a szokásos számegyenes minden pontjára merőlegesen végtelen kicsiny szakaszokat emelnénk, mintha "végtelen kis hosszúságú szőröket növesztett volna felfelé és lefelé a számegyenes". Másrészt a valós számegyenes végén túl megjelennének a végtelen nagy számok - természetesen azok is "szőrösen". Erre a képre az indított, hogy a mintapéldák összegként jellemezték ezt az új számkört, pl. 32+ds alakú nemstandard számok szerepeltek az idézett műben.

Mindezek után két dolgot szeretné Hacseknak mondani:
a) gratulálok az intuiciójához, hogy ilyet el tudott képzelni
b) ettől a valós számok hagyományos kezelése egyáltalán nem változik.

Ugyanúgy, ahogy a komplex síkba ágyazott valós számegyenes tulajdonságai megmaradnak, ennek a szőrös számegyenesnek, mint modellnek a léte se csorbítja a megszokott analízisbeli módszertant.

A nemstandard számok nem ott vannak mint a hagyományosak! Ott már nincsen számukra hely.

Egy link Robinson életére.

Szóval egy Robinson nevű ember csinált egy olyan számfelépítést, amelyben szerepelnek olyan számok, amelyekre igaz az, hogy 0-nál nagyobbak és bármely pozitív valósnál kisebbek. Ezek persze nem ugyanolyan valós számok, mint az általunk megszokottak, meg ezeknek a bevezetése egyáltalán nem szemléletes. Nem tudom, értelmesek e rá ilyen kijelentések, hogy racionális meg irracionális. Vissza kell vonnom azt a régebbi kijelentésemet, hogy csak mat történeti kuriózum. Bizonyítottak tételeket a segítségükkel, bár a matematikusok nem nagyon örülnek az ilyen bizonyításoknak.

Egy dologról elfeledkeztünk a vitában: a valós számok axiomái közt szerepel az Archimedeszi axioma is, vagyis hogy tetszőleges c pozitív valós és m természetes számhoz létezik n természetes szám, melyre n*c > m.
Ez az axioma biztosítja, hogy a szokásos valós felépítésben ne legyenek végtelenül kicsi mennyiségek. (A föntebb vázoltban vannak nagyon nagy természetes számok is, azért marad igaz ez az axioma)

Szóval lehet olyasmikről beszélni, amikről Hacsek és DcsabaS_ csak az az egész sokkal bonyolultabb mint a valós számok, többen vannak (azt hiszem), sokkal kevésbé szemléletes, s nem biztos, hogy más fogalmainkat nem kell átértelmeznünk.

A másik:

Volt szó a könyvben a nem Euklideszi geo-król is. Erről is beszéltünk már itt. A Riemann geo olyan, mint ami egy gömb felületén van, ha a szemközti pontokat összevonjuk. Egyenesek a főkörök. Itt nincsenek párhuzamos egyenesek, bármely kettő metszi egymást. Bolyai geometriájába ez nem fér bele, ő azt mondta, hogy 1 vagy több párhuzamos egyenes húzható egy ponton át egy adott egyenessel. (A több az 2 és még közte vannak a nem metszők is.)
Nekem úgy rémlett, hogy a többi axiomából következik az, hogy a háromszög szögösszege nem nagyobb 180 foknál. Ami a egyenértékű a Bolyai féle abszolut geometriával. De ebbe a Riemann féle nem fér bele.
Hogy van ez?

Nem mondtam, hogy kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés a sorozatok és a határértékük között. Nem lehet az, hisz egy csomó sorozatnak azonos a határértéke. Nem azonosak a sorozatok és a számok. Ezt senki sem állítja, ill. leginkább Te, amikor ilyeneket írsz:

"Ezt termeszetesen azzal jar, hogy szamokon ettol kezdve legalabbis sorozatokat kell ertunk."

Na, de mindegy, azt hiszem nem áll olyan távol amikről beszélünk, mint pl. Hacsekkel. Igazából nem is tudom, miken vitatkozunk.

Azért még egyet kérdeznék:
Az előbb ismételted meg a sorozatok "súlycsoportjáról" a mondatodat. Ugye valós sorozatokról van szó? Azok a 2^kontinuum-nyian vannak, vagyis mint a valósok részhalmazai. (Ez igaz?) Mihez van szükségünk erre a többletre?

A Fermat-könyvben az van leírva, hogy Gödel tételeinek jórészét szerencsére anélkül lehet figyelmen kívül hagyni, hogy cáfolnánk őket, mert az ő tételei értelmében a cáfolat éppúgy bizonytalan, mint a cáfolt állítás.

Irod:
"A sorozat és a határértéke természetesen két különböző dolog. Nem is állította senki az ellenkezőjét. Egy csomó sorozatnak van határértéke, ezekhez hozzá lehet ezt rendelni, ez egy értelmes megfeleltetés.
Igen. Csak kozben nem szabad arrol elfelejtkezni, hogy akar egy kolcsonosen egyertelmu megfeleltetes megvalosithatosaga sem jelenti azt, hogy onnantol kezdve a 2 dolgot azonosnak vehetjuk. (Ti. csak a szamossaguk azonos.) Peldaul az egesz es a racionalis szamok kozott is lehetseges kolcsonosen egyertelmu megfeleltetes (amiert is azonos szamossagunak tekintjuk oket), de megis kulonbozo halmazokat alkotnak, eltero tulajdonsagokkal. Megtehetjuk azt is, hogy egy masik megfeleltetesben (ami mar nem is kolcsonosen egyertelmu) a racionalis szamok egyes reszhalmazaihoz rendeljuk hozza az egesz szamokat. Peldaul az 1/1, -1/-1, 2/2, -2/-2, 3/3, -3/-3, stb. alaku aranyokkal felirhato mennyisegek reszhalmazahoz az "1" egesz szamot. Ha ez a megfeletetos szamunkra fontos, akkor ettol kezdve beszelhetunk "ujfajta" egesz szamokrol is, megpedig olyanokrol, amelyek bizonyos fajta aranyokkal vannak kifejezve.

Folytatod:
"Egy csomó sorozatnak ugyanaz a határértéke, ezeket a sorozatokat lehet egy csoportba rendelni. Ez is értelmes, matematikailag korrekt. Az ilyen sorozatcsoportokat tekinthetjük a valós számok egy modelljének. (Ha racionálisakból állnak.) Az igaz, hogy ez egy jó bonyolult modell, de működik."
Egyetertunk.

Irod:
"Egyébként a racionálisakból álló sorozatok és a valós számok igenis egy súlycsoportban vannak, mindkettő kontinuum."
En NEM csak konvergens sorozatokrol, es nem csak racionalisakbol allo sorozatokrol szoltam, hanem sorozatokrol altalaban. Idezet magamtol:
"... a sorozatok és a számok nincsenek egy "súlycsoportban". A sorozatok speciális esetként kiadhatják a számokat, de annál számosabb halmazt alkotnak, és nekünk erre a többletre is szükségünk van."

Irod:
"Úgy rémlik, valahol olvastam olyat, hogy bővítették a valós számkört úgy, hogy bevezettek végtelen kicsi mennyiségeket is, nem vezetett ellentmondásra. De mindezt azért tették csak, hogy a newtoni, mai értelemben nem teljesen korrekt differenciál és integrál számítást valahogy pontosabbá, precízebbé tegyék. Tehát mondjuk úgy, hogy ez egy mat. történeti kuriózum, nem igen használják másra."
A Newton altal bevezetett infinitezimalis mennyisegekkel csupan az volt a baj, hogy eleinte nem volt hozzajuk meg a veges eszunkkel vilagosan felfoghato meghatarozas, az osztonos alkalmazas pedig tul gyakran vezetett tevutra. (Nem veletlen, hogy Hacsek tasztaltarsunktol is eppen ezt probaljak meg szamonkerni a ketelkedok.) Azonban a mai ertelemben vett hatarertekszamitas megszuletese ota nincs ilyen gond, hiszen mar tudjuk, hogyan lehet veges mennyisegekkel utanaeredni a vegtelennek. Semmi akadalya sincs annak, hogy pl. a "vegtelenul kicsiny mennyisegen" a nulla hatarerteku sorozatokat ertsuk (tehat nem a nullat, hanem a sorozatokat). Ezt termeszetesen azzal jar, hogy szamokon ettol kezdve legalabbis sorozatokat kell ertunk. Meg azzal is, hogy nem azonosithatunk egy sorozatot a hatarertekevel (ami raadasul nem is mindig letezik). Meg azzal is, hogy vegtelenul kicsiny mennyisegbol igen sok lesz.
Ha manapsag a matematikai analizis fogaskerekeit csikorogni sejtjuk, akkor jo esely van arra, hogy csak valahol egy sorozatot leegyszerusitettek a hatarertekere, majd azt tettek be egy olyan szamitasba, ahol szinten vannak sorozatok, megpedig olyanok, amelyeknek "elobb" kellene konvergalniuk, mint annak a sorozatnak, amelyet egyszer mar befejezettnek vettunk azzal, hogy a hatarertekevel helyettesitettuk.

Habár annak idején (július 30.) más könyveket említettél az állítólagos cáfolat (nem önkritika!) fellelhetőségére, mégpedig:

Sain M.: Matematikatörténet
Ian Stewart: A természet számai
Singh: A nagy Fermat-sejtés

köteteket, megnézem a Gödel, Escher, Bach -ot is szívesen.

Jelsorozat alatt én a "0.99999999999999999..." -t értettem, azaz a zéró, tizedespont, kilencesek és a három pont alkotta kifejezést. Erről mondtam, hogy értelmezés kérdése, hogy minek tekintjük. Tizedes alakban felírt valós szám nem lehet, mert azoknál nincs ... a szám végén. ha egyáltalán értelmezni akarjuk, akkor megállapodás (definíció) alapján tekinthetjük a [0, 0.9, 0.99, 0.999, ...] sorozat határértékének. Nem a sorozatnak! A sorozat jelölése az előző, nálam szögletes zárójelben levő kifejezés. Teljesen igazad van abban, hogy egy sorozat és a határértéke két különböző dolog, de én - és úgy emlékszem más sem - álította ennek az ellenkezőjét itt.

Viszont te az előző hozzászólásodban azt írtad:
"A 0.99999999999999999... jelsorozat egy olyan mennyiséget jelent, amely bármely véges számnál közelebb van az 1-hez, de mégsem egyenlő 1-gyel."
Ez az ami igazán kavarodást okozhat! Én az előző bekezdésben definiáltam ennek a jelsorozatnak egy szokásos értelmezését, valamint kjelentettem, hogy más értelmezést nem ismerek, te viszont definíció nélkül, érzés szerint - tévesen - használtad. Légy szíves definiáljad te is, s azután folytathatjuk erről a vitát.

Problémásnak tartom a "szám" mint olyan fogalom (matemetikai) használatát, én csak természetes, egész, racionális, valós, komplex (esetleg kvaternio) számokat ismerek. (Egy régebbi párbeszédben ezen problémáztunk, hogy lehet-e általános számfogalomból kiindulni...)

Elmélkedsz a számokról és mennyiségekről. Te mit tekintesz számnak, ill. mit tekintesz mennyiségnek? Mi szerinted a különbség?

Írom, mire te válaszolod:
'"Azt állítom, hogy az egyik sorozattal definiált valós szám egyenlő a másik sorozattal definiált valós számmal! (egyik sorozat: [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], a másik sorozat: [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik])"
Szerintem az általad az egyenlőségjel bal oldalán elhelyezett sorozat (azonosan ismétlődő) tagjai számként ismeretlenek, de annyit tudunk a szimbólum jelentéséről, hogy nem lehet racionális szám. Az egyenlőségjel jobb oldalán viszont mindig egy racionális szám áll. Minthogy a bal oldal sohasem racionális, a jobb oldal meg mindig, egyenlőség nem állhat fenn.'
Látod, beleestél saját csapdádba. A sorozat határértékét összekevered az elemeivel! Azt mondod, hogy az egyenlőségjel jobb oldalán mindig (kiemelés tőlem) egy racionális szám áll. Pedig nem. Azt mondtam, hogy mindkét oldalon sorozat által definiált (azaz a sorozatok határértéke) valós szám áll, amelyek egyenlőek. Tehát a jobb oldalon nem egy-egy racionális szám áll, hanem egy sorozat határértéke. Ezt nem tudjuk másként leírni, mint a sorozat elemeinek felsorolásával és/vagy a folytatás szabályának megadásával. Az "1.41421356..." karaktertersorozat ennek a definíciónak lehet a rövidítése. Tehát egyetlen egyenlőségről van szó, nem pedig egyenlőségsorozatról, ami te emlegetsz a "Az egyenlőségjel jobb oldalán viszont mindig egy racionális szám áll" kijelentéseddel. Más értelmet én nem vagyok képes belelátni. Szerinted mit jelent ez a "1.41421356..." karaktersorozat?

