Index - Látni és látszani  2000. augusztus 15. kedd - Mária.  Internet idő: @402  
Támogató   PhotoRet III.
Fotóminőségű nyomtatás felsőfokon a HP-tól
  
 Fórum >> Tudomány >>
Metamatematika
(403 hozzászólás)


Keresés: Részletesen
 Új hozzászólás
 
Belépés Új témához, hozzászóláshoz, kedvencekhez lépjen be.
Felhasználónév:
Jelszó:
A belépés az utolsó kattintástól számított 30 perc után lejár. Ezután újra be kell lépni. Ha még nincs felhasználóneve, regisztrálja magát.
Belépés | Regisztráció | Beállítások | Kedvencek | Keresés | Közlemények | Mi ez? (FAQ) | Moderálás | Kérdések | Piazza
 
Ebey válasz erre | adatok | e-mail     2000-02-07 08:39:13   (404)
Kedves lalo,

adjunk! A műfelháborodásom is ezért volt. (Örülök, hogy nem értetted félre...) :-))))))))))))))

Azt a könyvet tényleg nagyon tudom ajánlani mindenkinek, aki ennek a topiknak írója, olvasója. Óriási élmény! (Bár valóban, nem az a fajta könyv, amit az ember egy ültő helyében végigolvas.)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     2000-02-04 18:09:35   (403)
Kedves Ebey!

Hát persze! Másnak is adjunk esélyt!

(Nekem már rég megvan, sajnos nehezen haladok vele, kellene már egy kis szabadság és nyugodt körülmények...)

Lalo

[előzmény : Ebey, 2000.02.04 18:03]

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     2000-02-04 18:03:08   (402)
Kedves Lalo!

ÉS OTHHAGYTAD Hoffstadter: Gödel-Escher-Bach KÖNYVÉT?!!!

[előzmény : Lalo, 2000.02.03 18:52]

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     2000-02-03 18:52:30   (401)
Sziasztok!

Korábban azt igértem, hogy beszámolok arról az angol nyelvű nemstandard analízis könyvről, amit ezzel kapcsolatos vitáink után sikerült megszereznem. Nos, attól tartok, erre már nincs szükség, ugyanis megjelent Csirmaz László könyve a Typotexnél Nemsztenderd analízis címmel. Ajánlom minden kedves vitapartneremnek, s majd elolvasás után elmélkedjünk róla.

Ezen kívül is érdemes volt elmenni a Retek utcába - figyelem! nem jó a csengő, ajánlatos az alagsori ablakon beszólni, ha valaki be akar hatolni - megvettem a szintén vadonatúj Smullyan könyvet Gödel nemteljességi tételeiről, Dr. Ecco talányos kalandjait Dennis Shashától, valamint Róka Sándor 2000 elemi matematikai feladatát és a Bergengóc példatárat.

[előzmény : Lalo, 1999.10.03 20:14]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-19 11:55:58   (400)
Na, azt hiszem, most már értem.

Azért érdekes volt.

(Olyan lassú az index, hogy néha egész nap nem jön le egy oldal.)

Újabb érdekességek?

[előzmény : noway, 2000.01.17 15:29]

noway válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-17 15:29:23   (399)
"A prímszámok halmaza rekurzív is, nem csak rekurzíve felsorolható. Vagyis nagyság szerint is felsorolható. Ez pedig nem ekvivalens a diofantikussal."

Ha egy halmaz rekurzív,akkor rekurzíve felsorolható. A r.f. tulajdonság pedig ekvivalens a diofantikussal. Tehát a prímszámok halmaza diofantikus. (Azt én sehol nem írtam, hogy a rekurzív tulajdonság ekvivalens a diofantikussal.)

"Még mindig nem értem, miért nem könnyebb egy polinom helyettesítési értékét kiszámolni, mint mindenféle teszteket elvégezni számokon."

Valószínűleg könnyebb. (Persze azért elég nehéz - egy kétmillió jegyű prím ötödik hatványa... Gondolj bele, 10 mega kell csak ahhoz, hogy tárold...) De mire mész egy helyettesítési értékkel? Pont ez a probléma ezzel a polinomos dologgal, hogy a problémát 'visszaviszi' rekurzívból r.f.-ba. (Azaz végtelen sok helyettesítés kell, hogy megbizonyosodj róla, az adott szám nem prím.)

[előzmény : GPF, 2000.01.17 15:14]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-17 15:14:07   (398)
Szia Hacsek! Mi a baj?

noway!
Még mindig nem értem, miért nem könnyebb egy polinom helyettesítési értékét kiszámolni, mint mindenféle teszteket elvégezni számokon.
Azt most már talán értem, hogy miért nem jók ezek a polinomok nagy prímek generálására.

A prímszámok halmaza rekurzív is, nem csak rekurzíve felsorolható. Vagyis nagyság szerint is felsorolható. Ez pedig nem ekvivalens a diofantikussal. Van olyan halmaz, ami rekurzíve felsorolható, de nem rekurzív. Pl. ez bizonyítja, hogy nincs univerzális megoldás a diofantikus egyenletekre. (Ez nem befolyásolja annak az érdemi részét, amit írtál, csak kötözködtem egy kicsit.)

[előzmény : noway, 2000.01.16 18:08]

noway válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-16 18:08:50   (397)
Megtaláltam a polinomos dolog működési elvét az egyik KöMaLban:

A prímszámok halmaza rekurzíve felsorolható, tehát diofantikus (ez a két tulajdonság ekvivalens).
(Diofantikus halmaz = van egy olyan P(x1, x2, ..., xn, y) polinom, aminek akkor és csak akkor van zérushelye, ha y eleme a halmaznak.)

Ha P ilyen tulajdonságú, akkor legyen
Q(x1, x2, ..., xn, xn+1) = (1-2P2(x1, x2, ..., xn, xn+1))
Ekkor P(x1, x2, ..., xn, xn+1)=0 esetén Q(x1, x2, ..., xn, xn+1)=xn+1, különben Q(x1, x2, ..., xn, xn+1)<0

Tehát a polinom utolsó változója maga a keresett prímszám, vagyis gyakorlatilag képtelenség vele számolni (kivéve talán azt a nem túl valószínű esetet, amikor xn+1 csak elsőfokú tagokban fordul elő) ...

[előzmény : GPF, 2000.01.14 10:59]

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-14 11:24:27   (396)
Benéztem hozzátok. UUUhhhh.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-14 10:59:03   (395)
OK. Teljesen igazatok van. Így már nem olyan furcsa. Azért az a polinom még azt is tudja, hogy akármilyen nagy értéket fel tud venni. Amiket írtok, abból ez még nem következik. De valószínűleg nem ez az érdekes kérdés.

Nem találtatok valami idevágó anyagot?

Ja, bebizonyították a teljes sejtést, amire a Nagy Fermat tétel bizonyítása épül. (Wiles csak egy szűkebb osztályra bizonyított.)


noway válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 17:28:25   (394)
"Mondjuk ez azt is jelenti, hogy ha 41-et rögzítek, akkor a maradék legmagasabb fokú tag együtthatója mindig negativ. Furcsa."

Annyira nem, pl. ilyen a következő polinom is:
[Szumma i=1-től 42-ig](-xi5) + [Szumma i=1-től 42-ig](2xi-2xi-1xixi+1xi+2)
(az index persze ciklikus)
Ez csak akkor lesz pozitív, ha a változók kb. egyenlőek, tehát ha 41-et rögzítesz, akkor addig, amíg a 42-edik nem sokkal nagyobb náluk, azaz véges sok értékre.

[előzmény : GPF, 2000.01.12 15:57]

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 17:11:17   (393)
Mondjuk ez azt is jelenti, hogy ha 41-et rögzítek, akkor a maradék legmagasabb fokú
tag együtthatója mindig negativ. Furcsa.

Miért furcsa? Egy 5-ödfokú 42 változós polinomnak több, mint 1 000 000 tagja lehet (feladat: pontosan mennyi?). Ebből 42 negatív. És?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 16:38:35   (392)
A legnagyobb ismert prim: 226972593-1 ami 2098960 jegyű. (Cél a 10 millió jegyű. 100e dollárt ér.)

De, ha rögzítek 41 változót, nem biztos, hogy 5-ödfokú polinomot kapok. Hisz egy polinom lehet úgy is 5-ödfokú, hogy 5 változó van összeszorozva.

Olyan a polinom, hogy ha rögzítek pár változót, a legnagyobb fokú tag mindig negatív együtthatójú lesz?

Szerintem ekkora számokat összeszorozgatni lehet, s biztos könnyebb is, mint a Mersenne tesztet megcsinálni.

[előzmény : noway, 2000.01.12 15:49]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 15:57:17   (391)
De, biztos valami ilyesmi lehet. Mondjuk ez azt is jelenti, hogy ha 41-et rögzítek, akkor a maradék legmagasabb fokú tag együtthatója mindig negativ. Furcsa.
Próbáltam megtalálni a neten ezeket a képleteket, de mindig csak egy könyvre hivatkoznak:

Ribenboim: The Little Book of Big Primes, meg ennek az úriembernek egy másik könyvére, hogy ezekben benne van.

[előzmény : Ebey, 2000.01.12 14:14]

noway válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 15:49:47   (390)
"De azt gondolom, hogy egy 5-ödfokú polinomnál, ha a 42 változóból 41-et rögzítek, nem lehet nagy ördöngősség eldönteni, hogy mikor nagy. (Ez nem biztos, de ezt sejtem.)"

Jól sejted: ha rögzíted őket, kapsz egy egyváltozós ötödfokú polinomot, ami a végtelenbe tart, ha n is.
Viszont lehetséges pl., hogy ha egy változót rögzítesz, akkor a többi 41 összes értékére is csak véges sok prímet kapsz.
(Csak viszonyításképpen: a legnagyobb ismert prím ~ 102000000. Tehát az ennél nagyobbat kereső ötödfokú polinomban legalább10400000 körüli számokkal kellene operálni.)

[előzmény : GPF, 2000.01.12 11:32]

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 14:14:02   (389)
Fogalmam sincs, hogy így van-e, mert nem hallottam még erről, de azért elképzelhető, hogy ha a változók zömét csak úgy találomra rögzíted, akkor a kapott kevés-változós polinom leginkább negatív értékeket fog felvenni. Lehet, hogy a nagy prímértékhez csak kacifántos változóértékek esetén juthatsz a polinom segítségével.

Nem?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-12 11:32:38   (388)
Q értéke minden szám k-sra vagy negatív, vagy prím. Ezért kell a max(Q,2). De azt gondolom, hogy egy 5-ödfokú polinomnál, ha a 42 változóból 41-et rögzítek, nem lehet nagy ördöngősség eldönteni, hogy mikor nagy. (Ez nem biztos, de ezt sejtem.) Így nem értem, hogy miért lenne ezzel nehéz nagy prímeket generálni.

Van olyan f(n) is, ami egy irracionális számból "tömöríti ki" a prímeket, de ez nem az. Itt csak n és ennek gyökeinek egészrésze szerepel egy polinomban. Egy szám valahányadik gyökének egészrészét megkeresni megint nem tűnik bonyolultnak.


noway válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-11 19:05:14   (387)
Lehet, hogy egyre ritkábban vannak olyan szám-k-sok, amikre Q prímet ad. Az is lehet, hogy "rendezetlenül" vannak a prímek: néha nagy számokra is kis prímet ad. Végső soron lehet akár lassabb is, mint valamelyik "hagyományos" prímkereső algoritmus.
(Az f(n) meg, gondolom, egy megfelelő konstansból "tömöríti ki" a prímeket.)
[előzmény : GPF, 2000.01.11 17:41]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     2000-01-11 17:41:22   (386)
Régebben írtam, hogy úgy tudom, nincs olyan képlet, ami a prímszámokat generálná.
Na, most olvastam, hogy van ilyen.

Idézek:

A max(Q(x1,...,xk),2) kifejezés a változók nemnegatív egész értékeire mindig prímet ad, és minden prímet megad. Az ilyen Q polinomok mindegyike elég komplikált. ... Van 5-ödfokú, ez azonban 42 változót tartalmaz. A jelenleg ismert legegyszerűbb egy 26 változós 25-ödfokú polinom.

Idézet vége.
Később:
Létezik olyan f(n) egy változós kifejezés is, amelyre a max(f(n),2) számok halmaza pontosan a prímszámok halmazával egyező.

Forrás: Lackovich Miklós: Prímképletek. Megjelent a Matematikai mozaik új kiadásában.