Geometriai megjegyzéseidhez. Eleinte viszonyokról beszélsz, aztán arányokról. Szerintem a viszony nem matematikai fogalom, ezért zavar a használata. (Persze érdekes lehet egy kör vagy négyzet szexuális élete is... :)). Akkor már helyesebb lehet a nagyságrendi viszony kifejezés, vagy az arány szó használata. De abban a pillanatban, amikor bevezeted az egység hosszúságot, az ahhoz hasonlított, vele valamilyen méretarányban levő többi szakasz mérőszámainak meghatározása óhatatlanul szükségessé teszi az egész, majd a racionális számok használatát, aztán az inkommenzurabilitás felfedezésével az irracionális számokét. De ez már "alkalmazott" számelmélet! Nem tudod elkerülni a számkör felépítését, nincsenek külön "geometriai" számok és "aritmetikai" számok!

Pontatlan amit arról írsz, hogy:
"E hossz (vagyis egy szám) mérését párhuzamosan álló szakaszok viszonyára vezethetjük vissza (látszólag gond nélkül). Úgy hihetjük továbbá, hogy nem párhuzamos szakaszok hosszának egymáshoz viszonyított arányát is ugyanígy ki tudjuk fejezni."
Ugyanis nem a párhuzamosság megléte vagy hiánya a probléma, hanem az inkommenzurabilitás, az összemérhetetlenség. Ez, ugye párhuzamos szakaszoknál is előfordul...

Megjegyzem még a négyzetgyök(2) irracionalitásának második bizonyításához én éppen azt javasoltam, hogy relatív prím legyen a b/c hez választott b és c, tehát semmiféle sok-sok osztásról nincs szó. Ha pedig ez nem tetszik, akkor osszad el a számlálót s a nevezőt is a lenagyobb közös osztójukkal - ez egyértelműen definált és meghatározható - és máris elkerülted a valóban pontatlan "osszuk el annyiszor 2-vel, hogy a "végén" már csak páratlanok legyenek ..." lépést.

Azt írod még, hogy:
"Már itt látszik, hogy a racionális számok is valahogy dinamikusabb dolgok, mint a hozzájuk képest sziklaként álló egészek."
Ki kell ábrándítsalak. Ugyanis nem csak a valós és racionális számok definiálásához kell végtelen sok szám, hanem az egész számokat is végtelen sok (természetes számokból álló) számpárral definiáljuk. Pl. a -1-et az [1,2], [2,3], [3,4],... stb. számpárokkal. Mint már említettem valamikor - Kronecker után szabadon - a természetes számokat a Jóisten teremtette, minden egyéb emberi alkotás.

Továbbra sem merném a geometriai absztrakciókat - kiterjedés nélküli pontok, egyenesek, azok viszonyai stb. ember-, vagy objektív világ közelibbnek tartani, mint a számlálásból eredő aritmetikaiakat.

A sorozat és a határértéke természetesen két különböző dolog. Nem is állította senki az ellenkezőjét. Egy csomó sorozatnak van határértéke, ezekhez hozzá lehet ezt rendelni, ez egy értelmes megfeleltetés.
Egy csomó sorozatnak ugyanaz a határértéke, ezeket a sorozatokat lehet egy csoportba rendelni. Ez is értelmes, matematikailag korrekt. Az ilyen sorozatcsoportokat tekinthetjük a valós számok egy modelljének. (Ha racionálisakból állnak.) Az igaz, hogy ez egy jó bonyolult modell, de működik. Talán-e miatt alakult ki az a félreértés, hogy valaki a sorozatot meg a határértékét összemossa.

Egyébként a racionálisakból álló sorozatok és a valós számok igenis egy súlycsoportban vannak, mindkettő kontinuum.

Természetesen a számfogalmat sokféleképpen lehet bővíteni, de azért minden matematikai kreációnak akkor van értelme, ha lehet valamire használni, modellez valamit. Úgy rémlik, valahol olvastam olyat, hogy bővítették a valós számkört úgy, hogy bevezettek végtelen kicsi mennyiségeket is, nem vezetett ellentmondásra. De mindezt azért tették csak, hogy a newtoni, mai értelemben nem teljesen korrekt differenciál és integrál számítást valahogy pontosabbá, precízebbé tegyék. Tehát mondjuk úgy, hogy ez egy mat. történeti kuriózum, nem igen használják másra.

És mégegy. A geometriai fogalmak egyáltalán nem olyan egyértelműek. Nem véletlen, hogy az elfogadott axiomarendszere (Hilbert) egyike az utolsóknak a ma használatos közismertek közül. Az sem véletlen, hogy annyiféle furcsa modellt lehet adni rá, amik elsőre nagyon szemben állnak a szemléletessel. És persze ezek közé az axiomák közé is be kellett hozni egy a folytonosságot biztosító egyáltalán nem közérthetőt.

Írod:
"Szerintem a szóban forgó jelsorozatnak csak egy értelmezése lehetséges, az illető sorozat határértékének tekinthetjük - ha akarjuk, és ebben megállapodunk."
Van egy sorozat, aminek lehet határértéke. Ez két elvileg különböző dolog. Egy sorozatnak nem kell határértékének lennie ahhoz, hogy a sorozat létezzen és hogy értelme legyen. De ha egy sorozatnak van is határértéke, akkor sem kell (és nem is lehet) a sorozatot abba "belegyömöszölni". Egy konvergens sorozat is mindig különbözik a határértékétől. A sorozatok sokkal többen és többfélék is lehetnek, mint ahány számmal megkülönböztethető határérték létezhet.

Folytatod:
"... Még egyszer: vagy egy sorozat határértéke, vagy semmi értelme! Az általad használt értelem - ami nem illeszkedik az elfogadott matematikai elméletekbe - legfeljebb a Hacsek-féle KKI-vel mutat rokonságot."
A sorozatokkal kapcsolatos valóban szigorú matematikai okfejtésekben sohasem csak a határértékkel mint egy számmal manipulálnak, hanem a határértéket definiáló mechanizmussal, amiben mindig véges mennyiségekkel operálnak - ámde bármely előre rögzített véges határon túl. Tehát amiről írok, az normálisan illeszkedik a matematikai elméletekbe, csak ahhoz nem illeszkedik, ahogyan sok, egyébként matematikát használó ember próbálja "tömöríteni" a határértékszámítással kapcsolatos gondolkodást.

Idézel engem, majd írod:
"Ha a valós számokra, mint vég nélkül folytatható és határértékkel is rendelkező sorozatokra tekintünk, akkor azt korrekt elgondolásnak tartom. Ha viszont megpróbáljuk a konvergens sorozatokat a határértékeikként megállapítható számokkal azonosítani, abból már bajok lehetnek."
Az első mondatod a Cantor-féle számkörbővítés elismerését jelenti. A másik mondatoddal viszont ezt visszavonod, hiszen feltételezel másfajta valós számokat."
A számfogalom különféle bővítéseit és módosításait is lehetségesnek tartom. Az ilyesminek azonban csakis az lehet az alapja, ha előbb felfedezzük, megértjük és tudomásul vesszük, hogy adott esetben olyan mennyiségekbe botlottunk, amelyek nem tekinthetők a korábbi értelemben vett számnak, ámbár valamiért nagyon előnyös lenne valahogyan egykalap alá vonni őket. Így válik időnként szükségessé a számfogalom módosítása.

A magam részéről pl. előnyösnek látnám a számfogalom olyan módosítását, amely egyfajta végtelen sorozatokként (vagy ilyen sorozatok halmazaként) kezeli a számokat, viszont helytelennek, ha a sorozatokat redukálják a számokra. Ti. a sorozatok és a számok nincsenek egy "súlycsoportban". A sorozatok speciális esetként kiadhatják a számokat, de annál számosabb halmazt alkotnak, és nekünk erre a többletre is szükségünk van. (Különben nem is lenne értelme a bővítésnek.)
Még valami. Én NEM "másfajta valós számokat" tételezek föl, hanem legfeljebb csak másfajta mennyiségeket, amelyek NEM valós számok, ellenben szóbajöhet a számfogalom olyan bővítése, hogy ezeket is számoknak nevezzük, de csak akkor, ha a mennyiségeknek ezen új halmaza adja ki speciális esetként a korábbról megismert számoknak megfeleltethető (megfeleltetés=/=egyenlőség) valamiket, hiszen a fordított megfeleltetés nem lehetséges (azért is kell bővítenünk). Ezen túlmenően pedig nem szükséges számnak nevezni az újabb mennyiségeket, de azt azért tudni kell róluk, hogy mennyiben különböznek azoktól a dolgoktól, amiket hagyományosan számnak nevezünk.

Azt állítod:
"Azt állítom, hogy az egyik sorozattal definiált valós szám egyenlő a másik sorozattal definiált valós számmal! (egyik sorozat: [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], a másik sorozat: [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik])"
Szerintem az általad az egyenlőségjel bal oldalán elhelyezett sorozat (azonosan ismétlődő) tagjai számként ismeretlenek, de annyit tudunk a szimbólum jelentéséről, hogy nem lehet racionális szám. Az egyenlőségjel jobb oldalán viszont mindig egy racionális szám áll. Minthogy a bal oldal sohasem racionális, a jobb oldal meg mindig, egyenlőség nem állhat fenn. A bal oldalon ismételgetett szimbólum nagyságához legfeljebb csak közelíthet a jobb oldali sorozat, vagyis ha a felírt egyenlőséget definíciónak tekintjük, akkor az pont azt jelenti, hogy 2^1/2-t bizonyos számoknak csak végtelen (be nem fejezhető) sorozatával lehet jellemezni. Ha elfogadod, hogy erre (és a legtöbb valós számra) ugyanez igaz, vagyis hogy csak egy végtelen sorozatként kezelhető korrektül, akkor egyetértünk. (De mielőtt túl hamar igent mondanál (:-))): Arról beszélek, hogy bármely valós szám helyére beilleszthető egy megfelelő sorozat, de nem minden sorozatot helyettesíthetünk egy számmal - még ha ki is találunk neki egy szimbólumot. Ha használunk szimbólumot, annak helyére is magát a sorozatot kell képzelnünk, nem valami fix számot.)

Idézel és kérdezed:
"Tételezzük fel, hogy miként a(z euklideszi) geometriában a szakaszok nagysága egyértelmű viszonyban van egymással, a nagyság jellemzésére kitalált számokra is ugyanez igaz."
Milyen viszonyról van szó? Milyen számokról van szó? Ezeket meg kellene mondani! /I>"
A szakaszok nagysága a síkon akkor is egyértelmű viszonyban van egymással, ha ezt számokkal nem jellemezzük. Szerkesztéseknél nincs is szükségünk arra, hogy számokkal jellemezzük a méretüket.
De élhetünk azzal a hipotézissel, hogy a sík minden szakaszához egyértelműen hozzárendelhetünk egy számot, mégpedig a szakasz hosszát. E hossz (vagyis egy szám) mérését párhuzamosan álló szakaszok viszonyára vezethetjük vissza (látszólag gond nélkül). Úgy hihetjük továbbá, hogy nem párhuzamos szakaszok hosszának egymáshoz viszonyított arányát is ugyanígy ki tudjuk fejezni. (De ez történetesen egy olyan tévedés, amit már a régi görögök is be tudtak látni.)

Írod:
"... most én tételezek fel olyan veszélyt, amit nem tudok alátámasztani, elnézést, - hogy valaki esetleg definiálja a KSPERSz-t (Kurva Sok Prímosztóval Rendelkező Egész Számokat) és elkezd rá elméleteket építeni."
Ezért jobb megmaradni a véges mennyiségekkel, de bármely előre rögzített véges határon túlmenően folytatott operációknál.
Nekem egyébként inkább az első bizonyítás tetszik, ugyanis a második bizonyításban olyan feltevést kell tennünk, amiről eleve nyilvánvaló, hogy hülyeség (magyarán: túl hamar lép fel az ellentmondás), így az indirekt bizonyítási kissé gyanús színezetet vesz fel ("osszuk el annyiszor 2-vel, hogy a "végén" már csak páratlanok legyenek ...").

Helyesen megállapítod:
"(Megjegyzem, hogy nem csak a valós számok definiálásához kell végtelen sok racionális szám, hanem már a racionális számokat is végtelen sok (egészekből álló) számpárral definiáljuk."
Ez így van. Már itt látszik, hogy a racionális számok is valahogy dinamikusabb dolgok, mint a hozzájuk képest sziklaként álló egészek.

Kérdezed:
"... Ugye te se gondoltad komolyan ezt a geometriailag pontosant? A geometriai fogalmak ugyanúgy absztrakciók, mint a számok, én nem mernék közöttük pontossági sorrendet felállítani."
Természetesen a geometria fogalmai is absztrakciók, de nem olyan távoliak, mint a számfogalomé - ezért is kellett az utóbbit többször is módosítani, amikor kiderült valamely korábban lehetségesnek tűnő dolog lehetetlensége. (Vagyis hogy korábban rosszul absztraháltunk.)

Írod:
"Ha a definiált fogalmakat "pontossági szempontokból" kiindulva hasonlítani akarod valami "elsődleges, eleve létező" dolgokhoz, akkor eljutunk a platoni szemlélethez, ami szerint a fogalmak eleve és öröktől fogva léteznek, s az emberi megismerés ennek holmi árnyait képes csak vizsgálgatni."
A fogalmak létezése valamilyen tudat előzetes létezését feltételezi. Fogalmak csak valamilyen tudatban létezhetnek, azon kívül (pl. tankönyvben, vagy flopi diszken nem). De a fogalmak nem önmagukért valók, hanem modellezési célt szolgálnak. Vagyis a fogalmak nem elsődlegesek (mint Platon hirdette), hanem másodlagosak a modellezni kívánt dolog tulajdonságaihoz képest.

Teljesen egyetértek véleményeddel:
"Természetesen a matematikusok is valamilyen módon a való dolgokból indulnak el, de minden esetben tovább lépnek, hagyják, hogy a téma elragadja őket és mindig újabb és újabb "világokat" fedezzenek fel.
Az már filozófikus mélységű kérdés, hogy ezek az elméletek megszületésük előtt is a való világ részei-e, hogy a matematikusok vajon feltalálók, vagy felfedezők?"

Szeretnélek ismét emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát. (Én definiáltam a szokásosat.) Amit eddig
produkáltál ez ügyben, az KKD.

Azt írod, hogy:
"A "határátmenet teljesíthetőségén" azt értettem, hogy a sorozat végeredményben elérné azt a valamit, amit az általam
(is) megfogalmazott határértékként megállapíthatunk."
Úgy érted, hogy lenne olyan elem a sorozatban, ami a határértékkel megegyezik? Vagy egy indextől kezdve az összes elem megegyezik ezzel a határértékkel?
Mert én még ilyen vélekedést nem hallottam. Lehet, hogy te igen, de olyan környezetben - itt, ebben a topicban - ahol ez nem fordult elő, nem igazán értem a szükségességét az ellene való küzdelemnek.

Másik kijelentésed:
"A 0.99999999999999999... jelsorozat egy olyan mennyiséget jelent, amely bármely véges számnál közelebb van az
1-hez, de mégsem egyenlő 1-gyel. E sorozatnak (0.9, 0.99, 0.999, ...) csak a határértéke egyenlő 1-gyel."
A mondatod végével teljesen egyetértek, a (0.9, 0.99, 0.999, ...) sorozatnak a határértéke egyenlő 1-gyel. A problémám az elejével van. Szerintem a szóban forgó jelsorozatnak csak egy értelmezése lehetséges, az illető sorozat határértékének tekinthetjük - ha akarjuk, és ebben megállapodunk. Ha nem, akkor egyáltalán nincs értelme! Még egyszer: vagy egy sorozat határértéke, vagy semmi értelme! Az általad használt értelem - ami nem illeszkedik az elfogadott matematikai elméletekbe - legfeljebb a Hacsek-féle KKI-vel mutat rokonságot.

Továbbá azt írod:
"Ha a valós számokra, mint vég nélkül folytatható és határértékkel is rendelkező sorozatokra tekintünk, akkor azt korrekt elgondolásnak tartom. Ha viszont megpróbáljuk a konvergens sorozatokat a határértékeikként megállapítható számokkal azonosítani, abból már bajok lehetnek."
Az első mondatod a Cantor-féle számkörbővítés elismerését jelenti. A másik mondatoddal viszont ezt visszavonod, hiszen feltételezel másfajta valós számokat. Ha elfogadod a szabályos sorozatokkal definiált számkörbővítést, akkor nincsenek másfajta valós számok, tehát semmiféle bajok nem lehetnek! (Egyébként milyen bajokra gondoltál?)

Arról is írsz, hogy:
"Attól, hogy a sorozat megfelelően definiált (vagyis hogy a határértéke éppen 2^(1/2), még nem következik, hogy a sorozat elemei közül találhatnánk akár egyet is (a végesben bárhol, bármikor), amelyik egyenlő volna vele."
Ezt nem is mondtam! Azt állítom, hogy az egyik sorozattal definiált valós szám egyenlő a másik sorozattal definiált valós számmal! (egyik sorozat: [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], a másik sorozat: [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik])

Azt is kijelented, hogy:
"A Pi, az Euler-féle szám, és bármely más transzcendens irracionális (és valós) szám is közelíthető racionális számok sorozatával. Ez mégsem jelenti azt, hogy a nevezett transzcendens számok azonosíthatóak lennének ezen
sorozatokkal, vagy hogy e sorozatoknak akárcsak egyetlen elemével is."
A mondatod második fele természetesen igaz, de az elsővel kétségbe vonod a Cantor-féle valós számkör definiálást, ami viszont ekvivalens az összes ismert más elven alapuló számkörbővítéssel.

A négyzetgyök(2) irracionalitásának általad adott bizonyításaiban is - a helyes alapgondolat mellett - számos probémát vélek felfedezni.

Írod:
"Tételezzük fel, hogy miként a(z euklideszi) geometriában a szakaszok nagysága egyértelmű viszonyban van
egymással, a nagyság jellemzésére kitalált számokra is ugyanez igaz."
Milyen viszonyról van szó? Milyen számokról van szó? Ezeket meg kellene mondani!

Az első bizonyításod szemléletesnek tűnik, de magában hordozza annak a veszélyét - most én tételezek fel olyan veszélyt, amit nem tudok alátámasztani, elnézést, - hogy valaki esetleg definiálja a KSPERSz-t (Kurva Sok Prímosztóval Rendelkező Egész Számokat) és elkezd rá elméleteket építeni. Ezért jobb a második bizonyítás, de ott is eleve a b/c racionális számot egyszerűen relatív prím egész számok hányadosaként tekintjük, s így már az egész számok oszthatóságára vezettük vissza a bizonyítást.
(Megjegyzem, hogy nem csak a valós számok definiálásához kell végtelen sok racionális szám, hanem már a racionális számokat is végtelen sok (egészekből álló) számpárral definiáljuk. Pl. az 1/2-et az [1,2], [2,4],[3,6],... stb. számpárokkal.)

Továbbá azt is mondod, hogy:
"Amikor olyat írunk le, hogy 2^(1/2), azzal csak jelölünk egy mennyiséget, amit geometriai pontosan, számokkal viszont csak közelítően tudunk jellemezni."
Ugye te se gondoltad komolyan ezt a geometriailag pontosant? A geometriai fogalmak ugyanúgy absztrakciók, mint a számok, én nem mernék közöttük pontossági sorrendet felállítani. Ami a valós számok racionális számsorozatokkal való jellemzését illeti, mivel definiáljuk őket, ennél pontosabb megadást nem lehet elképzelni.

Ha a definiált fogalmakat "pontossági szempontokból" kiindulva hasonlítani akarod valami "elsődleges, eleve létező" dolgokhoz, akkor eljutunk a platoni szemlélethez, ami szerint a fogalmak eleve és öröktől fogva léteznek, s az emberi megismerés ennek holmi árnyait képes csak vizsgálgatni.
Az én véleményem ettől eltér, a matematikai fogalmak akkortól léteznek, amikor megalkották őket, és pontosan olyanok, amilyennek megalkották őket. (Ez nem zárja ki, hogy a fogalmak, axiómarendszerek, definíciók ne finomodhatnának történelmileg, és azt se, hogy az objektív valóság tulajdonságaiból indulunk ki az elméletek gyártásában, s ezért a konklúziók is alkalmazhatóak lesznek majd rá.)

A "határátmenet teljesíthetőségén" azt értettem, hogy a sorozat végeredményben elérné azt a valamit, amit az általam (is) megfogalmazott határértékként megállapíthatunk. De ez az, ami a határérték fogalmában nincs benne! Ez egy plusz feltevés, amit egyesek automatikusan igaznak vesznek, helytelenül.

Kérdezed:
"Mit jelent nálad a 0.99999999999999999... jelsorozat? Ha a lim (n->végtelen) a(n), ahol a(n)=szumma(k=1,n) 9/10^k, akkor bizony egyenlő az 1 valós számmal definíció szerint."
A 0.99999999999999999... jelsorozat egy olyan mennyiséget jelent, amely bármely véges számnál közelebb van az 1-hez, de mégsem egyenlő 1-gyel. E sorozatnak (0.9, 0.99, 0.999, ...) csak a határértéke egyenlő 1-gyel. E két dolog ugyanúgy különbözik, mint ahogy különbözik egy függvénynek valamely pontban vett helyettesítési és határértéke is egymástól. "Filozófiailag" (maradva GPF minősítésénél) egészen mást jelentenek, és csak kivételes esetben (pontbeli folytonosság esete) tekinthetők egyenlőnek. De ez az "egyenlőnek tekinthetőség" sem jelent valódi egyenlőséget, csupán csak annyit, hogy nem jutunk (pontosabban eddig nem jutottunk) ellentmondásra, ha feltételeztük teljesülését.
Ha a valós számokra, mint vég nélkül folytatható és határértékkel is rendelkező sorozatokra tekintünk, akkor azt korrekt elgondolásnak tartom. Ha viszont megpróbáljuk a konvergens sorozatokat a határértékeikként megállapítható számokkal azonosítani, abból már bajok lehetnek.

Folytatod:
"2^(1/2)=/=1.414213562...
Lásd mint fent. Ha a jobboldal egy megfelelően definiált sorozat, pl. a négyzetgyökvonó algoritmus által kapott közelítések sorozata, akkor az egyenlőség fennáll! "
NEM. Attól, hogy a sorozat megfelelően definiált (vagyis hogy a határértéke éppen 2^1/2), még nem következik, hogy a sorozat elemei közül találhatnánk akár egyet is (a végesben bárhol, bármikor), amelyik egyenlő volna vele. Nem a sorozat (vagy bármelyik eleme) egyenlő 2^1/2-vel, hanem egy olyan hipotetikus mennyiség egyenlő vele, amire az igaz, amit a határértékkel kapcsolatban korábban leírtam (1. tetszőleges véges közelségbe kerülhetünk hozzá, 2. de nincs más ilyen tulajdonságú dolog).