Tudtok erről? Van ezek után értelme a nagy prímek keresésének? Így elsőre, amennyire értem, ha a fenti Q polinomot (ami explicit megadva létezik) egy kicsit vizsgálgatjuk, majd a megfelelő változók helyére jó nagy számokat helyettesítünk, baromi nagy prímeket lehet kapni. És egy polinom helyettesítési értékét kiszámolni nem tűnik olyan bonyolultnak.

Néz még valaki erre?


Ian Brady válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-19 09:26:18   (385)
(1) Mi a kiválasztási axióma?
(2) Hol lehet vmi rendes mértékelmélet jegyzetet kapni?

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-19 09:14:24   (384)
Kösz.
Ezt tényleg nehéz számolni? Nincs rá gyors módszer?
[előzmény : noway, 1999.11.19 00:12]

noway válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-19 00:12:25   (383)
Ugyanaz, mint a rendes logaritmus, de csak egész értékeket vesz fel (nam folytonos = diszkrét). Véges testeknél van értelme, ahol van olyan elem, aminek hatványai az összes elemet előállítják.

Formális definíció:
Legyen g a q-elemű K test primitív eleme, u K* egy eleme, u=gi, ahol 0<=i<q-1. Ekkor indgu:=i u-nak g-re vonatkozó diszkrét logaritmusa.

[előzmény : GPF, 1999.11.16 13:21]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-18 15:42:28   (382)
Titkosírások kapcsán hallottam. 3 nehéz dolog van, ami alkalmasnak tűnik a titkosírásokra. A szorzattá bontás, elliptikus görbék, diszkrét logaritmus.

(Az elliptikus görbék furcsa, hogy megint előjöttek, mert ugye a Nagy Fermat sejtés bizonyításában is elég jelentős szerepet játszottak.)

A cikk arról szólt, hogy a faktorizációs titkosírásoknál (RSA) 512 bites számokat használnak, s azt feltörték x idő alatt. Az elliptikus görbéset 92(?) bites számokkal kb. 4x alatt. Ott említették a diszkrét logaritmust is, de csak futólag. Biztos valami számelméleti fogalom.

Szia Hacsek!

[előzmény : Nereida, 1999.11.18 12:06]

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-18 12:19:46   (381)
Nereida!
Be tudnád ide szakszerűen írni, amiről a teástalin dumáltunk?
[előzmény : Nereida, 1999.11.18 12:06]

Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-18 12:06:32   (380)
GPF, hol hallottál diszkrét logaritmusról? Csak azért kérdezem, hogy hátha a témakör jobban behatárolja a dolgot.

Nereida


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-16 13:21:22   (379)
Mi a diszkrét logaritmus?

TRIKÓ válasz erre | adatok | e-mail     1999-11-02 03:13:28   (378)
GDF (Gödel)> anélkül, hogy belemásznék a Godel T. formalista mélységeibe...
Szal, a lényege az (mondjuk egy laikus felé), hogy sikerült különválasztani, (formulázni) a "igaz" és "bizonyitható" matematikai fogalmakat. Megint nem emléxem a névre - katasztrofális a név memóriám: t-betüs-t-betüs- ruszki:)))

(független, nem-hamis): igaz-nem igaz, levezethető-nem levezethető, független-nem független: a 3 fogalom pár nem egyenrangú:

igaz nem azonos levezethető:
a Gödel-formula igaz (tudjuk, hogy az, feltéve persze, hogy a számelm. ellentmondásmentes) de nem levezethető

nem-levezethető nem azonos független:
megintcsak: a Gödel-formula nem levezethető mégis negációja ellentmondásra vezet (tehát nem független)

- - -

Bagoly(formula halmaz)> véges/megszám. formulából álló axiómarendszerekre gondoltam. A matematikai gyakorlatban mást még nem láttam:) Ja és bár száz éve láttam utoljára az S-L-t szerintem ezekre igaz.

Egyébként az "alapharc" szerintem nem a kielégithetőség körül megy, hanem a van-e/nincs-e nem-megszámlálható körül. Igaz éppen a Lowenheim-Skolem tétel inditotta a vitát ekörül...


bAgoly válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-29 21:15:15   (377)
Tarasco,

ha jol sejtem, valoban igazad van az osztaly fogalom, talan azert lett kitalalva, hogy feloldjak ezt a paradoxont ugy, hogy ertelmes dolgot kapjanak meg mindig. Nos szerintem eleg megmaradni az osztalyoknal leven, hogy bizonyos tulajdonsagu halmazok osszessege mindig osztalyt alkot. Bar gondolom ez nem annyira valasz a kerdesedre :( Az egesznek annyi erteleme van, hogy precizen tudjunk beszelni a matematikai dolgokrol. Szoval ha a tetszoleges letezoknek van valami tulajdonsaga, azon kivul, hogy halmazok, akkor megy a dolog.

GPF,

valoban ELTE-s jegyzetrol van szo, es ha jol tudom barki hozzajuthat, csak nem tudom mikor van nyitva a bolt. A Fermat sejtes kapcsan, gondolom ez a kerdes tisztazodott annak idejen. Meg nem olvastam vissza mindent :) Egyebkent a nem hamis/igaz kerdesrol, egy csomo minden eszembe jut peldaul a modalis logika, tobberteku logikak, sot valoszinusegi modellek is, amelyben nem igaz vagy hamis allitasok vannak, hanem valamely valoszinuseggel igaz allitasok. Sajnos ezekrol nagyon keveset, tudok tul sokat, egyenlore :)))) Szoval gondolom nem mondok ujat, de egy Fi formula E elmelttol valo fuggetlensege azt jelenti, hogy Fi+E is konzisztens, es nem(Fi)+E is. Egyebkent nem igazan hiszem, hogy a Fermat sejtes tipusu tetelek fuggetlenek volnanak (pl. a Riemann sejtes).

Corrigendum az elozo levelemhez:
valoszinuleg elbonyolitottam a G"odel 2. kimondasat, ugyanis eleg lett volna annyit mondani, hogy ha E egy szep elmelet (lasd elozo hozzaszolas), akkor E-bol nem vezetheto le Con(E).
Bocsi igy talan egy kicsit erthetobb.

bAgoly

[előzmény : Tarasco, 1999.10.29 12:56]

Tarasco válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-29 12:56:20   (376)
Nekem mindig gyanús volt ez az osztály-dolog.
Úgy tűnik, hogy arra találták ki, hogy elkendőzzék a Russel-paradoxont és másra nem is jó. De ezek szerint arra sem jó.
Mert ha az osztályok osztálya sem osztály, akkor mi az a halmazszerű fogalom, amivel tetszőleges létezőket legalább el tudok különíteni a többi létezőtől? Hiszen éppen ez - lenne - a halmazelmélet értelme.
[előzmény : bAgoly, 1999.10.27 12:24]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-28 15:16:45   (375)
Kedves bAgoly!

Még emésztem az előző hozzászólásodat. A Csirmaz az ELTE-s jegyzet, ugye? Most is lehet jegyzetet venni bárkinek? Mikor? Amikor én jártam, még a mostani könyvesbolt volt a jegyzetellátó, s az sokszor nyitva volt, azóta viszont nem találtam soha nyitva a jegyzetboltot.

Na. Régebben beszéltünk a Nagy Fermat könyv egy megjegyzéséről, mi szerint: Ha a Nagy Fermat tétel független lenne, akkor biztos nem lenne hamis, hiszen a hamisságát egy ellenpéldával lehetne cáfolni.

Tehát miért nem igaz ez az okfejtés:

A Nagy Fermat sejtés független => Nem hamis => Igaz.

Ami nem hamis, az nem biztos, hogy igaz?

[előzmény : bAgoly, 1999.10.28 14:22]

bAgoly válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-28 14:22:36   (374)
GPF,

az utolso kerdesedet sajna nem ertettem :( szoval egy kicsit bovebben si irhatnal, hogy mire gondolsz.

bAgoly

[előzmény : GPF, 1999.10.27 14:43]

bAgoly válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-28 14:15:06   (373)
GPF,

a G"odel tetel a kovetkezo lenne:
szoval PA-ban (szamelmelet, Peano aritmetika, termeszetes szamok) lehet ertelmezni rekurziv fuggvenyeket, azaz olyan fuggvenyeket, amik kiszamolhatoka "rekurziv modon", ez kabe azt jelenti, hogy van a kiszamolasukra vmilyen algortimus. Ha most egy elmelet nyelvenek jeleihez temeszetesen szamokat rendelunk, es persze a logikai jelekhez is, akkor az elmelet formulait (ugyeskedve) de le tudjuk kodolni rekurziv fuggvenyekkel a szamelemlet nyelvere, azaz termeszetes szamokka. (Persze kell, hogy a jelek szama ne legyen tobb mint ahany termeszetes szam van.) Sot nemcsak a formulakat tudjuk igy lekodolni, hanem a levezeteseket is (ugye egy levezetes az formulasorozat). Tehat egy PA modellben "modellezni" tudjuk az elsorendu logikat. Ha most egy elmelet olyan, hogy benne a PA-t tudjuk "modellezni" (ilyen peldaul a halmazelmelet), akkor abban az elmeletben is tudunk levezetesekrol beszelni. Tehat peldaul arrol is, hogy egy formula levezetheto e egy kiindulasi formulahalmazbol, azaz mondjuk egy axiomarendszerbol.
Azt a formulat, ami arrol beszel, hogy az adott E elmelet konzisztens-e, Con(E)-vel szokas jelolni.
Azt a formulat, ami pedig azt mondja, hogy egy Fi formula bizonyithato Pr(Fi)-vel jeloljuk. G"odel 2. nemteljessegi tetele ezek utana kb a kovetkezo: ha egy E elmelet szep (peldaul ebbe az is beletartozik, hogy PA reprezentalhato benne), akkor ha igaz Pr(Pr(Con(E))), akkor igaz Pr(nem(Con(E))) is. Remelem nem rontottam el semmit.... Szoval azt kell latni, hogy a bizonyitas a modellen belul tortenik, mi ennek ellenere nyilvan felulrol nezve, a modellen kivulrol be tudjuk latni, hogy egy elmelet konzisztens-e, azaz van-e modellje vagy nincs. Hiszen PA-rol latjuk, hogy van neki modellje (sot eleg sok, ahogy Nereida is ramutatott). Egyebkent PA helyett Q-rol szokas vegig beszelni, ami a szamelmelet egy gyengitese. Szoval remelem egy kicsit ertheto, amit irtam, ha nem azaz en hibam :) Erdemes peldaul Csirmaz Laszlo: Matematika logika jegyzetet megnezni, abban ugyan G"odel 2. nincs benne, de nagyon jol elmagyarazza ezt a szamokkal valo kodolast.

bAgoly

[előzmény : GPF, 1999.10.27 14:43]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-27 14:43:54   (372)
TRIKO, bAgoly!

Azért számomra ez a Gödel tétel elég durván hangzik. Egy kicsit értelmezzétek, vagy mondjatok róla többet!

Ti mit szóltok a független, nem hamis kérdéshez? Ez ugyanaz?

[előzmény : bAgoly, 1999.10.27 12:24]

Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-27 13:49:21   (371)
Udv, bAgoly!

Na vegre, egy hozzaerto...
Akkor en most elkoszonok egy kis idore.

Nereida


bAgoly válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-27 12:24:51   (370)
Udv mindenkinek. Ez lenne az elso hozzaszolasom es gondolom igy eleg nagy pofatlansag rogton masokat kiegesziteni, de...
Triko> Szoval a skandinav urge az L"owenheim lenne (Skolemmel egyutt aki viszont szerintem nem skandinav, bar lehet hogy L"owenheim sem) Meg mindig ennel a temanal maradva, szukseges lenne tisztazni , hogy mit ertunk axiomarendszer alatt, leven, hogy ha csak egy formulahalmazt, akkor nem igaz az, hogy mionden axiomarendszernek van megszamlalhato modellje. Bar sokan az axiomarendszert olyan ertelemben hasznaljak, ami ezt a tenyt maga utan vonja.

A Godel tetel eleg erdekes, es amilyen mely eredmenyt mond ki, olyan "eros" feltetelek mellett. Persze azert a halamzelmelet szerencsere kielegiti ezeket a felteteleket. En "nem latom" a paradoxont abban, hogy amit be tudunk bizonyitani az nem igaz :))) Ugye kabe errol szol az emlitett Godel tetelt.