Írod:
"Egyébként pedig a Pí akár racionális számsorozat határértékeként is megadható, gondolj az Euler vagy a Wallis formulákra! Hasonlóképpen az Euler féle e is és minden valós szám!"
A Pi, az Euler-féle szám, és bármely más transzcendens irracionális (és valós) szám is közelíthető racionális számok sorozatával. Ez mégsem jelenti azt, hogy a nevezett transzcendens számok azonosíthatóak lennének ezen sorozatokkal, vagy hogy e sorozatoknak akárcsak egyetlen elemével is.
A négyzetgyök kettő is közelíthető racionális számok sorozatával, azaz nincs olyan véges távolság tőle, aminél közelebb ne találhatnánk racionális számot, ezért a közelítés folytatásának nincs akadálya. De befejezni mégsem lehet, amit szerencsés módon észrevehetünk abból, hogy a határérték kívül esik a racionális számok körén.
Talán érdemes felidézni a következő gondolatmenetet:
1.) Tételezzük fel, hogy miként a(z euklideszi) geometriában a szakaszok nagysága egyértelmű viszonyban van egymással, a nagyság jellemzésére kitalált számokra is ugyanez igaz. (HA a szakaszok nagysága számokkal egyértelműen és pontosan kifejezhető (nevezzük "hossz"-nak), akkor ez természetes feltevés.)
2.) A téglalapok területéről tudjuk, hogy bizonyos geometriai viszonyok (az oldalak egymáshoz való viszonyulásáról van szó) esetén arányos a hosszabb és a rövidebb oldal hosszával is, és nincs okunk feltételezni, hogy más oldalméreteknél ez másképp lenne (euklideszi síkon vagyunk).
3.) Az egységnyi oldalélű négyzet átlójának és oldalának a viszonya geometriailag egyértelmű és pontosan megadható. Tudjuk, hogy az átlóra és az oldalra emelt négyzetek területeinek aránya pontosan 2, ami tehát 1.) feltevésünk szerint megegyezik az átló hosszának önmagával való szorzatával (a²=2).
4.) Most nézzük meg, hogy az "a" számról mit tudunk. Mint számról, feltételeztük, hogy egyértelmű és pontosan megállapítható viszonyban van más számokkal, amelyekkel együtt a geometriai valóságban tapasztalható viszonyokat kívánjuk jellemezni. Minthogy a viszonyítás megengedett (éppen ez az általános eljárás), az "a" számról megengedhető hogy egész, vagy egész számok viszonyával kifejezhető legyen. Az is megengedhető, hogy más viszonyszámok viszonya legyen. De egyszerűsítés után ebben az esetben is fel tudjuk írni az "a" számot egész számok hányadosaként, tételezzük hát fel, hogy ezt már meg is tettük: a=b/c
5.) Az a=b/c viszonyt beírva az a²=2 összefüggésbe, törttelenítés után kapjuk: b²=2*c². Az itt szereplő számok mindegyike egész, ami azért jó, mert viszonylag közvetlenül támaszkodhatunk a logikára. Látjuk, hogy a jobb oldalon páros szám áll, tehát a bal oldalon is annak kell állnia. A bal oldalon viszont csak akkor lehet páros a szám, ha a "b" szám is páros. Ezesetben viszont b² nemcsak 2-vel, de 2*2-vel is osztható, és a másik oldalon c²-nek is párosnak kell lennie, ami csak akkor lehetséges, ha maga "c" is páros, de akkor a jobb oldali szám már egyenesen 2*2*2-vel is osztható, aminek természetesen igaznak kell lennie a bal oldalra is. Ha a bal oldal 2*2*2-vel osztható, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy a "b" szám 2*2-vel is osztható. De ekkor b² már 2*2*2*2-vel osztható, aminek igaznak kell lennie a jobb oldali számra is, aminek folyománya, hogy c²-nek is oszthatónak kell lennie 2*2*2-vel, ami ismét csak akkor lehetséges, ha "c" 2*2-vel, az egész jobb oldal pedig 2*2*2*2*2-vel is osztható, stb. E sorozatnak semmikor sem érhetünk a végére, noha egyre hatalmasabb számokat vagyunk kénytelenek bevonni az okoskodásba. Ezt az eredményt úgy foglalhatjuk össze, hogy nincsenek olyan véges "b" és "c" számok, amelyek elég sokszor tartalmazhatnák szorzótényezőként a 2-őt ahhoz, hogy a b/c arány végre fölírható legyen.
6.) A klasszikushoz jobban hasonlító érveléssel:
Ha a b²=2*c² egyenlőség mindkét oldalán páros számok állnak, akkor osszuk el annyiszor 2-vel, hogy a "végén" már csak páratlanok legyenek. Ez azonban ellentmondás, hiszen a jobb oldal bizonyosan nem lehet páratlan. Vagyis az egyszerűsítés nem hajtható végre. Márpedig minden véges számra véges lépésben végrehajthatónak kellene lennie. Vagyis "b" és "c" nem lehetnek véges számok.

"Filozófiailag" (:-))) azt a tanulságot vonnám le, hogy bár geometriailag lehetnek adottak bizonyos viszonyok (arányok), számokkal már nem feltétlenül tudjuk pontosan megragadni azokat. Egyes geometriai arányokat számokkal csak közelíteni tudunk, mégpedig valamilyen véget-nem-érő folyamatban, sorozattal. Amikor olyat írunk le, hogy 2^1/2, azzal csak jelölünk egy mennyiséget, amit geometriai pontosan, számokkal viszont csak közelítően tudunk jellemezni.

Az a gondolat, hogy a különböző szakaszok hossza számokkal egyértelműen és pontosan jellemezhető, és elegendő e számokat egymáshoz viszonyítanunk, ugyanazt a problémát hordozza, mint amikor végtelen halmazok számosságát azzal a hagyományos módszerrel próbálták meg jellemezni, hogy előbb megszámolják az egyik összehasonlítandó végtelen halmazt (azaz hozzárendelnek egy egyértelmű és pontos számot), majd megszámolják a másikat is, a végén pedig összehasonlítják a két számot. Ezt a programot sem lehetett végrehajtani, hanem meg kellett elégedni annyival, hogy megadunk egy eljárást, amivel az összehasonlítandó halmazok elemei párosíthatók (egymáshoz mérhetők), a tényleges összehasonlítást pedig nem "elvégezzük", hanem csak azt vizsgáljuk, hogy akadálytalanul folytatható-e, illetve hogy elvileg sorra kerülne-e bármely elem, vagy valamelyik halmaz "hibájából" nem.

****************
Kedves Ebey!

A mostani az nem egy új téma, hanem a régi téma körüljárása, avagy folytatása.

****************
Kedves GPF!

Bocs, kizökkentem.
Min is vitatkoztok? Mindkettőtöknek igaza van szerintem. Lalo matematikusabban fogalmaz, DcsabaS_ (De rohadt nehéz ezt leírni) filozófikusabb, de nem látom az alapvető nézetkülönbségeket.

A lépcsős ellentmondás a klasszikus példája annak, hogy hogyan nem szabad értelmezni a határértéket.

Továbbra is homályos vagy és nem válaszolsz a kérdéseimre.

a) Mit értesz a határátmenet beteljesíthetőségén?
Erre definiálod - szépen - a határérték fogalmát. De mi a fene az a beteljesíthetőség? Hol használta bárki is? Netalán önmagaddal polemizálsz?

b) 1 =/= 0.99999999999999999...

Mit jelent nálad a 0.99999999999999999... jelsorozat? Ha a lim (n->végtelen) a(n), ahol a(n)=szumma(k=1,n) 9/10^k, akkor bizony egyenlő az 1 valós számmal definíció szerint. (Ismered ugye a valós számok Cantor-féle definícióját?)

2^(1/2)=/=1.414213562...
Lásd mint fent. Ha a jobboldal egy megfelelően definiált sorozat, pl. a négyzetgyökvonó algoritmus által kapott közelítések sorozata, akkor az egyenlőség fennáll!

c) "A Pi (vagyis a kör kerület/átmérő aránya az euklideszi síkon) nem írható le, sem egész számok véges kommbinációjával, sem racionális számok véges kombinációjával"
Mi ez a véges kombináció? És ki akarja úgy leírni a Pí-t? Már megint saját magaddal viaskodsz!
Egyébként pedig a Pí akár racionális számsorozat határértékeként is megadható, gondolj az Euler vagy a Wallis formulákra! Hasonlóképpen az Euler féle e is és minden valós szám!

Kérdezed:
"Mit értesz a határátmenet beteljesíthetőségén? ..."
"Mit értesz azon, hogy a transzcendens számokat nem érhetjük el? ..."
"Ki és mikor tette fel, hogy az összegzést elvégezhetjük?"

A jelek szerint homályban maradt szövegeimmel a következő problémára kívántam utalni:
Amikor veszünk mondjuk egy konvergens számsorozatot, akkor hajlamunk van úgy szemlélni a konvergenciát, mintha a határértékként megállapítható szám a konvergencia végeredménye lenne. Csakhogy a határérték NEM ezt jelenti. Vagyis nem azt jelenti, hogy a sorozat "előbb-utóbb eléri a határértékét", csupán azt, hogy a határértékként megállapítható számon kívül biztosan nincs másik olyan szám, amire az igaz volna, hogy bármilyen előre rögzített véges értéknél közelebb kerülhetnének hozzá a sorozat elemei, amikor elég magas (de még véges) indexekig elmegyünk.
Maradva a sorozatoknál, a határérték létezése tehát csupán a következő 2 dolog együttes teljesülését jelenti:
1.) Van olyan dolog (mondjuk szám), amihez bármely előre rögzített véges távolságnál közelebb kerülhetünk, ha elég messze (de véges index fölé) megyünk el a sorozatban.
2.) Nincs más ilyen tulajdonságú dolog, csak az az 1.

Azt nem használjuk ki, hogy a sorozat elemei valahonnan kezdődően ténylegesen is egyenlővé válnának a határértékkel. Szerencsére, ugyanis az ellentmondásra vezethetne bizonyos esetekben. Épp ez a be-nem-fejezettség a zseniális a határértékszámításban (:-))).

Néhány példa arra, amikor nem állhat fenn egyenlőség:
1 =/= 0.99999999999999999...
A bal oldalon egész szám áll, a jobb oldalon pedig mindig tört, bármeddig is szaporítsuk a 9-eseket. Az, hogy a jobb oldalon álló sorozat határértéke 1, csupán azt jelenti, hogy az 1-hez minden konkrét véges határnál, még a konkrét végesben közelebb kerül a sorozat, és hogy nincs más ilyen tulajdonságú szám. De azt, hogy az 1 szám egyenlő lehetne a jobb oldalon sorjázó 9-esekkel leírt számmal, NEM jelenti.

2^1/2=/=1.414213562...
A bal oldalon irracionális szám áll, a jobb oldalon meg mindig racionális. Ezért a jobb oldalon álló szám mindig csak közelítése lehet a bal oldalon állónak, de semmikor sem lehet vele egyenlő.

Pi=/=...
Ezt inkább szóban írom le. A Pi (vagyis a kör kerület/átmérő aránya az euklideszi síkon) nem írható le, sem egész számok véges kombinációjával, sem racionális számok véges kombinációjával, sem pedig úgy, hogy még megengedjük azon irracionális számok használatát is, amelyek gyökei racionális együtthatós algebrai egyenleteknek (2^1/2 és társai). Ezeket ugyanis bárhogyan is összegezzük, mindig csak algebrai számot kapunk. Így tehát a jobb oldalon mindig algebrai szám áll, a bal oldalon meg nem-algebrai (transzcendens). (Igazából még ennél is "durvább" a helyzet, ugyanis a Pi más transzcendens számok felhasználásával sem kifejezhető, vagyis pl. "e" (a természetes logaritmus alapszáma) segítségével sem. A transzcendens számok algebrai szempontból úgyszólván független világokat alkotnak, ráadásul számosságukat tekintve ők vannak a számegyenesen a legtöbben!)

Azt már én is észrevettem, hogy az aranymetszési arány hatványozásakor együtthatóként bejönnek a Fibonacci számok, de nem tudtam összehozni a tétellel.
Számomra az a fantasztikus a dologban, hogy ez az összegzési módszer szakaszos tizedestörtet hoz létre.

Filozófiai fejtegetésedben néhány olyan kijelentést tettél, ami számomra nem nagyon értelmezhető. Megtennéd, hogy ezeket bővebben értelmezed?

a) "Magyarán, amikor egy irracionális számot racionális számokkal közelítünk, az példa olyan közelítésre, ami még akkor sem nem elvégezhető, ha egyébként a határérték egyértelmű. Vagyis egy határérték egyértelműsége még nem garantálja a határátmenet, vagyis a közelítés elvégezhetőségét, beteljesíthetőségét. "

Mit értesz a határátmenet beteljesíthetőségén?

b) "Más szóval, nemcsak az igaz, hogy racionális számokkal nem érhetjük el az irracionális számokat, de még az is, hogy az irracionális algebrai számokkal sem érhetjük el a transzcendens irracionális számokat!"