Azt hogy nincsen olyan hogy minden halmazok halmaza azt eleg egyszeruen ki szoktak loni. Definialjak az osztaly fogalmat, ami vmi olyasmi ami nagyobb dolog minden halmaznal. (Ezt a szokasos halmazelmeletben (ZFC), is meg lehet tenni.) Es kijon hogy a halamzok azok bizony osztalyt alkotnak! Vigyazat egy osztaly nem feltetelen eleme a modellnek :)))) Ezutan felmerul a kerdes, hogy az osszes osztaly osztalyt alkot-e? :) Nos a Russel paradoxonhoz teljesen hasonlo bizonyitassal be lehet latni, hogy nem. Es igy definialhatunk egy ujabb fogalmat.... es igy tovabb es igy tovabb...

bAgoly

[előzmény : Nereida, 1999.10.25 19:42]

TRIKÓ válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-25 21:00:58   (369)
Nereida> sokféle axiomatikai probléma van, vannak formális problémák (konzisztencia, teljesség, stb )

aztán vannak nemformális problémák: ezek egy része az - legalábbis szerintem - amikor valami szemléletileg evidens, belátható stb. tényt nem tudunk formálisan leirni, megfogni.

Példa1
Szemléletileg belátható az hogy "két halmaz közt értelmezett összes függvény" (formálisan: adott H, K halmazra, a H-n értelmezett K-ra képező fv-ek). Szal ez létező valami:)) ugyanakkor az általam emlitett ál-paradoxon bizonyitja, hogy a fenti tényt nem lehet "kiirni": tudjuk (?) hogy van de formális keretek közt nem tudjuk garantálni

Példa2
Fenti szinte szóról szóra átvihető a hatványhalmazra: tudjuk(?), hogy van adott halmaznak összes részhalnaza, de forálisan ezt nem tudjuk garantálni...

Példa3
Citálható a Gödel tétel is: az a tétel, amiről belátja, hogy nem bizható a számelmélet axiomáival arró tudjuk, hogy igaz (feltéve hogy a Számelmélet konzisztens, különben triviálisan igaz).

Na ellenvéleményt kéreeeeeeeek! Főleg a Gödel példa tünik gyanúsnak nekem:))

Ami a Russel paradoxont illeti, t'om mi az:) Csak azt nem értettem hirtelen, hogy hogyan került ide:) Persze van analógia az "összes halmaz" ill. adott "halmaz összes részhalmaza" között...


Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-25 19:42:42   (368)
Sot, pont jo hogy pl. nincs meg az osszes fuggveny. A forszolas pont ugy mukodik, hogy berak valamit a modellbe, ami addig nem volt ott, es gyakran meg a modell elmeletet is megvaltoztatja (egy struktura elmelete: az osszes benne igaz allitas).

Nereida


Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-25 19:39:45   (367)
Triko,

miert axiomatikai problema az, ha nem tudok valamit garantalni? A modell ugyanolyan jol mukodik, mint a halmazelmelet - miket beszelek, a modell maga a halmazelmelet.
Russell-paradoxon: nem letezik az osszes halmazok halmaza. A modell tartalmazza 'az osszes halmazt', de nincs olyan eleme, ami ugyanezt megtenne.

Nereida


TRIKÓ válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-23 17:42:22   (366)
Nereida > naja a bijekcionál van a problema, mint emlitettem, a függvény, ami a "valóságban" megadja a bijekciót, nincs benne a modellben, azaz a modell számára nem egyenlő a számosságuk. Szal, szerintem itt a mélyebb axiomatikai probléma az az, hogy nem tudod garantálni (axiomákkal) az "összes függvényt" egy modellben...

A Russel paradoxont itt mire érted? Nem volt teljesen vili:)

GPF > nemcsak a halmazelméletnek, bármely axiómarendszernek van megszám. modellje. A névre most nem emléxem (valami skandináv f.szi:)), de utánanézhetek, hogy ki látta be... Sőt ha kell felnyomom a webre az egész tételt - bár elég hosszú:)


Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-22 15:40:29   (365)
Triko,

a paradoxont konnyu leloni. Ha van egy halmazelmelet-modelled, abban megvan minden szamossag frankon (ugye az kozismert, hogy a szamossagok is halmazok?), amik 'kivulrol' nezve megszamlalhatoak. Viszont a modellben nem lesz olyan halmaz, ami ket kulonbozo szamossag kozotti bijekcio lenne, es ez az ami szamit. Ja, es persze a modell maga onmagaban az 'osszes halmaz halmaza' lenne, vo. Russell-paradoxon.
Az, hogy egy halmaz hatvanyhalmaza nem tartalmaz minden 'elkepzelheto' reszhalmazt, megint csak 'kivulrol' nezve okozhat problemat. A modell azert modell, mert benne ugy mukodik minden, mint a 'valodi' halmazelmeletben.

GPF,

hirtelen elbizonytalanodtam. Szerencsere itt ul mellettem az axiomarendszerekben baromi jartas (volt) evfolyamtarsam. Mingyar' belep, oszt valaszol.

Nereida


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-22 08:58:17   (364)
Ajaj, ez tetszik nekem, de persze nem értek mindent.

Nereida!
Az, hogy a Peano axiomarendszernek több modellje van nem jó persze, ha a természetes számokat akarjuk leírni, de jó lehet, ha másik axiomarendszer konzisztenciáját akarjuk vizsgálni. Igaz az az állítás, hogy:

Ha a Peano axiomarendszer ellentmondásmentes, akkor a valós számoké is az?

TRIKÓ

Ilyet lehet, hogy vegyük a halmazelmélet egy megszámlálható modelljét? Az nem csak a szűkített halmazelmélettel lehet?


TRIKÓ válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-21 19:15:56   (363)
Szevasztok,
csak hogy én is mondjak valamit avagy szalonfilosz rulez:)

Nereida (ZFC)>
amennyire emléxem ill. belátom a halmazelméletnél a hatványhalmaz-képzés az az axióma, ami "befuccsol": ha teccik az "összes részhalmaz halmaza" az a valami, amit nem lehet formalizálni.

Huhh, a másik (nem emléxem ekvivalens avagy mélyebb) formalizációs probléma a függvények körül van (biekció rulez). Gondoljátok csak meg ezt a "paradoxont":

Vegyük a halmazelmélet egy megszám. modelljét, ebben:

1) a valós és természetes számoknak is megvan a megszámlálható modellje,
2) a valós számok (azaz a modellnek) a számossága a természetes számok hatványhalmazáéval egyezik és
3) ismert tétel hogy egy hatványhalmaz mindig nagyobb számosságú az eredetinél

1)-3) alapján a megszámlálható modell számossága nagyobb a megszámlálható számosságú természetes számokénál. Na ki tudja a feloldást?:)


Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-21 15:16:25   (362)
Udv, GPF,

naszoval, konzisztenciaerosseg: egy axiomarendszer konzisztenciaerosebb egy masiknal, ha a konzisztenciaja (ellentmondasmentessege, ha ugy tetszik) a masiket maga utan vonja. A halmazelmelet a mondottak szerint igen eros; mindenesetre nem teljes, vagyis nem bizonyithato benne minden felirhato allitas, vesd ossze kontinuumhipotezis. Ha egy nem bizonyithato allitast hozzaveszunk, akkor egy erosebb rendszert kapunk.
Van egy olyan megszamlalhato struktura, ami a halmazelmelet minden axiomajat, a vegtelensegit kiveve, tudja. Sot, ha csak veges sok halmazelmeleti axiomat tartunk meg, annak is lesz megszamlalhato modellje.
A konzisztenciaosszehasonlitasra van egy modszer, ami ilyen megszamlalhato halmazelmelet-modelleket hasznal, forszolasnak (forcing) hivjak. Tegyuk fol, hogy van egy modell, amiben igaz nehany specko axioma; a forszolas kiboviti ezt a modellt ugy, hogy tovabbra is megszamlalhato, es egeszen mas axiomak lesznek benne igazak. Ekkor a kiindulasi axiomarendszer konzisztenciaerosebb. Standard pelda a kivalasztasi axioma ki-be-forszolasa.

A Peano-axiomarendszer az egyik leggyengebb. Elvileg a termeszetes szamokat volt hivatott rogziteni. Ehhez kepest kontinuum sok nemizomorf megszamlalhato modellje letezik, es ezek kozul csak egy izomorf a termeszetes szamokkal, de a tobbi is tartalmaz egy azzal izomorf reszstrukturat.

Nereida


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-21 13:51:12   (361)
Köszi Nereida, ez érdekes volt.
Nem tudtam a konzisztenciaerősségről. Ez egzakt dolog? Tehát foglalkoznak ilyennel, hogy egyik axiomarendszerben lehet-e modellezni a másikat? Be lehet ilyeneket bizonyítani?

Szerintem pl. az euklideszi geometriában is lehet modellezni a valós számokat, vagy a természetessel is. (Mint ahogy már történt is e topicban erre kezdeményezés.) Így a Peano axiomarendszer ugyanolyan erős, mint a valósoké?
Pedig még a számosságuk sem azonos.

A halmazelméletét nem lehet modellezni valamivel?

[előzmény : Nereida, 1999.10.19 17:57]

Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-19 17:57:30   (360)
GPF,

nem voltam itthon a hetvegen, de most mar ime a valasz.

Az euklideszi rendszerbol kihagyva a parhuzamossagi axiomat kaphato az 'abszolut geometria', amiben a haromszog szogosszege legfeljebb 180. Nem vagyok geometer, ezert nem tudom, hogy milyen axiomakat kell meg hozzavenni-elhagyni-modositani, hogy meglegyen az elliptikus geometria.

Egyebkent meg van egy konzisztenciaerosseg nevu dolog, amit az axiomarendszerek ertekelesere hasznalnak. (Ez most nagyon nem preciz megfogalmazas.) Egy axiomarendszer erosebb lehet egy masiknal, aminek egyik jele, hogy abban modellezni lehet a masikat. Peldaul a halmazelmelet axiomarendszere (a ZFC) eleg eros, mert vegul is a metematikaban csak halmazokrol esik szo. Ennel gyengebb a valos szamok axiomarendszere. Az euklideszi geometria meg gyengebb, mivel a valos szamparokbol meg lehet csinalni az euklideszi sikot. Az euklideszi illetve Bolyai- (vagy parabolikus illetve hiperbolikus) geometriak konzisztenciaekvivalensek, mivel letezik a paraszfera es a Cayley-Klein modell. Usw, usw...

A Riemann-geometria nem axiomakra epul. Van egy n-dimenzios sokasagod (egy 'dolog', ami minden pontjaban 'ugy nez ki', mint az n-dimenzios euklideszi ter) es ezen kell definialni a metrikus tenzort meg a kovarians derivaciot, amik lenyegeben a tavolsagokat meg az iranyokat rogzitik a sokasagon. Sok icipici terkepdarabkat osszeragasztva kapja az ember a foldgombot. Nem magyarazom tovabb...

Nereida


originalqszi válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-18 11:00:58   (359)
Gondoltam:((( Bocsi, lusta voltam megkeresni és mivel ez a topic ott volt éppen az orrom előtt, hát rákaptam:)))
Van jobb megoldás! Mit ne mondjak, 2 perces!!!!!:-)))))))))
[előzmény : GPF, 1999.10.13 13:26]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 16:55:18   (358)
Oke Nereida, nem akartalak bántani, csak szerintem azért írogatott ide pár ember, akinek van matematikai képzettsége.

Na, ez már tetszik amit írsz a Riemann-georól. Szóval nem az, mint amit az előbb írtál, hogy a gömbfelületen az átellenes pontok azonosnak tekintése mellett? Az egy példa rá? De akkor sem stimmel, hogy a többi euklideszi axiomából levezethető, hogy a szögösszeg < 180 fok.

Ilyen értelemben nem mondható, hogy általánosabb, mivel más axiomákat használ. Vagy elhagy pár axiomát? Akkor könnyű általánosabbnak lenni.

Na, én diffgeo-ból nem voltam erős, az axiomatika, meg a halmazelmélet, meg a logika érdekelt.

GPF

[előzmény : Nereida, 1999.10.13 16:14]

Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 16:14:23   (357)
GPF,

azt az ominozus bekezdest otszor fogalmaztam at. Nem elegszer, ugy tunik... Szoval csak a szakma velemenyet probaltam/om kepviselni.

Riemann-geometria: amikor nem egy olyan merev dolgot nezel, mint a sik, vagy a gombfelszin. Meg van adva egy tavolsagstruktura a "feluleten" (akarhany dimenzioban), ami meghatarozza ket pont kozott a legrovidebb utat (geodetikus vonal, az egyenes megfeleloje). Egy ilyennek minden pontban van gorbulete (to:bbfe'le is), es a Gauss-gorbulet mondja meg lenyegeben, hogy annak a pontnak a kornyeken a haromszog szogosszege kisebb vagy nagyobb-e 180 foknal. Altalanosabb, mert mindharom "konstans gorbuletu" geometriat tartalmazza.
Az alt.rel.elm.-ben egy olyan (pszeudo-)Riemann-geometria szerepel, ahol a tavolsagok nem feltetlenul pozitivak, es a gorbulet a pontbeli tomeg-energia-impulzus-suruseg-arammal van osszefuggesben.

Nereida


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 13:26:11   (356)
Kedves originalqszi!

A feladat már volt a logikai topicban, bár ott véres banda ment át a függőhídon. Ki az a Taksonyka?

17 perces megoldások születtek. Van jobb?

[előzmény : originalqszi, 1999.10.13 11:32]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 13:10:28   (355)
Kedves Nereida!

Köszönjük hozzászólásodat.
Hacseknek már elmondtuk ezeket, de nem győzték meg.

A Riemann geo-ról nem ez volt a kérdés, hanem, hogy mit kell elvetni az euklidesziből a párhuzamossági axiomán kívül, mert a többiből levezethető, hogy a háromszög szögösszege nem nagyobb 180 foknál. Miért általánosabb a Riemann geo? Mi az, hogy általánosabb?

Az első bekezdésed nem volt túl szép, de mi nagyon béketűrő emberkék vagyunk.

[előzmény : Nereida, 1999.10.13 12:30]

Nereida válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 12:30:56   (354)
Hali all,

gondoltam hozzaszolok. Iden szereztem matematikus diplomat, es ugy hiszem, hogy emiatt valamelyest jobb ralatasom van a cimben (gondolom) foglaltakra, mint azok, akik fokent egyeb helyekrol szerzik matematikaval kapcsolatos tudasukat.

Hacseknek, ha meg nem kapott, a valasz:
Barmely ket racionalis/irracionalis szam kozott van racionalis/irracionalis szam. (Ez osszesen negy allitas.) Sot, nem csak egy, hanem megszamlalhato (racionalis), illetve kontinuum sok (irracionalis). Ugy kell elkepzelni, hogy a racionalis es irracionalis szamok a mak-es-porcukor elegy a teszta tetejen.

A 'van 180 foknal nagyobb szogosszegu haromszog' geometriat elliptikus geometrianak hivjak, es ugy kaphato a gombi geometriabol, hogy a gomb atellenes pontjait azonosnak tekintjuk. A Riemann-geometria sokkal-sokkal altalanosabb.

Van olyan formalis logika is, amiben nem igaz (=nem teszik fol) a harmadik kizarasa elvet. Bocs, de errol egy szot nem tudok.

Ha valaki nekem szegez egyeb, itt nem erintett ontopic kerdest, arra legjobb tudasom szerint valaszolok.

Nereida


originalqszi válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 11:32:52   (353)
Ödönke 1 perc alatt ér át a sötét hidon, elemlámpával,
Ivóka 2 perc alatt ér át a sötét hidon, elemlámpával,
Özsébke 5 perc alatt ér át a sötét hidon, elemlámpával,
Taksonyka 10 perc alatt ér át a sötét hidon, elemlámpával! Csak ketten mehetnek egyszerre a hídon és miután átértek, az egyiknek vissza kell hozni az elemlámpát, hogy a következő gyerekkel megint elinduljon a hídon! 17 perc alatt mindegyik átér! Lehet hamarabb is?????? Hogyan?????

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-13 10:54:16   (352)
Megvan a Metaaxiomatikai problémák.

Csatlakozom Lalo-hoz.

Majd tán én is beszámolok, ha valami érdekeset találok.

[előzmény : Tarasco, 1999.09.14 16:47]

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-10-03 20:14:51   (351)
Kedves Mindenki!

Korábban megírtam, hogy ígéretet kaptam egy nemstandard analízis könyv kölcsönkapására. Nos, a könyv nálam van, már bele is olvasgattam, nagyon érdekes. Amint rendesebben átnéztem, írok róla egy beszámolót. (Ha csak le nem beszéltek róla...)

[előzmény : Lalo, 1999.08.27 14:47]

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-14 17:31:48   (350)
Jó könyv?
Mondj valami izgalmasat belőle!
Megnéztem a Typotex honlapját, hát van még pár, amit el kellene olvasni.

Tarasco válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-14 16:47:52   (349)
Olvastam egy könyvet, ami a topicban felvetett témák pozitív százalékával foglalkozik (pl. Gödel, Bolyai-geometria). Surányi László: Metaaxiomatikai problémák a címe és a Typotexnél jelent meg.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-13 17:39:58   (348)
Meghalunk?

Pedig elolvastam a Prím embert. Meg a Természet számait félig.

Azért abban volt egy érdekes dolog. A káoszt magyarázgatta a szerző, s egy folyadékról írt, amit négy összetevőből lehet kikeverni. Először vörös, aztán keletkeznek benne kék körök, majd azokban vörös. Ez tetszene nekem. Nem tudtok róla valami bővebbet? Vagy ezt kémiai topicban kellene kérdeznem?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-08 13:33:48   (347)
Azt hiszem, nem Lagrange szögtételei, talán Legendre.

A Riemann geo nem teljesíti a közrefogás axiomáit.
Most már több könyvben is olvastam, hogy ez a 3 geo ugyanaz a párhuzamossági axioma kivételével, de ezek szerint ez nem igaz. Vigyázni kell.


R-key válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 16:57:06   (346)
Inentő 1000. :-)

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 16:42:44   (345)
Mi?

R-key válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 16:32:12   (344)
Elhatyjuk es MASSAL hejettesitcsuk...
akko igen.
ha szimplán elhattyuk akko nem jo aL.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 15:18:16   (343)
Kollega úr megnézte a geometriákat, s úgy tűnik jól emlékeztem.
Tehát:
Ha az euklideszi axiomák közül elhagyjuk a párhuzamosságit, akkor a többiből következnek Lagrange szögtételei:
1. Minden háromszög szögösszege <= 180 fok.
2. Ha egy háromszög szögösszege < 180 fok, akkor az összesé is.

A Riemann féle geoban viszont a szögösszeg > 180 fok. Vagyis valahol ellentmond a többi euklideszi axiomának. De hol?

(A Riemann geo az, ami a gömb felületén van, ha a két átellenes pontot egynek tekintjük. Egyenesek a főkörök.)


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 12:15:18   (342)
Szia GPF!
Nem a "méltatás" hiányzik.
Továbbra is tartom: érdemben akkor fogok hozzászólni, ha valaki az eredeti témában elenged egy, az enyémtől eltérő feltételezést (azaz hogyan helyezkednek el a racionális és irracionális számok a valós számok halmazán).

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 11:14:41   (341)
Szia Hacsek!

Minket már csak ennyire méltatsz?
DCsabaS_ a barkács rovatban is szóba került.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 11:06:27   (340)
Uraim!
Ez a topic annak ellenére kezd eldurvulni, hogy itt sem vagyok.
Pedig az eredeti felvetés az én eloszlási tézisem bírálata volt.
Azt azért szeretném kijelenteni, hogy az ERKÉJ nem én vagyok.
Valamint egy üzenet: DcsabaS-t várják a Magyarulezben!

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-07 10:51:56   (339)
DCsabaS_

Hol vagy?

Ebey!
Ha jutsz valamire, hogy milyen is lehet egy eldönthetetlen probléma, oszd meg velünk. Én se nagyon akarom elhinni, hogy a Goldbach sejtés független, de nem tudom, ki lehet-e zárni. Mi az, hogy könnyen emészthető következmény? Csak megértjük valahogy.

Pl. olyan állításokról sem hihető, hogy független, mint pl. hogy végtelen sok ikerprím van? Vagy máshogy: az ikerprímek száma megszámlálhatóan végtelen? Ha a végtelen bekavar, al tudom képzelni, hogy független.

R-key!
Sajnos nem nagyon tudom, hogy a felsoroltaknak milyen átlátásuk volt a matematikáról, de nem nagyon győztél meg.
Erdősről köztudomású, hogy egy csomó terület nem érdekelte, nem is értette igazán az ott felmerült problémákat, csak voltak jó ötletei, esetleg a formulák alapján. A fizikusokról meg úgy gondolom, hogy az ő területük matematikáját nagyon jól tudták.
Neumann tényleg sokat tudott, halmazelmélet, anal, játékelmélet, ... De pl. számelméletben, kombinatorikában is otthon volt? Nem tudom, de nem is hiszem, hogy el tudjuk dönteni. Újabb független állítás. :-)


R-key válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-06 17:10:42   (338)
Jól érti!:))

néhány nemtuomki:
Neumann János
Wigner Jenő
Szilárd Leó
Erdős Pál
hogy tsak magarokat. Ezek nemcsak nevek(nagynevek) sondern WIRKLICH teljes rálátásuk vót a fifika mek (inkább vaty hoty a formalis logika ne jajdujjon fel) a matika épuletjeere.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-06 15:32:29   (337)
Kedves GPF,

szerintem az, hogy a Goldbach-sejtés eldönthetetlen volna, eleve nehezen hihető felvetés. Az, hogy esetleges eldönthetetlenségének még ilyen általunk sem könnyen emészthető következménye volna, számomra még inkább valószínűtlenné teszi azt. Bár erre semmi bizonyítékom sincs, mégis úgy gondolom, hogy a számelmélet eldönthetetlen problémáinak egészen másmilyen formájúnak kell lenniük, mint a Goldbach-sejtés, vagy a Fermat-tétel.
Hogy milyeneknek? Nem tudom, majd gondolkodom rajta... :-)

DcsabaS_-t pedig egyáltalán nem bántani akartam. Tulajdonképpen igazad van abban, amit írtál. De, szerintem azért változott kettőtök beszélgetésévé a topic, mert más nem bír hozzászólni a vitátokhoz. Én legalábbis, az általam írottak miatt, nem tudok.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-06 14:56:35   (336)
Tisztelt R-key!

Ez most ingyen volt? (Bocs) Nem Hajnal László. (Bocs)

Eléggé igazad van. Lehet, hogy Einstein mondta (de lehet, hogy csak egy magyarázója), hogy szakítani kellene már azzal az elavult elmélettel, hogy egy tudományos eredményt ha jól elmagyarázunk, akkor közérthető, meg népszerű lesz. Nem hiszem, hogy a relativitás elméletet el lehet úgy magyarázni, hogy az pontos is lesz, meg közérthető is.

Azért:
A száz évvel ezelőtti ember sem tudta. Nem is hitte, hogy tudja. Csak pár. Most sokkal nagyobb erre az igény, sokkal tanultabbak, tájékozottabbak az emberek, ezért is merül fel több probléma.

Nem véletlen, hogy a nemtudomki-re hivatkozol a természettudományokkal kapcsolatban. Még természettudós sincs, aki úgy ért hozzá, nemhogy filozófus. Vége a polihisztorok korának. Nemhogy úgy általában a természettudományokhoz nem lehet érteni, de még általában a matematikához sem. Talán Gauss, vagy Euler volt az utolsó, aki értett A matematikához. Szerintem abban semmi baj nincs, hogy mi itten amatőr filozófusoskodunk meg matematikusoskodunk.

A harmadik kizárásának elve röviden (szerintem): Ha nem igaz a nem A állítás, akkor igaz az A. Harmadik eset nincs. Vagy máshogy: A és nem A közül az egyik igaz.

Ha ez nem igaz, akkor van-e létjogosultsága az indirekt bizonyításnak? Vagy hogy van ez?


R-key válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-06 13:48:09   (335)
Mítoszteremtés.

az összes sztori ejnstejnről + a többi nagykutyáről, hiábavaló erölködés, hoyg a tudománynak emberek számára közérthető megalapozását, mítoszát adja. Ha egy százévvel ezelőtti ember kézbevett egy tárgyat, tudta, hogy-miként müködik, honnan van. Amiről nem tudta, aköré kiépített egy gondolati teret. Ez az ami anagyközönség számára nem fog menni amai tudománnyal kapcsolatban. Hijába bűvészkedünk itten defnicíjókkal mek aksziomákkal ésatöbbi. Kéne egy natyhatású filzofosz aki lekalább uty ért a természettudományokhoz, mint mint a nemtudomki(de jó nagyra gondoljatok) és hejretenné atudományt.
Persze azért, ha valaki valami fölött kutakodni akar, esetleg vizsgálja meg a dolgot, mer' nem mindegy mibe esik!
A Fermat sejtéshez fűzött agymenésekhez:
GPF mekfokta lényeget(mármint Gödel tételéét: NEM IGAZ A 3. KIZÁRÁSÁNAK AZ ELVE.(ha jól értem mit ért alatta))


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-06 11:56:08   (334)
Kedves Ebey!
Azért ez az idézet számomra elég nehezen emészthető. Mondhatjuk azt, hogy pl. a Goldbach sejtés függetlenségének bizonyítása egyszerre az igazságát is bizonyítja? Ez számomra ellentmondásnak tűnik. Vagy ha nem bizonyítja az igazságát, akkor csak a hamisságát cáfolja? Ez nem ugyanaz? Vagy nem igaz a harmadik kizárásának elve?