Mit értesz azon, hogy a transzcendens számokat nem érhetjük el?

c) "de az már egy további feltevés, hogy az összegzést ténylegesen el is végezhetjük. Kényelmes, de szükségtelen feltevés"

Ki és mikor tette fel, hogy az összegzést elvégezhetjük?

3. Tehat sum(f_n/10^n)=1/s5*(1/(1-(1+s5)/20)-1/(1-(1-s5)/20))= 1/40*(19+s5)*(19-s5)=89/10.

Van egy jó kis tételem:
Írjuk le egymás mellé/alá egy-egy tizedesjegynyi jobbratolással a Fibonacci-sorozat elemeit, majd adjuk össze! Írjunk az összeg elé 0,0 -t hogy kijelöljük a helyes nagyságrendet! A kapott eredmény a 89 reciproka!!
Valaki tudná bizonyítani?? Nekem nincs ötletem, hogy ezt hogy a túróba lehet bizonyítani, pedig igaz!!

off
Valóban, 15-én visszaérkeztem (:-))).
on

Írod:
"Nos az én olvasatomban (1/3) az a R szám amelyre igaz, hogy 3 * R = 1"
Igen, ezt lehet mondani, csak éppen emlékezni kell rá, hogy az ilymódon definiált szám nem biztos, hogy ugyanolyan számként létezik, mint azok, amelyeket véges számlálással állítottunk elő. A véges számú, egész lépésekben történő előreszámlálással még nincs gond. Nem véletlen, hogy éppen erre a tőre megy vissza a szám fogalom is, és hogy a halmazelméleti számosság meghatározásánál is vissza kellett lépni attól a korábban általánosan igaznak vett burkolt feltevéstől, hogy egy számlálás biztosan befejezhető. De talán haladjunk sorban:

1.) Véges számú, egész lépésben történő előreszámlálással előállíthatjuk a természetes számokat.

2.) De az előreszámlálás inverzéről (visszaszámlálás) már nem állítható, hogy az is ilyen könnyen folytatható, mert belátható, hogy bármely természetes számtól induljunk is el a visszaszámlálással, az előbb-utóbb akadályba ütközik. Esetleg a nullát még ki tudjuk magyarázni valahogyan, de azután már nincs tovább: a visszaszámlálás onnantól csak akkor folytatható, ha más típusú mennyiségeket vezetünk be, mint amelyeket korábban megszoktunk! Éppenséggel ezeket is nevezhetjük számnak (ti. negatív számnak), de ezek eltérése a természetes számoktól egyáltalán nem csupán a mínusz jel, hanem az, hogy valamiképp feltételes jellegűek. Ha nekem -3 forintom van, akkor az nem azt jelenti, hogy ténylegesen van pénzem, hanem éppen azt, hogy ha kapnék valakitől 3 forintot, még akkor sem lenne.

3.) A szorzással ugyan nincs különösebb probléma, de annak inverz műveletével, az osztással már igen. Kiderül ugyanis, hogy amíg az előbb kifundált egész számok körében a szorzás mindig elvégezhető művelet, az osztásra ez nem igaz! Tudomásul vehetjük, hogy bizonyos osztásokat a számok körében nem lehet elvégezni, vagy pedig nincs mese, ismét csak kénytelenek vagyunk olyan új fajta (tört) mennyiségeket bevezetni, amelyek körében majd (szinte) mindig lehet valamilyen (szintén feltételes) értelmet tulajdonítani az osztásnak. Az így kifundált mennyiségeket ismét nevezhetjük számoknak, de ez nem teszi semissé a különbségeiket az ún. egész, vagy pláne az ún. természetes számokhoz képest. (Megjegyzendő, hogy a most kreált racionális számoknak a halmaza olyan értelemben nem teljes, hogy a x/0 típusú osztásokat még mindig nem teszi értelmezhetővé.)

4.) Újabb műveletként bevezethetjük az egész kitevős hatványozást, ami végrehajthatóság szempontjából nem okoz kellemetlen meglepetést (talán annak kivételével, hogy az X⁰ típusú hatványt külön kell értelmeznünk), de ennek az inverzeivel is baj van, akár a logaritmuskeresést, akár a gyökvonást tekintjük. Maradva az utóbbiaknál, úgy találjuk, hogy a lehetséges számok egész kitevős gyökeit sem mindig leljük meg a korábban megismert számok között, vagyis a gyökvonás sem bizonyul olyan műveletnek, amely feltétlenül végrehajtható. Ha nekünk a végrehajthatóság mégis fontos (márpedig a fizikai valóságból tudjuk, hogy az!), akkor ismételten arra kényszerülünk, hogy módosítsunk korábbi szám fogalmunkon. Kénytelenek leszünk bevezetni a képzetes és a komplex számok fogalmát, hogy a X² = -1 jellegű hatványozás inverzét képezhessük, de kénytelenek leszünk bevezetni az irracionális számok fogalmát is, amelyek legegyszerűbbike az X² = 2 hatvány invertálhatóságához kell. (Már a régi görögök is ismerték.) A képzetes és az irracionális számok közötti fontos eltérés, hogy amíg a képzetes számok nem közelíthetők meg nem képzetes (tehát valós) racionális számokkal minden határon túl, addig az irracionális számok bármelyike tetszőlegesen megközelíthető racionális számok sorozata segítségével, noha az a feltevés mégis ellentmondásra vezet, hogy a sorozat végül "beletalálna" az irracionális számba! Magyarán, amikor egy irracionális számot racionális számokkal közelítünk, az példa olyan közelítésre, ami még akkor sem nem elvégezhető, ha egyébként a határérték egyértelmű. Vagyis egy határérték egyértelműsége még nem garantálja a határátmenet, vagyis a közelítés elvégezhetőségét, beteljesíthetőségét.
Általában elvárhatjuk, hogy minden algebrai egyenletnek legyen megoldása. E megoldások (valós, vagy komplex) ugyan szinte mindig irracionálisak, de ugyanakkor belátható, hogy az ilyen algebrai irracionális számok mégis kevesebben vannak, mint a nem algebrai (transzcedens) irracionális számok. Más szóval, nemcsak az igaz, hogy racionális számokkal nem érhetjük el az irracionális számokat, de még az is, hogy az irracionális algebrai számokkal sem érhetjük el a transzcendens irracionális számokat!
5.) Példákat hoztam arra, hogy egy közelítés akadálytalanul folytatható minden véges határon túl, de mégsem tekinthető semmikor sem befejezettnek. A határértékszámítás lényege, hogy az időnként "számnak" titulált, vagy felfogott határérték helyébe mindig tehetünk egy bizonyos közelítő "lépegető logikát", de nem mindig tehetünk egy véges számot ellentmondások felbukkanása nélkül.

welcome back, DcsabaS_ !

on

Bemelegítés:
Az általános iskolában úgy tanítják (vagy nekünk még úgy tanították), hogy: 3 * 5 = 5 * 3 (és hasonlók.) Később persze (a középiskolában) ebből gond lett, ugyanis addigra oly mélyen beivódott a nebulók fejébe a kommutativitás eszméje, hogy már alig-alig lehetett megérttetni velük: nem általános igazság, hogy bármely két dolog sorrendje fölcserélhető, még a számok világában sem (amelyek ha áttételesen is, de szintén a valóságos viszonyok tükrözésére lettek kitalálva). Hogy újból érthető legyen a kommutativitás korlátozott érvényessége, azt a példát szoktam felhozni, hogy vajon "ugyanaz-e, ha 3 napon keresztül kapunk naponta egy 5 forintost, vagy 5 napon keresztül kapunk naponta egy 3 forintost?" Ebből ki szokott derülni, hogy semmiképp sem lehet szó igazi azonosságról, vagy igazi egyenlőségről, hiszen amíg az első egy lehetséges, addig a második egy lehetetlen esemény. Vagyis egy 3 * 5 = 5 * 3 típusú összefüggés még ebben a merőben ártalmatlannak tűnő helyzetben is csak korlátozottan érvényes. Ha a valóság érvényesebb leírására törekszünk, akkor elkerülhetetlen megalkotnunk olyan matematikai fogalmakat is, amelyek kifejezhetővé teszik a dolgok esetenkénti föl nem cserélhetőségét.

Kérdésed felé közelítve, az
1 = 1/3+1/3+1/3 összefüggés jelentése NEM teljesen azonos az
1/3+1/3+1/3 = 1 összefüggésével.
Az én olvasatomban ugyanis az első az egység felosztását, azon belül harmadolását jelenti, a második pedig egy korábbi harmadolás harmadjainak az újbóli egyesítését. Míg az utóbbi lépés önmagában többnyire lehetséges, addig a harmadolás általában nem (lásd szögharmadolás). Nemcsak arról van szó, hogy nekünk "véletlenül" nehezebb egy művelet inverzét (itt most a felosztást) elvégeznünk az eredeti művelethez (itt most az egyesítéshez) képest, hanem hogy létezhetnek bizonyos általánosabb nehézségek is.

Még tovább közelítve az általad felvetett kérdéshez, az
1/3 = 0.33333... természetesen szintén NEM teljesen azonos az
0.33333 = 1/3... összefüggéssel,
hiszen az első egy olyan darabolást jelent, amikor megpróbáljuk az egységnek egy 3/10, 3/100, 3/1000, stb. darabjait kiemelni, majd ezeket "menet közben" egyesíteni, a második pedig a már létező 3/10, 3/100, 3/1000 darabok egyesítését fejezi ki, de úgy, mintha az befejezett lenne. Egyébként mindkét dolog problémás, hiszen a felosztás NEM mindig lehetséges (mint az előző pontban is írtam), az egyesítés pedig nemigen fejezhető be (értsd: "teljesíthető"), ha az egy végtelen folyamat.

Egyszerűnek látszó kérdésed tehát legalább 3, a matematika alapjait érintő fontos dologgal kapcsolatos:
1.) mennyiségek közötti nem minden művelet kommutatív;
2.) nem hajthatók végre tetszőleges arányú felosztások;
3.) egy korlátlanul végezhető folyamat még nem biztosan befejezhető.

Szeretnélek ismét emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát. (Én definiáltam a szokásosat.) Amit eddig produkáltál ez ügyben, az KKD.

Kedves Hacsek, örülök, hogy újra itt vagy, de - előre is bocsánatot kérek - nekem szúrja a szemem, hogy már sokadszor a Te elméletednek nevezel valamit, amiről hiába kérdezünk Tőled bármit, gyakorlatilag semmit sem árulsz el. Mintha elmélet nem is lenne, csak egy érdekes szemlélet, amibe jól belegondolva Te is látod az ellentmondásokat. Amik bizony sokkal súlyosabbak, mint amikkel akkor találkozol, ha megpróbálod elfogadni a klasszikus szemléletet.
Az intervallumos tételről meg annyit: ez az érdekes, de tényleg nem túl fontos eredmény csak arra bizonyíték, hogy a végtelent bevonva a játékba olyan eredményekre jutunk, ami a véges dolgokhoz szokott elménk számára ellentmondásnak tűnik. De hát ilyeneket "már a régi görögök is tudtak" , ld. Achilleus és a teknőc esetét stb.

Kedves architect, a Te gyakorlati tapasztalatod ezek szerint egybecseng az elmélettel.

Már hiányoztál, alig vitatkoztunk.

Mi az a KKI?

Szerintem elég sok olyan dolgot lehetett itt találni, ami rámutat a rac és az irrac számok közti különbségre. Ez tényleg érdekes volt, de kb annyira, mint a kiinduló feladat, a csak az irrac számokon folytonos függvény. (Bocs Ebey)

Itt vagyok, mert olvastam végre egy pozitív elméletet Ebey-től.

"Ha c elég nagy (nagyobb, mint (3+gyök(5)/2)), akkor minden p/q racionális számot lefedve a [p/q-1/(c*q2), p/q+1/(c*q2)] intervallummal, lesz olyan irracionális szám, amelyet az intervallumrendszer nem fed le.. "
Íme a KKI-ket elválasztó falak. Ha ezeket az intervallumokat (például a q kitevőjének növelésével) csökkentjük, szép lassan közelítünk a ...
Na mihez is?