Azért ne nagyon bántsd DcsabaS_-t. Szeintem épphogy vele lehet vitatkozni. Mi pl. szinte csak új ismereteket közlünk egymással. (Vagy nem?) De nem nagyon vitatkozunk. DCsabaS_ más szemszögből is vizsgál dolgokat, ami lehet, hogy matematikus füllel, ésszel nehezen érthető. Egyébként asszem a metamatematika szó maga is inkább azt jelentené, hogy matematika fölötti dolgokkal való foglalkozás. Úgyhogy ne vegyük el senki kedvét.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-04 17:18:24   (333)
Kedves GPF!

A Fermat-féle könyvből idézek szó szerint, hátha mások is elgondolkoznak rajta. Tehát:

Simon Singh: A nagy Fermat sejtés (Park Kiadó, 1999) 153-154. o.
... Furcsa módon, ha a nagy Fermat-sejtésről kiderült volna, hogy eldönthetetlen, akkor ebből már következett volna, hogy igaz. Az indoklás a következő: A tétel azt állítja, hogy az
xn + yn = zn, ha n > 2
egyenletenek nincs megoldása a pozitív számok körében. Ha a nagy Fermat-sejtés tényleg hamis lenne, akkor ezt be lehetne bizonyítani egy megoldás megtalálásával, azaz az állítás eldönthető lenne. De ha a Fermat-sejtés igaz, akkor nem szükségképpen kínálkozik pontosan leírható út a bizonyításhoz, azaz a probléma lehetne éppenséggel eldönthetetlen is. Vagyis megtörténhetne, hogy a Fermat-sejtést, jóllehet igaz, nem lehetne belátni.

Az a kérdés, hogy egy ellenpélda-számhármas létezése esetén véges időben avagy végtelen időben lehet-e azt megtalálni, szerintem egyszerűen megválaszolható: véges időben. Persze ez a véges idő akármilyen hosszú lehet, de ez matematikai szempontból érdektelen. Jó példa erre az absztrakt-bolha-vadászat, ami a feladványos topic-ban lett feladva.Ellenpélda létezése esetén a megtalálhatóságot kár vitatni (kedves DcsabaS_!)i. Lehet például véletlen találgatás eredménye is.

off
Kedves DcsabaS_,
veled egyszerűen nem tudok vitatkozni. Azért nem, mert Te nem azt a - matematikában szerintem elengedhetetlen - módszert használod, hogy először adsz egy egzakt definíciót valamire és azután azt használod bizonyos állítások kimondásához, hanem:
1. állítasz valamit, ami számomra (és GPF, sőt valószínűleg a többiek számára is) vagy elfogadhatatlan, vagy érthetetlen.
2. Tiltakozásunkra válaszul az állításodban szereplő valamelyik fontos fogalmat (amely számunkra teljesen egyértelmű, hiszen a matematikusok már adtak rá _egzakt definíciót_ ) egyészen más, újszerű értelemben definiálod. Ez alapján állításod teljesen más, új értelmet(?, bár nem mindig) nyer.
Én azt hiszem, a Te (nálaménál valószínűleg magasabb) intelligenciád, és (nálaménál valószínűleg nem sokkal kisebb) matematikai ismereteid lehetővé tennék, hogy sokkal kevesebb legyen e topic-ban a meddő és felesleges egymás-mellett-elbeszélés, és ál-problémák helyett valódiakkal foglalkozhatnánk.

Persze, az is lehet, hogy abszolúte nincs igazam, ez esetben kérlek, bocsáss meg nekem a fentiekért!
on


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 15:28:53   (332)
Bocsáss meg, ó okosak fejedelme, R-key, de nem a Hajnal-Hamburger könyvre gondolsz inkább?

qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 15:04:35   (331)
taniccs bennünket erkéj mester, ha már könyv adatott a Te kezeidhez...

R-key válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 14:53:01   (330)
vagytok ti okosak si,
de tényleg ezket a d o l g o k a t
a Halazelmélet órán tanyultuk. Beza.

Kövny: Hajnal László:Halmazelm.
(I még a tankkövkiadótól)
ERRrrrőse atnulmányozandó.


R-key válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 14:48:04   (329)
Fíjukák,
800 Ftért adok orákat egyetemi szintü matekból, de ilyen lükéknek mint ti 1000.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 13:26:52   (328)
Miért írnak sokan _ ilyet a szavak közé? Ez mit jelent?
Pl. DcsabaS_:
"matematikát _is_ fölhasználva"

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 10:54:21   (327)
"Kezd a mi párbeszédünkké alakulni a topic? Nem vagyunk elég érdekesek?"

Dehogynem! Csak nekem pl. most annyi időm nincsen, hogy hozzá is szóljak.

Lalo


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-03 10:10:59   (326)
Kedves DcsabaS_!

Kezd a mi párbeszédünkké alakulni a topic? Nem vagyunk elég érdekesek?

Na, azért:

A matematika legtöbb része nem csak véges, meg végtelen halmazokkal foglalkozik, hanem az elemeket mindenféle tulajdonságokkal ruházza fel. Ezért nem egész pontos, amit írsz, hogy elég felsorolni valaminek az elemeit. (Egy véges halmaznak elég, de nem csak az elemekre vagyunk kíváncsiak.) Pl. azt hiszem, hogy a mat. történet eddigi legbonyolultabb bizonyítása a véges csoportokra vonatkozik. Több ezer oldal.

A korlátlanul folytatható lépéssorozat teljesen elfogadott dolog a mat.-ban. Ld. indukció. Nem tudom, ehhez kell-e az idő. Nem tudom, ez érdekes-e. Miért hozod elő az időt?

Mi az igaz, meg a nem igaz? Hú.
Asszem teljesen két megközelítést alkalmazok magamban is. A hétköznapi életben igaznak veszek olyan dolgokat, amiket kellően sok helyről, kellően megbízható emberek állítanak, vagy ebből kikövetkeztetek. Ezt hagyjuk.
De a matematikában mást értek igaz alatt, azt talán pontosabban el tudom mondani. De ebben nem lesz sok újdonság.

Amíg egy axiomarendszerről ki nem derül, hogy ellemtmondásos, el tudom fogadni igaznak az axiomákat. (Lehet, hogy nem érdekel, de igaz.) Aztán igaz még, amit ezekből le lehet vezetni. Ez persze mindig csak valamilyen feltételek közt igaz, nem abszolut igazság, de ez nem zavar. (A fordítottja jobban zavarna, vagyis, ha valaki abszolut igazságokat akarna írni, mondani.) Kész. Ilyen primitív az igazság fogalmam. Úgyhogy én bármit elfogadok, ami ezeknek eleget tesz.

Mi a létező?

"Ami nem létezik, az minden létezőtől független és fordítva.
"

Ez szerintem nem igaz. Nem létezik 8n+2 alakú prímszám, de ez nem független mindentől. (Vagy micsoda?) Vagy Te azt mondod, hogy a 8n+2 alakú prímek függetlenek minden létezőtől? De ennek nincs értelme. Erre mondom, hogy bagatelizálod a kérdést. Mi a fenének ilyen prímekkel foglalkozni? Ennél értelmesebb dolgok is tudnak függetlenek lenni. Függetlennek azt nevezem, amiről az én igazságfogalmammal nem lehet eldönteni, hogy igaz-e vagy hamis.
(Amióta a Magyarulez-t olvastam, nagyon próbálok vigyázni, de gondolom, nem megy mindig.)

Igen, sok múlik a kiinduló elveken, ezért is voltak itt viták.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-02 22:32:57   (325)
Kedves GPF!

A végtelen leírhatóságával kapcsolatban azzal egyetértek, hogy "kezdeni azért tudunk velük valamit véges eszközökkel is,", ez azonban szerintem csak úgy megy, ha a formalizmusok mellett magyarázkodni is kezdünk. Egy véges halmaznak a formális megadása könnyű, hiszen elegendő az elemeit tételesen fölsorolni. De ha a halmaz végtelen, az elemek hiánytalan fölsorolása lehetetlen. Bevezethetünk ugyan a halmazra valamilyen leírható jelölést, de attól még meg kell valahogy magyarázni, hogy hogyan férhetünk hozzá az elemeihez, ha egyszer nem voltunk képesek hiánytalanul leírni őket! Ez szerintem csak úgy lehetséges, ha valamilyen korlátlanul folytatható lépéssorozat képében becsempésszük az időt.

Írod:
"Az induló fázis a következő pillanatban nem annyi? Ez önmagában is ellentmondásosnak tűnik. Azért matematikával le lehet írni időben változó dolgokat, úgy hogy nem jutunk ellentmondáshoz."
Tényleg ellentmondásosnak tűnik. A matematikát _is_ fölhasználva le lehet írni időben változó dolgokat. Mondjuk nem tiszta matematikával (fizika is van benne). A lényeg az, hogy a formalizmusok önmagukban nem elegendők.

Írod:
"Csak nem érteted meg velem, hogy mit nevezel létezőnek és nem létezőnek."
Látod, innen mindenképpen tudnám, hogy erős matematikai vénád van (:-)))!
De hogy előbbre jussunk, azt kérdezem Tőled: mit nevezel igaznak, és mit nem igaznak?

Idézel engem, majd írod:
"A függetlenség alapesete a nem-létezés, másik tipikus esete a máshol-létezés."
"Na, ezt nagyon nem értem vagy én, vagy Te. (Bocs)"
Ami nem létezik, az minden létezőtől független és fordítva.
Ami máshol létezik, az csak azoktól a dolgoktól független, amelyektől elszigeteli a máshol létezés.

Feltételezed:
"S ami csak elviekben létezik, vagy igazolható, azt nem fogadod el."
Ezt így nem mondanám. Persze egyenlőségjelet nem tennék az "elviekben létező" és a "gyakorlatilag létező" közé, de el tudom fogadni a létezés különböző szintjeit, azaz pl. egyfajta létezésnek tekinteni az "az elviekben létezést" is. (Sok múlik azokon az elveken...)

U.I. Materialistának vallom magam, úgyhogy nem sértettél meg (:-))).


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-02 13:48:58   (324)
Kedves DcsabaS_!

Megint elmaradt a számozás. Legyen inkább a visszaidézés? Most már talán tudok én is dőlttel írni.

"A végtelen véges rendszerekben leírhatatlan"
Erre először kapásból azt akartam írni, hogy nem így van, mert pl. a termászetes számokat is elég jól leírják a Peano axiomák. Na, valahogy azért le lehet írni. De azt hiszem azok a Gödel tételek, amik a "valamire való" axiomarendszerekre vonatkoznak, éppen a végtelen számosságú elemeknél kezdenek érvényesek lenni. Tehát, kezdeni azért tudunk velük valamit véges eszközökkel is, de nagyon pontosan tényleg nem tudjuk leírni őket. Ennek ellenére az idézett állításom szerintem igaz, egy teljesen korrekt matematikai bizonyítás olyan kellene, hogy legyen. Ezt tartja magáról a matematika. A matematikusok persze tudják, hogy a valóságban ezt szinte soha nem lehet megtenni.

Bocs, de nem tom mi a harmonikus oszcillátor. (Az valami nagyon létező dolog lehet :-)) Így nem is igen értem ezt a példádat. Az induló fázis a következő pillanatban nem annyi? Ez önmagában is ellentmondásosnak tűnik.
Azért matematikával le lehet írni időben változó dolgokat, úgy hogy nem jutunk ellentmondáshoz.

Csak nem érteted meg velem, hogy mit nevezel létezőnek és nem létezőnek. Szerintem az üres halmaz pont annyira létezik, mint egy kör. Az üres halmaznak is van egy csomó tulajdonsága. A kontinuum hipotézis létező dolgokra vonatkozik?

"A függetlenség alapesete a nem-létezés, másik tipikus esete a máshol-létezés." Na, ezt nagyon nem értem vagy én, vagy Te. (Bocs)

Igen, régóta az a gyanúm, hogy a konkrétumok, algoritmusok ... hiányoznak Neked. S ami csak elviekben létezik, vagy igazolható, azt nem fogadod el. Ez nem baj.
Azt kell mondanom, hogy ez egy materialista világkép. (Nemtom, ezt sértésnek veszed-e, vagy nem.) Általában én is annak tartom magam. De a matematikában mindenféle idealista dolgot is el tudok fogadni. Lehet, hogy Te pont fordítva vagy. Ez érdekes.

Bocs, ha durva voltam, vagy olyan területekre tévedtem, ami nem tartozik ide.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-02 08:40:27   (323)
Kedves GPF!

Először erre a korábbi üzenetedre reagálok. Írod:
"Igazából ez azt jelentené, hogy csupán formulák átalakítását lenne szabad végezni, minden magyarázat, szemléltetés nélkül."
A végtelen véges rendszerekben leírhatatlan, ezért magyarázat és szemléltetés nélküli formális eszközökkel nem tudunk mit kezdeni vele. Ha a végtelen fogalma nélküli matematika számunkra kielégítő, akkor ez OK. (Én speciel egy ilyen matematikával nem lennék elégedett.)

Írod:
"Ha egy állításig és a tagadásáig is el lehet jutni, akkor az axiomarendszer ellentmondásos volt, s bebizonyosodott, hogy alkalmatlan, ki kell dobni, vagy módosítani kell."
Ha felírjuk pl. a harmonikus oszcillátort leíró "axiómákat", akkor majd úgy találjuk, hogy bármilyen induló fázist is tételezzünk fel róla, az a következő pillanatban már nem lehet annyi! (Vagyis ellentmond a kiinduló feltevésünknek.) Ebből nem következik, hogy a leíró axiómarendszer rossz (hiszen következményei összhangban vannak a valóságos eseményekkel!), hanem csak az, hogy igazságai nem lehetnek statikusak, örökérvényűek. Természetesen lehet célunk olyan axiómarendszer megalkotása is, amelyben csak időtől független igazságokat vizsgálunk. Megfigyelésem szerint a matematikusok szemlélete erősen hajlik is erre. Az időben fix dolgok keresése persze nagyon hasznos lehet - csak nem szabad megfelejtkezni arról, hogy ez nem minden.

Kérdezed:
"Fogalmakra nem használják a független kifejezést. Nem értem ez mit jelent."
Eredendően azt, hogy különböző rendszerekben értelmezettek. A különböző rendszerekben értelmezett fogalmak közvetlenül nem kapcsolhatók össze. Azt lehet tenni, hogy megalkotunk egy olyan ("magasabb") rendszert, amelynek vannak olyan alrendszerei, amelyek eléggé hasonlítanak az egyébként független fogalmakra és a magasabb rendszerben megszabhatjuk azok egymáshoz való (transzformációs) viszonyát. Ekkor adhatunk valami konkrét értelmet a függésnek is és a függetlenségnek is.

Írod:
"A létező, nem létező dolgokat elbagatelizálod."
Szó sincs róla. Éppen az idézőjeles kijelentés az elbagatelizálás.

Kérdezed:
"Most akkor van olyan értelmes állítás, amit lehet, vagy nem lehet ellenpéldával cáfolni?"
Éppen azért kell olyan fajta kitételeket tenni, hogy "az x állítás ellenpéldával megcáfolható lenne", mert ez NEM általános igazság. Nem létező dolgok (avagy az üres halmaz) tulajdonságaira vonatkozó állítások sem cáfolhatók ellenpéldával.

Újabb üzenetedre válaszolva. Írod:
"2. Nem értem, a kiegészítéssel együtt sem."
Ha valamire példát adhattunk, akkor az létezik. Ha létezik, akkor a létezésének lehetségesnek is kell lennie, ugyanis lehetetlen, hogy valami ne létezhessen, ha egyszer létezik.

Kérdezed:
"5.2 Nem értem. Ez miért más mint 5.1?"
Önmagában a hol létezés behatárolása (5.1) még nem elég, ugyanis a behatárolt tartományban "túl sok" dolog lehet.

Kérdezed:
"6. Megint a létező dolgok. Mik azok? A kontinuum hipotézis létező dolgokra vonatkozik?"
Ha tetszik, gondolj az üres halmazra, mint a nem létező dolgok reprezentánsára.

Írod:
"Az nem mindig nehezíti a dolgot, ha végtelen sok elem közül kell választani. Pl. "A minden szám páros" állítást könnyű ellenpéldával cáfolni, pedig végtelen sok páratlan van."
Ez igaz. Ez mutatja, hogy nem minden "végtelennel" van baj, vagyis a 8:-as pontnál lehettem volna enyhébb is, megengedve bizonyos fajtájú végteleneket. (A végtelenek között meghúzni a határt viszont egyáltalán nem könnyű.)

Írod:
"Ha tehát valami független, akkor elvileg sem tudunk ellenpéldát adni, nem csak azért, mert ügyetlenek vagyunk."
A függetlenség alapesete a nem-létezés, másik tipikus esete a máshol-létezés.

Írod:
"Ilyenkor feltehetnénk, hogy végtelen sok időnk van, végtelenül ügyesek gyorsak vagyunk, akkor sem tudnánk ellenpéldát adni."
Ez a feltevés bajos (a valóságnak is ellentmond).

Írod:
"Úgy érzem, Te azt várnád, hogy hogyan lehet konkrétan megadni az ellenpéldát."
Szó ami szó, afelé szeretném eltolni a hangsúlyokat.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 23:17:33   (322)
DcsabaS_!

Kösz a számozást! Így egyszerűbb lesz:
1. OK
2. Nem értem, a kiegészítéssel együtt sem.
3-5.1 OK
5.2 Nem értem. Ez miért más mint 5.1?
6. Megint a létező dolgok. Mik azok? A kontinuum hipotézis létező dolgokra vonatkozik?
7-8 ?????????
Az nem mindig nehezíti a dolgot, ha végtelen sok elem közül kell választani. Pl. "A minden szám páros" állítást könnyű ellenpéldával cáfolni, pedig végtelen sok páratlan van.

De nem ez a baj, hanem az, hogy itt elvi lehetőségekről van szó. Ha tehát valami független, akkor elvileg sem tudunk ellenpéldát adni, nem csak azért, mert ügyetlenek vagyunk. Ilyenkor feltehetnénk, hogy végtelen sok időnk van, végtelenül ügyesek gyorsak vagyunk, akkor sem tudnánk ellenpéldát adni.
Úgy érzem, Te azt várnád, hogy hogyan lehet konkrétan megadni az ellenpéldát.

Ja, eszembe jutott egy szép egzisztenciatétel, amire nem tudunk konkrét példát.

Van olyan A valós szám, hogy [A^(3n)] vagyis A a 3n-ediken egészrésze minden n természetes számra prím. Erről tudtok valamit?


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 22:47:14   (321)
Példa felmutatásával bizonyíthatjuk
1: egy dolog létezését és
2: a létezése lehetségességét,
ugyanis képtelenség lehetetlennek tekinteni azt, ami létezik. Ám fordítva nem következtethetünk, hiszen:
3: a létezés lehetségességéből nem következik a létezés,
4: a létezésből pedig nem következik automatikusan a példaadhatóság, hiszen ahhoz azt is tudni kell, hogy
5.1: hol létezik az a létező dolog, továbbá
5.2: ki is kell tudni választani az esetleges más létezők közül.
(Ez utóbbi akkor kétes, ha úgymond "végtelenül sok" elem közül kell a kiválasztást elvégezni.)
5.3: További korlátozások szükségessége sem zárhatók ki.
Előfordulhat tehát, hogy egy dolog létezik, ezt bizonyítani is lehet (egzisztencia bizonyítással), de példát felmutatni mégsem.

Az előbbiek szerint az "x állítás egy ellenpéldával megcáfolható lenne" kitételnek a következőket is tartalmaznia kell:
6: az állítás létező dologra vonatkozik,
7: lehetséges ellenpéldák helye tudható és
8: véges számú elem közül kell a kiválasztást elvégezni.

Most vegyük Ebey állításait:
A: az x állítás egy ellenpéldával megcáfolható lenne.
B: az x állítás eldönthetetlen.
C: az x állítás igaz.

Ekkor, habár "az x állítás egy ellenpéldával megcáfolható lenne",
ellenpélda mégsem adható (hiszen akkor az x állítás eldönthető lenne),
vagyis az x állítás ellenpéldával megcáfolhatatlan.
Ebből legfeljebb akkor következik, hogy "az x állítás igaz", ha az "A:" állítással kapcsolatos 6, 7 és 8 feltételek is teljesülnek. Ez viszont kizárja, hogy az A-B-C gondolatmenetet alkalmazzuk pl. a kontinuum-hipotézis esetére.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 22:00:48   (320)
Kedves Ebey!

Szerintem nem ezt mondja a Fermat könyv.
(A és B) ==> C nem igaz. Én azt nem értem, hogy miért nem. Valószínűleg azért, mert B és C nem zárják ki egymást. Ha jól emlékszem, a Fermat könyv olyan finoman fogalmaz, hogy ha a Fermat sejtés független lenne, akkor nem lehet hamis. De nem vonja le azt a következtetést, hogy akkor igaz.
Úgy tűnik, hogy ebben az esetben a harmadik lehetőség kizárásának elve nem működik. Lehet, hogy ugyanazt mondjuk, és eljátszuk a vak vezet világtalan effektust? (Bocs)
Ja, a Matematika élményében érdekes volt az a konstruktivista gondolatmenet is, ami a se nem 0 se nem pozitív, se nem negatív szám létezését igyekezet bizonyítani. A PI tizedesjegyeivel kavart. Ott is a harmadik kizárásának elvével volt baj.

Hát, ez nem volt túl értelmes hozzászólás, de most ennyire futotta.

Tudjuk ám, hogy olvasgatják e topicot matematikához elég jól értők is. Nem lépnétek elő a hallgatásból? Most eléggé meg vagyunk torpanva.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 16:57:57   (319)
Kedves GPF!

A szerző Paul Hoffman(n?)

Nagy alakú, piros színű könyv. Talán így könnyebben ráakadsz. :-))

Egyébként a kontinuum-hipotézises kérdéseddel (t.i. hogy az is cáfolható lenne ellenpéldával) megfogtál. Bár én logikailag különbözőnek érzem egy számpár ellenpélda megadását és egy Minek-nevezzük számosságú halmaz mint ellenpélda megadását (itt esetleg nem lehet, hogy szükség volna a Kiválasztási axiómára, ami szintén eldönthetetlen), de ezt az érvet magam sem érzem elég erősnek.
De
A: az x állítás egy ellenpéldával megcáfolható lenne.
B: az x állítás eldönthetetlen.
C: az x állítás igaz.
Elfogadjuk, hogy (A és B) ==> C (lásd Fermat könyv)
Tudjuk, hogy x helyére a "Goldbach-sejtés"-t írva A igaz, feltesszük, hogy B is igaz, következésképpen C is igaz. Van itt hiba? Van itt másik axiómarendszer? Szerintem ez egy teljesen jó bizonyítás. És az indirekt bizonyítás matematikai logikai eszközökkel bizonyított helyessége folytán, mivekl ellentmondásra jutottunk ( B és C kizárják egymást), tehát B nem lehet igaz.
Én sem értem, de ez van.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 15:54:12   (318)
Na, kösz.
Akkor gondolom magyar. Majd megnézem még itt ott.

hurvinek_2 válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 15:45:46   (317)
GPF!

Szerzot, kiadot most nem tudok irni, de en kb harom hete vettem meg a Mamut aruhaz -1. emeleten

Udv,
H


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 11:41:55   (316)
Nem találom a Prim Embert. Mondjatok már valami többet róla!

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-09-01 10:01:12   (315)
Kedves DcsabaS_!

Ha ilyen hosszan írsz, légyszi számozd meg folytonosan a bekezdéseket, vagy az állításokat, könnyebb rá hivatkozni!

Az első gondolatsorhoz:
Jogos, hogy nagyon nehéz eldönteni, hogy valami be van-e bizonyítva. Igazából ez azt jelentené, hogy csupán formulák átalakítását lenne szabad végezni, minden magyarázat, szemléltetés nélkül. Tényleg nem így szoktak dolgozni a matematikusok.
Azért mégis elég kevés a hosszú ideig fennálló téves bizonyítás.
Az azért mégsem igaz, hogy az új axiomarendszerben levezetett tétel egy másikat cáfolna, hisz ahogy Te is írod, nem azonos dolgokra vonatkoznak. Tehát a tévességet én nem fogadom el.