Én adok egy igen durvának látszó, de meglepően pontos becslést a négyzetosztós számok gyakoriságára: 40%. Ez az érték jórészt független a szám nagyságrendjétől. Hasonló eredmény, mint a te 6/pinégyzetes ellenpróbád, a gyakorlatból megerősítve. Ráadásul a négyzetosztós számok meglehetősen egyenletesen helyezkednek el, 100 szám között majdnem mindig 38-42 négyzetosztós van.

Ilyenek vannak benne, hogy négyzetmentes számok?

Érdekes ez a tétel a rac. irrac számokról. Szóval Hacsekre visszatérve, biztos van egy csomó minden, ami megkülönbözteti, jellemzi a rac és az irrac számokat. Felesleges új, homályos dolgokat bevezetni.

a tegnap estét Nieven-Zuckermann számelmélet könyvével töltöttem. Jó régóta nem volt a kezemben, egészen elvarázsolt.
Ebben a könyvben van bizonyítva az a*n/ln(n) < p(n) < b*n/ln(n) tétel is. Jellemző, hogy ami egyetemi emlékeimben aránylag elemi bizonyításnak tűnt, most elolvasva alig értettem meg. :-(
A könyv egy másik tétele szerint a négyzetmentes számok sorozatának a sűrűsége 6/pi² (ez kb. 0,6), ahol egy A számsorozat sűrűsége= lim(A(n))/n), ahol A(n)=az A sorozat n-nél nem nagyobb elemeinek száma.
Persze ez is csak olyan "aszimptotikus" dolog, lehetnek a sorozat viselkedésében anomáliák, tehát ebből nem következik, hogy a nem négyzetmentes számok sorozatában nincs akármilyen hosszú "intervallum", csak inkább ellene van, mint mellette.

Tényleg tetszik, amiket írsz.

Tegnap én is elkezdtem előszedni a szekrények mélyéről a régi jegyzeteimet, meg könyveimet, de ebben ki is merült a matematikai tudásom felfrissítése.

igazad van abban, hogy a Prímszámtétel azt mondja ki, hogy p(n) aszimptotikusan egyenlő n/ln(n)-nel.
De bizony lehet olyant állítani, amit írtam. Utánanéztem tegnap este, hogy pontosan emlékszem-e dolgokra, ebben nem tévedtem, a=ln(2)/4, b=32*ln(2) értékekkel valóban igaz az az állítás, amit írtam.

Sajnos a gondolatmenet, amit leírtam, valóban zsákutca (jó volt a megérzésed, Neked nem igen tetszett ;-))). Ugyanis a négyzetszám osztó-mentes számok száma nem nagyon marad le az n értékétől, pontosabban, az 1,2,...n számok megközelítőleg 60%-a négyzetmentes minden n-re.
Ennek ismeretében valóban az a valószínűbb, hogy nincs túl hosszú sorozat, melynek minden tagja osztható négyzetszámnmal. Persze azért még lehet (ugye a pénzfeldobásnál is kb. az esetek fele írás, de azért előfordulhat akármilyen hosszú írás-sorozat is). Viszont akkor érdekes kérdés, hogy hány elemű a maximális ilyen sorozat.

(Nem szokott sikerülni linket betennem.)

Nem úgy van pontosan a prímszámtétel, hogy p(n) asszimptotikusan egyenlő n/ln(n)-nel? Vagyis, hogy p(n)/(n/ln(n)) tart egyhez? Nem tudom, hogy ez elég jó-e a Te gondolatmenetedhez. Meg, azt hiszem, hogy ilyeneket nem lehet állítani, hogy p(n) < ... mindig igaz, csak egyre többször igaz.

Az ötletem az, hogy számoljuk meg azon n-nél kisebb számok számát, amelyeknek nincs négyzetszám osztója. Ha ezek elég kevesen vannak n-hez képest, akkor (a skatulya-elv szerint) van közöttük elég hosszú olyan sorozat, melynek minden tagjának van négyzetszám osztója.

Ha egy számnak nincs négyzetszám osztója, az pontosan azt jelenti, hogy a prímtényezős felbontásában szereplő minden prím első hatványon szerepel. Mivel n-hez képest egyre kevesebb az n-nél kisebb prímek száma, ezért az ezekből képezhető 1-2-3-stb. tényeztős szorzatok száma is (remélhetőleg) egyre kisebb n-hez képest, ezért várhatóan egyre hosszabb négyzetszám-osztós sorozatok találhatók.

Jelölje p(n) az n-nél kisebb prímek számát. Alább már elhangzott, hogy "p(n) megközelítőleg n/ln(n)". Ez igazából úgy hangzik pontosan (Prímszámtétel), hogy léteznek olyan a és b valós számok, hogy minden n -re a*n/ln(n) < p(n) < b*n/ln(n). Minél nagyobb a és minél kisebb b értékeket találunk, annál pontosabban becsülhető a p(n) értéke. Na most biztosan van /i>b-re kisebb érték is, de egy aránylag elemi bizonyítás van rá, hogy b=32*ln(2)-re igaz a tétel.

Tehát tudjuk, hogy adott n esetén p(n) < 32*ln(2)*n/ln(n), azaz ennél kevesebb prím van n-ig. Egy jó becslés kellene arra, hogy ezekből a prímekből hány olyan szorzat képezhető, amelyik n-nél kisebb.

Tudtom sincs gyors primfaktorizáció. Pár titkosszolgálat beszarna, ha valaki kitalálna. Azért 3-4 éve még nem gondoltam, hogy 1 perc alatt lefut egy ilyen program.

Azért az nem volt meggyőző, hogy első ránézésre mi hogyan viselkedik.

Azt tudod, hogy vannak prím szigetek is? Tehát hogy egy prím előtt is, után is akármennyi összetett szám? (Biztos tudod, ha a prímek a kedvenceid. Van prímszámos pulóvered?)

Nekem inkább az a sejtésem, hogy bármekkora ilyen sorozat létezik.

Értem a príszorzós módszert. Ez tényleg takarékosabb.

Miért foglalkozol kézi leírással? Arra miért nem jó a gép? Bocs, nagyon tudatlan vagyok, de mi az az IRL?

A programozás csak gép kérdése. Az ilyen feladatoknál szerintem maga a kérdés megfogalmazódása a legérdekesebb, és az, hogy megpróbálunk saját kútfőből elindulni.
(pl. azt mondjuk, hogy keressünk egy olyan "ritka" négyzetszámot, aminek a környezetében "magától" van 4-gyel, 9-cel, 25-tel osztható szám). És no lám, a te gépes megoldásod pont ilyesmi.
Nem állítom egyébként, hogy bármilyen hosszú sorozat létezik. Igen kicsi az esélye, hogy 20-30 ilyen szám bárhol is lenne egymás mellett (kicsit a Fermat-sejtés analógiáját érzem benne).
Ha már Fermat-nál tartom. Én életem egyik legnagyobb eredményének tartom, hogy "felfedeztem" Fermat kisebbik tételét: (a^p-a) osztható p-vel, ha p prímszám. Úgy értem, hogy felfedeztem, hogy anélkül találtam meg és bizonyítottam a tételt, hogy tudtam volna róla, hogy van ilyen tétel. Sőt, igazából akkor kezdtem büszke lenni, amikor a Természettudományi kislexikonban megtaláltam az "én" tételemet.

A nemprím-sorozathoz: az én prímszorzós módszerem ugyanúgy jó, mint a te faktoriálisaid, csak kisebb számokat ad.
Pl. ha 100-as nemprím sorozatot generálok, akkor 2-től 97-ig összeszorzom a prímeket. Az adott számtól kezdve legközelebb a 101. lehet prím. Ez sokkal kisebb, mint 100! Érted ugye?

(Az az őrült, aki a prímtényezős felosztás kézzel való leírásával szórakozik, az persze én vagyok. Ha érdekel a lista, IRL meg tudom mutatni.)

Nem igen érdemlem meg a gratulációt, gépen futtattam. De úgy érzem, hogy az ilyen jellegű feladatokat érdemes gépen megoldani. Kb. fél óra volt gondolkodással, programozással, futással együtt. Nem hiszem, hogy ezt gyorsabban meg lehet oldani csak gondolkodva. (Bár miért ne, ha valaki nagyon okos.) A szellemi örömöt ilyenkor esetleg az okozhatja, hogy tudok-e olyan programot írni, ami emberi időn belül lefut. Bár ez nem volt annyira nehéz feladat ilyen szempontból.
Az az állításod, hogy bármennyi egymást követő négyzetszámmal osztható szám van? Ezt persze nem lehet géppel belátni.
8-as sorozat nincs millióig.

Azt hittem, azzal bántottalak meg, hogy azt hittem, hogy azt hiszed, hogy van leghosszabb nemprím sorozat. (Ez szép mondat volt.)

Tudom, hogy pazaroltam, de az n!-os módszer biztos jó eredményt ad. Nem tudok más olyan módszert, ami biztosan nemprímeket generál.

Az utolsó kérdésemet nem csak Neked szántam. Igen a Hacsek kérdés utózöngéje, de azért feszegetem, mert egyelőre úgy tűnik nekem, hogy a számosságukon kívül is valami lényeges eltérést találtunk, ami egy kicsit Hacseket erősíthetné.
Az mit jelent, hogy a Te világod a prímszámelmélet? Szeretsz kézzel kiszámolni dolgokat?
Azt nem láttam, de tudom, hogy félelmetes dolgokra képesek emberek.
Ki számolta 30 évig a pi jegyeit?

Gratulálok, valóban ez a legkisebb megoldás.
Ha arra céloztál, hogy számítógépen futtatad le, az valóban nem túl sportszerű. Én annak idején megtaláltam ezt a megoldást a 113 négyzete körül, és csak azután néztem meg géppel, hogy van e kisebb megoldás.
Tudsz-e nyolcas sorozatot is? Ha megvan, majd jön a kilences is!

Egyébként nem tudom, mivel bántottál volna meg.

Más.
Amikor az egymás melletti nemprímeket generáltad a faktoriálissal, akkor nem hibát követtél el, csak pazaroltál. Tudniillik ahhoz, hogy pl. az X+6 ne lehessen prím, elég ha X minden prímszámmal (pl. 2 és 3) csak első hatványon osztató. az X=n! esetén túl nagy a ráhagyás, tehát a legkisebb megoldás valószínűleg nem ebből, hanem valamely "véletlen" esetből jön. Valószínűleg nem is az én metódusomból, de az sokkal kisebb számokat ad mint az tiéd. Én ugye 29-ig szoroztam össze a prímeket, és ez egy tízjegyű szám lett. A 29! 30-jegyű. Ezek szerint ebben a nagyságrendben 3-szoros ráhagyásod van hozzám képest.

217070 (49), 217071(9), 217072(4), 217073(12769=113^2), 217074(121), 217075(25), 217076(4)

A számok mellett az osztó.
Nem volt fair, mert asszem a megengedettnél több segédeszközt vettem igénybe.
Nem tudom, hogy lehet rá valami összefüggést találni.

1.000.000-ig van még:

Ez originalqszi-nek is tetszene.
Arabella!
Ossz már meg velünk valamit!

Van-e 7 db egymást követő olyan egész szám, hogy mindegyiknek van négyzetszám osztója?

Bocs, architect félreértettelek. Azt hiszem olvastam már ilyenekről, de semmi konkrétra nem emlékszem.

Originalqszi! Hülyéskedsz? Kezdjem felsorolni az összeset? Mennyi időd van?

Arabella eltűnt? Itt hagyott bennünket bizonytalanságban az anal tanárát illetően.

Következik-e belőle a sejtés? Nem látszik egyszerű kérdésnek.

Viszont a GPF-sejtésből következik a Csebisev tétel az alábbiak szerint:

T.f.h. igaz a GPF-sejtés: bármely n-re n² és (n+1)² között van prím. Ez azt jelenti, hogy minden olyan k-ra, amelyre k < n² és 2*k > (n+1)², k és 2*k között van prím.
Azaz, minden n esetén adott k-knak egy "intervalluma" (természetesen ez csak szemléletes és nem korrekt elnevezés), (n+1)²/2 -től n²-ig, amelyen lévő k értékekre igaz a Csebisev tétel. Ezeknek az "intervallumok"-nak a rendszere kicsi n értékek esetén még hézagosan fed, de valamely k értéktől kezdve (k=24) minden természetes számot lefed. Azaz a GPF-sejtésből következik, hogy bármely k >= 24 re k és 2k között van prím.

Párat írok, amit tudok, mind számelméleti:

Goldbach sejtés: Minden páros szám felírható két prím összegeként.

Hány Mersenne prim van? (2^p-1 alakú, ahol p is prím)
Hány Fermat prím van? (2^2^n+1 alakú. Asszem, csak 5-öt ismernek. Van aki azt sejti, hogy nincs is több, van aki azt, hogy végtelen)

Bármely két négyzetszám között van prim. (De ezt lehet, hogy csak képzelem)

....
Ha tudtok Ti is írjatok, vagy ha valamelyiket megoldották, akkor is.

Tehát kijelenthetjük a köv. állítást:

Ha van egy tetszőleges racionális szám tizedestört alakban, akkor megszámlálhatóan végtelen számjegyét eggyel megváltoztatva elérhetjük, hogy irracionális legyen. Ellenben:
Van olyan irracionális szám szintén tizedestört alakban megadva, amelyet nem lehet magszámlálhatóan végtelen számjegyét eggyel megváltoztatva racionálissá alakítani.
(A második fele még tán nem világos, de könnyű arra is példát adni.)

Úgy gondoljuk, hogy ez az állítás igaz. Ez triviális? Egyszerűen következik a számosságokból? Én nem látom. Csak nem valami érdekeset találtunk?

-1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 ...

2. Mit értesz megszámlálható sokon? Véges sok, vagy megszámlálhatóan végtelen sok? (Utóbbi azt jelentené, ugye, hogy jogunkban áll minden egyes számjegyet megváltoztatni +- egyel).

Ha 2-t így gondolod, akkor az én sejtésem szerint is megy rac->irrac irányba, hisz pl induljunk rac számból, és pénzfeldobással döntjük el, hogy +1 vagy -1 minden egyes jegyre. Így nem lehet ismétlődés.

Fordítva: képezzük az irrac számot úgy, hogy véletlenszerűen hol 5 hol 1 számjegy álljon. Ezt nem lehet +-1 -gyel racionalissá tenni, ergo nem minden irracból lehet így ract csinálni.

tényleg ajjaj!

Ha +/- 1-el lehet egyikből a másikat, akkor nyilván a másikból az egyiket is lehet, ha a +1-ből 1-et levonsz, a -1-hez meg 1-et adsz.

Azt mondod, hogy azt mondta, hogy:
"vegyünk egy számot, annak környezetében egy végtelen kicsi intervallumot( tart nullához)."
Szerintem azt mondta, vagy azt kellett volna mondania, hogy:

Vegyünk egy számot, annak a környezetében egy tetszőlegesen kicsi intervallumot, (arra nézve mindenféle bizonyítgatást csinálhatott), majd válasszunk egy másik, ennél az intervallumnál kisebb intervallumot (arra is igaz az előző bizonygatás), és így tovább, úgy, hogy az intervallumok hosszának sorozata tartson nullához, (és mindegyikre igaz az a bizonyos bizonyítás).

Tehát nem egy intervallum, hanem egy intervallum sorozat szerepelhetett a bizonyításban, s az intervallum nem végtelenül kicsiny, hanem tetszőlegesen kicsiny, s az intervallumok hosszának a sorozata tart nullához.

Üdv!

Úgy kezdődik ugyanis a definíció, hogy:

"Egy (a < b) valós számpár..."

Ha a és b adott, akkor a távolságuk b-a is adott, és véges. Bármennyire is kicsi, de véges.

írásjel kihagyás
pusz írásjel
írásjel tévesztés
(esetleg szomszédos írásjelek cseréje)

akkor megpróbállak én megérteni Téged.
1. Mekkora a "kurva kicsi intervallum" (KKI) hossza?
2. Pl. nyilván van olyan KKI, mely a pi-t tartalmazza. Egy ilyen KKI-nek mik lennének a végpontjai?
3. Hány olyan KKI van, mely a pi-t tartalmazza?

Egyiket sem lehet szerintem. Mutatsz példát?

Amit írsz: "...a valós számegyenes nem ilyen. akárhányszorosára nagyítod, mindig ugyanúgy megtartja folytonosságát." hóttigaz. Az én elméletem is erre a felismerésre épül, nem gondolod? Hogy a folytonos végtelenséget végtelen darabra osztva is folytonos végtelenséget kapunk. EZ AZ ÉN ÁLLÍTÁSOM.

a múltkori hozzászólásomra annyira helyeslően reagáltál, hogy azt hittem, végre megértetted, a valós számokat helytelenül szemléled. (Bocs, ezzel csak annyit akarok mondani, hogy _szerintem _ helytelenül szemléled.)
Még egyszer megpróbálom leírni, mi az, ami _szerintem_ hibás a szemléletedben.
A racionális és irracionális számok elhelyezkedése a valós számok rendezett halmazán nem vizsgálható úgy, mint egymás melletti csempék sora: piros-kék-piros stb. vagy piros-kék-kék-....-kék-piros. Azért nem, mert végtelen sok van belőlük, "összefolynek". Gondolj a következőre: egy ceruzával rajzolt vonalat kezdesz egyre jobban felnagyítani. A kezdetben folyamatos vonal előbb-utóbb grafitszemcsék sokaságává válik, melyek egymástól jól elkülöníthetők és ezért egymáshoz való viszonyaikról tudunk mit mondani. Vagy, pl. egy vasdrótot ha képzeletben mittudoménhányszorosára nagyítunk fel, a tömör anyag egymástól bizonyos távolságra lévő atomok rendszerévé alakul át.
Na most, a valós számegyenes nem ilyen. akárhányszorosára nagyítod, mindig ugyanúgy megtartja folytonosságát. Semmilyen nagyítással nem juthatsz el odáig, hogy a valós számok mint pontok legyenek láthatók. Ezért nem érdemes beszélni arról, hogy egymáshoz képest hogy helyezkednek el a racionális és irracionális számok. Erről csak annyi mondható, amit múltkor az 999-08-02 18:45:56 véleményemben írtam az 1.-4. pontban.
Az intervallum általánosítása lehet általános (topologikus) terekben a környezet. Ha egy téren értelmezünk távolságot (topologikus terekben ez egyáltalán nem mindig van így, másrészt egy téren többféle módon is lehet távolságot értelmezni), akkor ezzel a távolsággal lehet a környezet "nagyságát" is jellemezni. Ez visszaspecializálva az intervallumokra az intervallum hossza. Másrészt a távolság mindig nemnegatív valós értékű függvény. (Az adott tér pontpárjain értelmezve). Azaz, az intervallum hossza nemnegatív valós szám. A "végtelenül kicsi" nem valós szám. Esetleg lehetne bővíteni a valós számkört a "végtelenül kicsi szám"-mal (mint ahogy bizonyos esetekben a plusz és mínusz végtelennel is bővítik), de nincs rá szükség, nem ad semmi pluszt az elmélethez.
Valóban "sokkal több" iracionális szám van, mint racionális, de ez megint csak a hétköznapi gondolkosdásunk alapján társít olyasmi elképzeléseket a valós számokhoz, mint amit például te is feszegetsz. A matematikai valóság az, hogy a végtelen sok máshogyan viselkedik, mint a véges sok.
Biztosan ismered azt a "feladványt", amikor a megszámlálhatóan végtelen ok szobával rendelkező galéaktikus szálloda minden szobája foglalt, de érkezik egy fontos vendég, akinek hely kell. Tudnak-e neki helyet szorítani?
És ha 1.000.000 tagú galaktikus küldöttség érkezik?
És ha megszámlálhatóan végtelen sok venddég érkezik?
Szóval, a végtelen ilyen. A végeshez szokott elme számára nehezen elképzelhető.
De hát ebben egyszer már megegyeztünk.

Kezd a fórum a mi párbeszédünkké válni. Nem lehet, hogy más azért nem ír, mert várnak tőled válaszokat feltett kérdésekre?
Nem védem pintet, nics rászorulva. Azért nem őt szólítom fel, mert amiket ő állít, azokat vagy igazolta, vagy olyan dolgokra hivatkozik, amiket én is úgy tudok, úgy tanultam, úgy olvastam.

Azt írod:

"ugyanolyan intervallumról beszélek, mint bárki más"

Nekem nem úgy tűnik. Ugyanis az intervallumok szokásos definíciója a következő:

Egy (a < b) valós számpár által a következő egyenlőtlenségekkel definiált x valós számokból álló halmazokat nevezzük nyílt; zárt; balról nyílt és jobbról zárt; balról zárt és jobbról nyílt intervallumoknak:
(a <= x < b); (a <= x <= b); (a < x <= b); (a <= x < b)
ahol a és b az intervallumok végpontjai.

Szokás még az (x < c); (x <= c); (c < x); (c <= x) halmazokat végtelen intervallumoknak nevezni, ill. a valós számok halmazát "mindkét irányban végtelen" intervallumnak hívni.

Pint ezt írta:
"Én nem tudom, hogy hol vannak az irracinális számok. Csak azt tudom, hogy nem ott, ahol te állítod, hogy vannak."
Miért nem őt szólítod fel állítása bizonyítására?

Egyébként épp hogy nem kacsingattam az 1-1-1-1 elrendezés felé, hanem elvetem azt.

Asszem Lagrange egyik művét éles kritika érte, mert okfejtéseiben nem szerepelt Isten. Erre ő azt mondta, hogy nem volt szüksége rá állításai bizonyításához. (Pedig elég komoly munka volt.) Ezt pint védelmében mondtam. Attól, hogy nem használ valaki egy szükségtelen fogalmat, amit ráadásul nem is tud megmagyarázni, még nem biztos, hogy baj van a gondolatmenetében.

Amikor ilyeneket írsz, hogy 1,1,1 stb eloszlás, akkor (burkoltan) az általam is feszegetett jólrendezhetőség felé kacsingatsz Te is, pedig hogy fel voltál háborodva.
Jelenleg nem tudjuk véges számokkal leírni az eloszlásukat. (Ebben a rendezésben nem is fogjuk tudni.)
Nem fog létrejönni egynemű legalább 2 elemből álló intervallum. Nem fog létrejönni véges intervallum sehogy.

Mi a különbsége a Te intervallumod két végének?

Ja, ne nagyon keresd a Gödelt cáfoló írásokat, mert nincs ilyen. Az ma is elfogadott. Illetve nézz utána, hogy mit is olvastál, mert nem cáfolták meg.

Szeretnélek ismét emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát. (Én definiáltam a szokásosat.)

Felhívnám a figyelmeedet Pint posztulátumára, miszerint
"nem tudom, hogy van, de úgy biztos nem"
Nos hát én ez ellen a szemlélet ellen küzdök veletek már három hete. Tudniillik nekem pozitív meggyőződésem van, neki meg negatív. Ő mire alapozza az "úgy biztos nem" állítását?
Az én tételem arra épít, hogy az eltérő számosságok miatt az 1-1-1-1- stb. eloszlás nem lehetséges. (erre próbáltam rávilágítani tegnap az Ebeynek írt tizedestörtes fejtegetésben)
De ha nem 1-1-1-1- az eloszlás, akkor már az én tételem kezd igazolódni (gondolj bele, ekkor már egynemű, legalább 2 db-ból álló intervallum jön létre)!

Nem akartalak sértegetni, és nem is neveztelek zavarosnak. Annyit mondtam, hogy nem tiszták a fogalmaid, de ezt most is tartom. Én a végtelenül kicsi intervallumot egy ilyen tisztázatlan, szükségtelen fogalomnak tartom, ami mindenféle ellentmondásokra vezet. Pár ilyet mutattunk is, de ezeket Te nem veszed figyelembe. Mivel nem definiálod ezt a fogalmat, nem tudunk pontos matematikai cáfolatokat adni, nem tudunk rámutatni a következményeire.

Próbáld meg definiálni, légyszi. Mi a két végpontja közti különbség? 0? Vagy nem valós szám? Vagy mi?

A folytonos halmazt már definiáltad, arra mondtunk is pár példát, ami józan ésszel kissé nehezen nevezhető folytonosnak. Pl. két nyílt intervallum, a 2-n kívüli valós számok, az irracionális számok.
Egyébként nem tudom, mi a gond az irracionális számokkal. Ott vannak azok a számegyenesen. Sűrűn. A racionálisok is ott vannak. Azok is sűrűn. Az egyikből több van mint a másikból. Mi a gond?