Ha egy állításig és a tagadásáig is el lehet jutni, akkor az axiomarendszer ellentmondásos volt, s bebizonyosodott, hogy alkalmatlan, ki kell dobni, vagy módosítani kell. Ha egyikig sem lehet eljutni, akkor csak az bizonyosodott be, hogy nem teljes, nem képes minden problémát megoldani, ettől még el lehet fogadni. (Mint ahogy az összes valamire való axiomarendszerünk ilyen.)

Fogalmakra nem használják a független kifejezést. Nem értem ez mit jelent. Hogy pl. a geometria nem foglalkozik a színnel? Vagy mit? Számomra ez még filozófiai értelemben sem probléma, míg az állítások függetlensége nagyon is az.

A tévedés és a függetlenség viszonyáról írottakat nem értem.

A létező, nem létező dolgokat elbagatelizálod. Az előbbi megjegyzésed ezek után nem sokat mond. Most akkor van olyan értelmes állítás, amit lehet, vagy nem lehet ellenpéldával cáfolni?

A függetlenség, meg az ellentmondásmentesség sem ugyanaz. Tényleg nincs a halmazelméletről bizonyítva, hogy ellentmondásmentes. (Azt hiszem, ezt nem is lehet megtenni) De a kont.hip. mégis független.

Kicsit más:

Sokat beszéltünk már a függetlenségről, mint Gödel egyik legfontosabb eredményéről, de ha jól rémlik, még van pár hasonlóan nagy horderejű tétele.

Az ellentmondásmentességről mit is mondott? Mondta, hogy nem lehet a rendszeren belül bizonyítani? Azt hiszem, hogy igen.

Meg azt is mondta, hogy egy "valamire való" axiomarendszerre mindig lehet adni olyan modelleket, amik nem megfeleltethetők egymásnak. Pl. különböző számosságuak.

Így Gödel munkái nyomán kijelenthetjük, hogy a matematika olyan dolgokkal foglalkozik, amikről tudjuk, hogy:

Bármikor ellentmondás bukkanhat fel. Bármikor olyan kérdésre bukkanhatunk, amit nem tudunk eldönteni. Szinte bármit próbálunk meg jellemezni, az nem fog sikerülni, egy csomó tőle nagyon különböző dolog is bele fog férni a leírásba.
Szép az élet.

Talán ezek miatt is elég népszerű a konstruktivizmus, ahol ezek nem nagyon lépnek fel.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 19:20:20   (314)
Kedves GPF!

A "GPS" elírásért bocs!

Írod:
"Én csak azt állítottam, hogy Gödel tételéből nem következik az, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető."
1.) Nem tudhatjuk biztosan, hogy egy bebizonyítottnak vélt állítás valóban be van-e bizonyítva (a tévedés lehetséges).
2.) De ha egy rendszeren belüli állítás a rendszeren belüli eszközökkel tényleg be is van bizonyítva, ebből akkor sem következik, hogy a bebizonyított állítás a rendszeren kívül akár egyetlenegy dolgora is igaz, vagy hogy vonatkoztatható egyáltalán.
3.) Az viszont előfordulhat, hogy valamiért egy új (módosított, kiegészített) rendszert leszünk kénytelenek használni, amelyet jobb alappal vonatkoztathatunk a nekünk fontos dolgokra, mint a korábbit. Ezen új rendszerben nemcsak hogy megkérdőjelezhető lehet a korábbi rendszerben bebizonyítotthoz hasonló állítás, de egyenesen téves is lehet.
4.) Természetesen a különböző rendszerekben értelmezett fogalmak nem azonosíthatók egymással (legfeljebb csak hozzárendelések lehetségesek). Vagyis pl. az egész számok rendszerében értelmezett 5-ös szám nem lehet azonos a racionális számok rendszerében értelmezett 5/1, 10/2, 15/3, ... számokkal, illetve pl. a 2-dimenziós sík egyenesei sem esnek azonos fogalmi kategóriába a 3-dimenziós tér azon síkjának az egyeneseivel, amely sík pedig "párhuzamos az előbbi 2-dimenziós síkkal és nulla távolságra van tőle". (Egyáltalán, már ahhoz is, hogy beszélhessünk az előbbi síkok távolságáról, a sík új fogalmát kell megalkotnunk és használnunk!) Hasonlóság, analógia és megfeleltetés lehetséges a régi és az új sík-fogalom között, de azonosság nem. (A határértékkel kapcsolatos vitában is azt próbáltam megvilágítani, hogy a határérték elvileg más mint egy szám.)
5.) Az előbbiek miatt vagy elfogadjuk, hogy a különböző axiómarendszerek fogalmai és belső igazságai a többi rendszerre nem vihetők át, vagy pedig előfordulhat, hogy egy korábban (a szűkebb rendszerben) bebizonyított (tehát nemcsak bebizonyítottnak hitt, hanem tényleg bebizonyított) igazság a bővebb rendszerben majd tévesnek, vagy kétesnek bizonyul. Lehet választani. (Remélhetőleg kiderült már, hogy én az első verzió híve vagyok.)

Írod:
"Az eldönthetetlenség viszont matematikailag definiált fogalom. Azt jelenti, hogy egy adott axiomarendszerben (ami formulák csoportja) a logikai következtetés szabályaival nem lehet eljutni egy állítás formulájáig, sem ezen állítás tagadásának formulájáig."
Előfordulhat, hogy mindkettőig el lehet jutni. Az sem eldönthetőbb.

Írod:
"... És ilyen eldönthetetlenségekre vannak bizonyított példák. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az adott állítás független az axiomáktól."
Mint fentebb írtam, nemcsak állítások, de fogalmak is lehetnek az általad leírt értelemben függetlenek axiómá(k)tól és axiómarendszerektől.

Írod:
"A függetlenség tehát nem olyan kérdés, ami a tévedéssel rokon."
Attól függ. Ha a függetlenséget komolyan vesszük, vagyis ha a különböző fogalmi szintek látszólag ugyanolyan dolgait nem keverjük egymás között, akkor tényleg nem rokon a tévedéssel. Ha viszont a különböző fogalmi szintek (rendszerek) fogalmait egymással helyettesíthetőnek véljük, már nem ilyen rózsás a helyzet.

Írod:
"Nem értem, mi az, hogy nem létező dolgok tulajdonságai. A kör létezik? Szakasz létezik? sqr(2) létezik? i létezik? Mondjál két olyan dolgot a matematikában, ami létezik, meg ami nem!"
Vedd pl. ezt: "Az egységsugarú kör, és az őt 3 helyen átmetsző egységnyi hosszúságú szakasz metszéspontjai által meghatározott háromszög területe mindig egységnyi."
(Ez ugyan egy baromság, de aligha fogsz tudni példát hozni olyan "egységsugarú kör és őt 3 helyen átmetsző egységnyi hosszúságú szakasz végpontjai által meghatározott háromszög"-re, amelynek a területe nem egységnyi. Ez az állítás tehát ellenpéldával nem cáfolható. Mindössze azt lehet bizonyítani vele kapcsolatban, hogy nem létezhet az az objektum, amire az állítás vonatkoztatva van.)

Írod:
"A kontinuumhipotézisről be van bizonyítva, hogy független. Tehát annyiban mondhatjuk, hogy MI látjuk függetlennek a dolgokat, amennyiben a matematika a MI alkotásunk."
Viszont nincs bebizonyítva, hogy a bizonyításhoz alapul vett rendszerünk ellentmondásmentes.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 16:57:43   (313)
Kedves DcsabaS_!

Nem GPS, hanem GPF, de nem baj.

Utolsó két hozzászólásoddal vitatkoznom kell.
Először az utolsó. Én csak azt állítottam, hogy Gödel tételéből nem következik az, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető. A tévedést persze nem lehet kizárni. De azért azok viszonylag hamar kiderülnek.

Az eldönthetetlenség viszont matematikailag definiált fogalom. Azt jelenti, hogy egy adott axiomarendszerben (ami formulák csoportja) a logikai következtetés szabályaival nem lehet eljutni egy állítás formulájáig, sem ezen állítás tagadásának formulájáig. És ilyen eldönthetetlenségekre vannak bizonyított példák. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az adott állítás független az axiomáktól. A leghíresebb ilyen az euklideszi 5. posztulátum. Meg a kontinuumhipotézis. Általában az axiomákról megkövetelik, hogy függetlenek legyenek.
A függetlenség tehát nem olyan kérdés, ami a tévedéssel rokon. Meg nem is a kiszámíthatósággal, véges idővel. Az egy más téma, inkább az algoritmuselmélethez tartozik.

Nem értem, mi az, hogy nem létező dolgok tulajdonságai. A kör létezik? Szakasz létezik? sqr(2) létezik? i létezik? Mondjál két olyan dolgot a matematikában, ami létezik, meg ami nem!

Az utolsó idézetedre a válasz már egy kicsit jön az előzőekből. A kontinuumhipotézisről be van bizonyítva, hogy független. Tehát annyiban mondhatjuk, hogy MI látjuk függetlennek a dolgokat, amennyiben a matematika a MI alkotásunk. De e nélkül lenne értelme kontinuumhipotézisről beszélni?

Üdv, GPF


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 15:31:56   (312)
Kedves GPF!

Írod:
"... Ebből nem következik, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető."
Itt most nyilvánvalóan kizártad a tévedés lehetőségét. Csakhogy a matematika tudománya sem az abszolút igazságokból épül fel, hanem csak az emberek által igaznak (illetve bebizonyítottnak) vélt dolgokból. (Ha volna is abszolút igazság közöttük, nem tudhatjuk biztosan.)


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 15:18:07   (311)
Kedves Ebey és GPS!

Honnan a csudából veszitek, hogy ha egy állítás "eldönthetetlen volna, akkor igaz volna" (Ebey)?!?
Az eldönthetelenségből csupán az következik, hogy sem meggyőző példát, sem meggyőző ellenpéldát nem lehet adni az adott gondolatrendszerben (vagyis az "eldönthetetlenségből" következik a "példaadhatatlanság"). De még ezt sem tudjuk véges időkben és eszünkkel egyértelműen megkülönböztetni attól az esettől, amikor csak mi nem tudjuk dűlőre vinni a kérdést, amely pedig esetleg igenis eldönthető valamilyen irányban. Ezért amikor a gondolatrendszer megfelelő kiegészítésével eldöntjük az "eldönthetetlent" egy nekünk tetsző irányban, akkor tévedhetünk (szemben ezzel az Ebey-féle tétellel: "A matematika ugyanis éppen attól más, mint a többi tudomány, hogy minden tétele örök érvényű, a tudomány haladása nem változtathatja meg azt".)

GPS kérdezi:
"Van olyan állítás, ami nem cáfolható ellenpéldával?"
A NEM létező dolgok tulajdonságaira vonatkozó állítások éppen ilyenek. (Ezért ha az "Ebey-féle" értelmben vett igazságokat akarunk megfogalmazni, ahhoz elegendő csupán nem létező dolgokról beszélni.)

GPS kérdezi:
"De a kontinuumhipotézist is lehetne cáfolni, ha találnánk egy megszámlálhatónál nagyobb, de kontinuumnál kisebb halmazt. (Pl valós számhalmazt.) Most akkor itt mit jelent a függetlenség?"
A függetlenség mindenesetre nem keverendő össze azzal, hogy _mi_ függetlennek látunk két dolgot. A kontinuumhipotézis hipotézisként kezelendő.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 13:40:57   (310)
Hacsek!

Pontosítsunk egy kicsit!
Gödel nem azt mondja, hogy csaknem bármely állítás igazsága eldönthetetlen. Hanem azt, hogy minden "valmire való" axiomarendszerben felvethető olyan állítás, amely abban az axiomarendszerben nem eldönthető. (A valamire való kifejezésnek nála pontos értelme van, a matematikában általában használtak olyanok. Pl. a valós, vagy a természetes számoké is.)
Ebből nem következik, hogy egy bebizonyított állítás utólag megkérdőjelezhető. Ebből "csak" az következik, hogy amíg nem sikerül egy állítást bizonyítani, vagy cáfolni, addig előfordulhat, hogy lehetetlen is.

Nem értem, mi a Gödel UTÁN, meg KÖZBEN. Állításai igazak, elfogadottak.

Gallilei is visszavonta tanait, és mégis mozog a Föld.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 13:20:06   (309)
Kedves Ebey,

Gödel megítélése szerintem szubjektív (is lehet). Az az ember, aki élete legfőbb eredményeként bebizonyítja, hogy csaknem bármely állítás igazsága eldönthetetlen, nem csoda, hogy becsavarodik.
Ha kicsit távolabbról nézzük, Gödel bizonytalansági meglátásai a saját tételeire, valamint azok bármely cáfolatára is igazak.
Gödel tehát élete végefelé nem volt ugyan egészen komplett, de (vagy épp ezért) belátta, hogy sem a bizonyosság, sem a bizonytalanság nem bizonyos.