Tisztelt pint és Hacsek!

Egyébként minek sértődtök meg egymásra? Bár kicsit megértem. Ne írjunk már ilyeneket, hogy ki mit ér föl ésszel!

BIJ!
Értem, amiket mondasz, de bocs, nem vitt közlelebb a problémám megértéséhez. Azt gondolom továbbra is, hogy ha van elvi bizonyítás egy állítás hamisságára, amit egy ellenpélda is tud igazolni, akkor lehet is ellenpéldát találni. Az algebrai számos példád is erre volt jó. Az azért volt érdekes, mert az elvi bizonyítás volt a könnyebb!

GPF

Én nem tudom, hogy hol vannak az irracinális számok. Csak azt tudom, hogy nem ott, ahol te állítod, hogy vannak.

"helyesebbnek látszó elméletet egyikőtök sem vezetett elő"

A határérték elérésénél én ennél sokkal prózaibb dologra gondoltam. Pl. az f(x) =1 fv-nek a határértéke mindenhol 1.

Azért értem amit mondasz, s nehéz is vitatni az igazságodat. A geometriai valószínűséggel nekem is vannak bajaim. De.
Te egy más szinten vizsgálod ezeket a kérdéseket, mint mi. Valószínűleg a metamatematikába sokkal inkább a Te problémád tartozna, mint a mienk, de ez az egész úgy indult, hogy Hacseket próbáltuk lebeszélni elképzeléseiről, s szerintem Neki nem olyan gondjai vannak, mint Neked, hanem nem tiszták a fogalmai, s azt talán matematikai úton is lehet kezelni.

Mondjuk, azért a Te gondolatmenetedben is lehet még egy kicsit hibát keresni. Pl. ez a mondatod:

"a különböző méretű tartományokban ugyanannyi pont van, ezért ha a sík pontokból állna, eleve nem is jöhetne ki különböző valószínűség a különböző méretű tartományokra!"
csak akkor igaz, vagy indokolható, ha a szorzást a végtelenre is kiterjeszted. De ilyet nem tesz a matematika. Lehet, hogy ez is a probléma megkerülése.

Nem tudok igazából érvelni ellened. Te nem teszel olyan kijelentésekt, hogy irracionális intervallum, meg ilyesmi. Filozófiailag igazad van (azt hiszem), de matematikailag is van egy csomó problemánk, amiket meg lehet beszélni.

A csomókhoz nem értesz?

Szerintem is van olyan, hogy el lehet érni a határértéket, vagy legalábbis ennek a feltevése nem vezet ellentmondásra. De van olyan is, hogy nem mehetünk el a határig (noha az létezik!), mert az ellentmondásra vezet. Mindezt úgy, hogy amíg az epszilon-delta módszerhez tartjuk magunkat, addig a számolások értelmesek, ellentmondás pedig egy szál se.

Vegyük pl. a geometriai valószínűség esetét, amit nemrég Geőcze Zoárd vetett fel. Ha mondjuk van egy síkbeli tartományunk, ahol (és nem máshol) valamilyen lokális esemény bekövetkezése várható, akkor előfordulhat, hogy annak egy bizonyos résztartományán a bekövetkezési valószínűség arányos lesz annak területével. (Lehet cifrább is a helyzet, de maradjunk ennél az egyszerűbb esetnél, itt is látszik az általam kifogásolt probléma.) Ha most egyre kisebb résztartományokat vizsgálunk, akkor úgy találjuk, hogy az azokon való bekövetkezés is egyre kisebb valószínűségű. Tetszőleges résztartományok területét ismerve mindenkor korrektül kiszámolhatjuk a bekövetkezési valószínűséget. A finomításnak olyan értelemben nincs korlátja, hogy az az epszilon-delta szisztémában akármeddig folytatható. Egyesek ilyenkor kényszert éreznek arra, hogy kimondják: "eszerint egy pontbéli bekövetkezés valószínűsége pontosan nulla, ámbár valamelyik pontban mégis biztosan bekövetkezik az esemény". Ez azonban így kétszeresen sem stimmel, ugyanis a nullákból akármennyit véve is nullát kapunk, másrészt a különböző méretű tartományokban ugyanannyi pont van, ezért ha a sík pontokból állna, eleve nem is jöhetne ki különböző valószínűség a különböző méretű tartományokra! Hogy e nehézségeket elkerüljük, azt kell tudomásul vennünk, hogy az epszilon-delta apparátus szerinti határérték lényege pontosan az, hogy szükség esetén mindig tudjuk eléggé tovább folytatni a közelítést, de ez még nem jelenti azt, hogy be is tudjuk fejezni. A megszámlálható végtelen fogalmában is az a nóvum, hogy bármilyen előre rögzített véges határon túlmegy, vagyis egyszerűen nem lehet azonos semmiféle rögzített és véges számmal, ezért nem is lehet befejezett. Más, mint a közönséges számok. Az előbbi problémát általában úgy kerülgetik, hogy a nulla valószínűségű és a lehetetlen eseményt megkülönböztetik, amint az egységnyi valószínűségűt is a biztostól. Mindez annak a "toldozása" hogy amit nagyvonalúan "lenulláztunk" (mint a Törzsasztalon némely topikot), az igazából nem is nulla, csak egy infinitezimálisan kicsiny mennyiség, amit egy be nem fejezett epszilon-delta közelítéssel még korrektül jellemezhetünk, de a végeredményként kierőszakolható egyetlen számmal már nem.

>>Amit mondasz, az nem cáfolja a gondolatmenetemet! Ha lenne >>egzisztenciabizonyítás, pl. a Fermat sejtés tagadására,
>>akkor lehetne adni konstruktívat is.
Ez egyáltalán nem biztos! Lehetséges lenne, hogy az
egisztenciabizonyítás végül is valami belsô érvényű matematikai dolog lenne, amibôl nem következnék közvetlenül a matematikán kívülre nézve értelmes, kézzelfogható, numerikus ellenpélda.

Üdv a fedélzeten!!!! Matematikus vagy? (Bár ehhez nem sok közöm van.)

Amit mondasz, az nem cáfolja a gondolatmenetemet! Ha lenne egzisztenciabizonyítás, pl. a Fermat sejtés tagadására, akkor lehetne adni konstruktívat is. Lehet, hogy nem egyszerű, de elvileg lehet. Ha viszont független, akkor elvileg sem lehet adni ellenpéldát. (Hisz akkor nem lenne független.)
De, ha nem lehet adni ellenpéldát, akkor miért nem igaz?
(Ha még beszélünk erről a kérdéskörről [jó lenne], akkor a Fermat sejtés helyett szerintem használjunk valami más sejtést, mert ez így olyan hülyén hangzik. Túl sok feltételes módot kell használni. Legyen mondjuk a Goldbach sejtés, vagyis, hogy minden páros szám felírható két prím összegeként. Ez még nincs bizonyítva, ugye? Akkor ez lehet, hogy független.)
Az milyen tétel, vagy sejtés, hogy egy szám meg a kétszerese közt van prím?

Mielőtt még elérnék a valós számokig, azért szeretnélek emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát.
(Én definiáltam a szokásosat.)

Kedves Lalo!
Érj el akár most a valós számokig, és gyere elő végre az enyémtől eltérő elmélettel!

Áttérhetünk egyéb metamatematikai témákra?

Engem a függetlenség nagyon izgat, meg szerintem a szögösszeg kérdéskör sem zárult le megnyugtatóan. Számok fogalma?
Konstruktív matematika?

Nyílt intervallumok unioja a definició szerint folytonos halmaz.
Sőt, amit te nem kifogásoltál: az x =/= 2 valós számok halmaza is folytosnos. Sőt, folytonos az irracionális számok halmaza is.

Úgy fest, hogy ez a definíció még kevesebbet ér, mint amennyit gondoltam róla. A továbbra is igaz, hogy ezzen definíció felhasználásával se így se úgy nem lehet igazolni irracionális intervallumok létét, és Hacsek ezt nem is tette meg.

A halmaz:<\B>
1<x<2 U 3<x<4 ahol x valós

Hacsek def-je szerint azok a valós számok, amik 1 és 2 között vannak (nyílt intervallum) unio azok a valósak, amik 3 és 4 között vannak, folytonos számhalmaz. Nem tudom, ezt akarta-e.

Hacsek def-je:

Az a számhalmaz folytonos, aminek nincsenek szomszédos elemei, mert bármely két eleme között még végtelen sok, intervallum számosságú elem helyezhető el.

Fontos itt, hogy a számhalmaz bármely két eleme között kell elhelyezni a kontinuum sok elemet.
A 2 és a 3 nem eleme a fenti halmaznak.
Erre igaz, hogy bármely két eleme között még kontinuum sok elem van.

Vagyis Hacsek szerint két olyan nyílt szakasz, amiknek nincs közös pontja, folytonos halmaz. Én nem nevezném annak.

DcsabaS_ és Lalo!
Szerintem kezdtek közeledni a Zenon paradoxonokhoz. Azokat matematikailag meg lehet magyarázni, de némileg egyet kell értenem DcsabaS_-sel, hogy filozófiailag vethet fel problémákat. Szerintem ott van köztetek az ellentmondás, hogy DcsabaS_ nem elégszik meg a matematikai megközelítéssel, ö mást is akar. Nem mondom, hogy mélyebbet, vagy valósághübbet, de mást.
A határértéket egyébként simán el lehet érni, és szerintem is véges szám. Az a baj, hogy ezeknek a fogalmaknak olyan a magyar megnevezése, hogy mindenféle képzet társul hozzá, s ez rögtön más értelmezéseket is felvet.

Szerintem olyan, hogy szám, nincs. Azt hívunk annak, amit akarunk nagyjából. Ha vannak valamilyen tulajdonságai, akkor érdemes vele foglalkozni, ha meg trivi, akkor nem.

Örülnék, ha mondanátok még valamiket a függetlenség és ellenpélda kapcsán felvetett kérdéskörre, mert egyáltalán nem érzem meggyőzve magam.

Írod:
"Ugyanis pont ebből származtak a rossz határérték és integrálszámítások, belekevered az időt, foglalkozni kellene a változás sebességével, stb. ..."
Hát persze, hogy foglalkozni kell a változás sebességével! Hiszen éppen az a lényeg, hogy változó mennyiségeket kell majd egymáshoz viszonyítani, mégpedig anélkül, hogy eleve feltennénk, hogy a változások egyszer majd nyugvópontra jutnának!
Cauchy és Weierstrass epszilon-delta apparátusa sem "keveri ki" az időt, vagy a változás sebességét, csupán ügyes formában fogalmazza meg az igényeinket. (Az idő helyett esetenként választhatunk más független változót is, de az sem jelenti az idő diszkvalifikálását.)

Írod:
"... A rendezés kevés! Minimum egy műveletnek kell lennie, hogy számhalmazokról beszéljünk. Szerinted a (körte, alma, szilva) halmaz számhalmaz, ha definiáljuk, hogy a körte jobb az almánál, az pedig a szilvánál?"
Figyusz! Szerinted ha definiálsz 2 műveletet is a (körte, alma, szilva) rendezett halmazban, akkor az már a szokásos értelemben vett számhalmaz lesz (:-)))? Mert szerintem nem. Viszont egyfajta számhalmazt már akkor is reprezentál a (körte, alma, szilva) rendezett halmaz, ha az elemek sorrendjén (tulajdonképpen az elemek számlálásán) kívül más műveletet nem is értelmeztünk! A számfogalom elvonatkoztatás. Mindentől eltekintünk, ami nem a számlálással kapcsolatos. Lehetnek persze speciális tulajdonságai egy-egy számhalmaznak, de az fakultatív.

Elnézést, de az egyenlőtlenség jeleket kódnak értelmezte...

Segítségül, a szokásos intervallumok sefiníciója:
Egy a < b valós számpár által a következő egyenlőtlenségekkel definiált x valós számokból álló halmazokat nevezzük nyílt; zárt; balról nyílt és jobbról zárt; balról
zárt és jobbról nyílt intervallumoknak:
aahol a és b az intervallumok végpontjai.
Szokás még az x