Ez, amit írsz:
"A matematika ugyanis éppen attól más, mint a többi tudomány, hogy minden tétele örök érvényű, a tudomány haladása nem változtathatja meg azt."
Gödel ELŐTT igaz volt, Gödel UTÁN is igaz, csak éppen Gödel "KÖZBEN" nem volt igaz.
(annyival azért még kiegészíteném a te mondatodat, hogy "a matematika minden BIZONYÍTOTTAN HELYTÁLLÓ tétele örök érvényű", bár valószínűleg még ez sem elég pontos)


hurvinek_2 válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 12:21:49   (308)
Kedves GPF,

"A Prim Ember" cimu konyv is sztorizos (ezt persze nem pejorativ ertelemben mondom, nagyon jo tortenetek vannak benne), bizonyitasokat nem tartalmaz, csak utalasokat hires tetelekre. Az altalad emlitett "Az agyan nyitva all"-t nem olvastam, de a Prim embert batran ajanlom.
A konyvbol az altalad megfogalmazott kerdesekre valaszt fogsz kapni. Az is kiderul, hogy EP nagysaga tobbek kozott az "egyut-gondolkodas" modszerenek alkalmazasaban mutatkozott meg (amirol pl Fermat nem volt tul hires :).

Gondolom ezen a forumon is felvetett volna egy-ket jo problemat, ha hasznalt volna szamitogepet :)

Udv,
H


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 11:30:14   (307)
Tisztelt Társak!

A szavazáshoz:
Persze Ebey-nek van igaza, de a vitában Laloval értek egyet. De DCsabaS_ sem mond vad dolgokat. Árnyalatokon vitatkozunk, nem matematikai fogalmakon, állításokon.

Ebey:
Az eldönthetetlenségről. Azt hiszem, ez nem egész pontos, amit írsz. Az, hogy valami eldönthetetlen egy adott axionarendszerben igaz. Tehát a Goldbach sejtés eldönthetetlensége nem hiszem, hogy kihat az eldönthetetlenség eldönthetőségére. Az egy más axiomarendszerben megfogalmazott állítás. Tényleg, a logika is axiomarendszeren alapul?
Van olyan állítás, ami nem cáfolható ellenpéldával?
Pl. a kontinuumhipotézis eldönthetetlen, független. (Ezt ugye félig Gödeltől, félig Cohentől tudjuk) De a kontinuumhipotézist is lehetne cáfolni, ha találnánk egy megszámlálhatónál nagyobb, de kontinuumnál kisebb halmazt. (Pl valós számhalmazt.) Most akkor itt mit jelent a függetlenség? Nem értem.

Hú, A prím ember-ről még nem is hallottam. Mi ez? Honnan van? Magyarul megjelent? Kérek infót még.
Én nemrég "Az agyam nyitva áll"-t olvastam, de az nem ment ilyen mélységekbe, inkább sztorizós.

Ti mit gondoltok Erdősről? Nagy matematikus volt? Vannak olyan eredményei, amik megrengették a matematika világát?


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 04:25:53   (306)
Kedves Hacsek,

a Fermat-könyv mellett párhuzamosan (stílusosan mondva :-))) még egy hallatlanul érdekes könyvet olvasok, Erdős Pálról . A címe: A prím ember. Abban azt írják, hogy Gödel - aki egyébként Erdőssel is dolgozott együtt, sőt Erdős egy bizonyos korszakában nagy hatással volt Gödelre: eltérítette az elméleti fizika felé - egy nagyon labilis, skizofréniára hajlamos, önbizalomhiánnyal küszködő ember volt, aki életét úgy fejezte be, hogy halálra éheztette magát, mert csak a feleségétől volt hajlandó ételt elfogadni, a szegény asszony viszont kórházba került hosszú időre. Szóval Gödel élete végén kételkedni kezdett saját tételeiben is, mint ahogy gyakorlatilag mindenben ezen a világon. Viszont szó sincs róla, hogy megcáfolta volna tételei igazságát! Ahogy senki más sem tette ezt és nem is fogja. A matematika ugyanis éppen attól más, mint a többi tudomány, hogy minden tétele örök érvényű, a tudomány haladása nem változtathatja meg azt. (Ezt is az Erdős, meg a Fermat könyvből olvastam, ajánlom figyelmedbe!)


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 04:17:09   (305)
Kedves GPF,

a múltkor vitatkoztam veled a Fermat-tétel bizonyíthatósága kapcsán. Azóta én is nekikezdtem a Fermat-tétel könyvnek (nagyon tetszik!), és már értem, mi is a Te problémád az ott írtakkal.

Mondjuk, vegyük a Goldbach-sejtést, mert a Fermat-tétel már bizonyítva van.
Ha a Goldbach-sejtés eldönthetetlen volna, akkor igaz volna, hiszen cáfolni lehetne egy ellenpélda segítségével. Ez szerintem azt jelenti, hogy ha a Goldbach-sejtés eldönthetetlen, akkor az a kérdés is eldönthetetlen kell legyen, hogy a Goldbach-sejtés eldönthetetlen-e. Az eldönthetetlenségből ugyanis következne, hogy igaz, tehát a sejtés eldönthetetlenségének bizonyítása bizonyítaná a sejtés igazságát, következésképpen a sejtést magát is bizonyítaná.
Általánosan: az ellenpéldákkal cáfolható sejtések amennyiben eldönthetetlenek, úgy eldönthetetlenségüket nem lehet bebizonyítani. Hiszen az az előbb vázolt ellentmondásra vezetne.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-31 04:05:07   (304)
Szerintem c,

ugyanis véleményem szerint az "1,41421356" karaktersorozat nem matematikai szimbólum. Én inkább slendrián írásmódnak nevezném, bár akkor szerintem az egzaktul gyök(2)-ként felírható pozitív valós szám slendrián jelölése volna és semmiképpen sem egy bármilyen sorozaté. Én legalábbis még semmilyen (írott vagy szóbeli) megnyilatkozásban sem tapasztaltam, hogy bárki ezzel a karaktersorozattal egy számsorozatot jelölt volna. Én úgy vélem, kedves DcsabaS_, hogy óva intesz minket valamitől, amit soha el nem követnénk.
Emlékeim szerint egy valós számokból álló sorozat határértéke definíció szerint egy valós szám, mint ahogy más matematikai struktúrákon értelmezett sorozatok határértéke is (amennyiben definiált és amennyiben létezik) az adott struktúra ugyanolyan eleme, mint a sorozat elemei. Az, hogy
A sorozatból levezethető a határértéke, de a határértékből nem vezethető le a sorozat. (DcsabaS_) azt hiszem ugyanolyan természetes volt mindannyiunk számára, akik ide írogatunk, mint az, hogy két számból egyértelműen levezethető azok összege, de az összegből nem vezethető le egyértelműen a két szám. Szerintem ilyenekre nem kellene felhívnunk egymás figyelmét, mert ilyen megjegyzések miatt veszítjük el az érdemi vita fonalát.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 21:49:58   (303)
FIGYELEM, FIGYELEM!
KÖZVÉLEMÉNYKUTATÁS!

Kérem a topicot olvasókat, hogy szavazzanak a következő lehetőségek mellett:

a) A "1.41421356..." 13 jelből álló kifejezés az [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozat rövid jelölése, tehát egy sorozatról van szó.

b) A "1.41421356..." 13 jelből álló kifejezés a lim[1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozat rövid jelölése, tehát egy konkrét valós számról van szó.

c) Egyik sem.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 21:49:07   (302)
Kedves DcsabaS_!

Rendkívül nehéz vitatkozni veled, mert megjegyzéseid iránya, nyilvánvaló jóindulatod, az általános nézőpontod és beállítottságod nagyon rokonszenves és az elvekben egyet is értek veled. Valóban sok fogalomkeveredés van a matematikával, különösen a határértékszámítással kapcsolatban, valóban finoman kell megkülönböztetni bizonyos eseteket és valóban külön (szép) elmélete van a közelítő számításoknak.

DE.

A konkrét esetben te használsz a szokásostól eltérő fogalmakat, és ezek alapján nem létező problémák hibás kezelésében marasztalsz el másokat.

A kulcsprobléma (amiből a többi egyet nem értésünk is fakad) a

"1.41421356..."

13 jelből álló kifejezés értelmezése. Ezt te határozottan az [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozatnak tekinted, ezt tételezed fel másokról is, és ennek alapján súlyos kritikával illeted őket.

Végezzél el egy gondolatkísérletet. Tekintsed egy kis időre a "1.41421356..." 13 jelből álló kifejezést a [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint] sorozat határértékének. Fennállnak azok a problémák, amelyekről beszéltél? (egyenlőségjel két oldalán különböző típusú krfejezések, stb.) Remélem, hogy a válaszod egyérteműen nem lesz. Én minden további nélkül elismerem, hogy ha az említett kifejezést sorozatnak tekintjük, akkor teljes mértékben igazad van.

Tehát az alapprobléma az, minek tekintjük, ill. minek tekintik mások az említett kifejezést.

Ui.: A hetes busz semmiképpen sem mennyiség, ott a hetes szám csak megkülönböztető karakterként funkcionál, ahogy láthatunk itthon és külföldön is betűkkel jelölt járatokat, ill. ahogy az utcákat akár nevekkel, akár névként funkcionáló számokkal is jelölhetik.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 19:36:38   (301)
Kedves Lalo!

Kérdezed:
"Ezek szerint a hetes busz mennyiség? Hozzárendelték a járathoz a hetes számot és abban reménykednek, hogy információt nyerhetnek a csúcsforgalom méreteiről."
Igen, a hetes busz is mennyiség. Az is igaz, hogy hozzárendelték a hetes számot, bár azt már nem venném biztosra, hogy a csúcsforgalom méreteiről való információnyerés végett. A tájékozódás általános segítésén kívül feltehetően a rendszerbeállítás idejével (sorrendjével) függ össze a hetes szám. Ha ez igaz, akkor a busz-sorszámok között műveletek (pl. kivonás) segítségével megállapítható, hogy mely viszonylatok születtek meg korábban, vagy később.

Írod:
"Aztán egyszerűbb eset gyanánt a legnehezebbet, a kivételt csempészted be a nullával való osztásban."
Szó sincs róla. A kivétel azért jelentkezik egyes számításokban, mert nem azon az elvi alapon számolnak, amin kellene.

Írod:
"Ekkor nyugadtan felírhatom a következő egyenlőségeket: ..."
Továbbá:
"Ha az a lim jel ott van, akkor igenis be van fejezve a sorozat határértékének kiszámítása, van határérték, véges stb."
Meleg. Ezek után azt állítom, hogy a lim(...) típusú kifejezéssel jelzett befejezett dolgok nem teljes értékű kifejezői a határérték fogalmának, mert annak lényege a minden véges határon túl folytatható közelítés, és nem a közelítés befejezettsége. Ez utóbbi csak egy plusz feltevés, amely szemléletünk kényelmét szolgálhatja, de ugyanakkor esetenként különleges eljárásra (kivételek megszabására) kényszerít bennünket - ha el akarunk kerülni bizonyos ellentmondásokat.

Írod:
"Valószínűleg itt van az eltérés a nézőpontjaink között. Te a "1.41421356..." jelsorozatot sorozatnak tekinted, nem pedig a sorozat határértékének."
Újra meleg (:-))). A sorozatból levezethető a határértéke, de a határértékből nem vezethető le a sorozat. Vannak esetek (a fizikailag érdekes esetek szinte mind ilyenek!), amikor magához a sorozathoz kell visszanyúlnunk egy számításhoz és nem egyes részproblémák határértékeihez.

Javaslod:
"De javaslom, csinálj egy kis közvéleménykutatást: hányan tekintik sorozatnak a fenti jelsorozatot, s hányan egy konkrét számnak?"
Szükségtelen újabb közvéleménykutatást tartanom (már réges rég megtettem), ahhoz hogy tudjam: a matematikát tanult emberek döntő része úgy hiszi, a végtelen az egy konkrét szám, a határértékszámítás lényege pedig az, hogy a végtelen mellett elhanyagoljuk a végest, a véges mellett meg a végtelenül kicsinyt.

Írod:
"... mindenki úgy definiálja az általa használt jeleket és rövidítéseket, ahogy akarja. De viszont nem kérheted számon másokon a te, különbejáratú jelöléseidet."
Kedves Lalo! Eszembe sem jut az én elnevezéseimet és rövidítéseimet számonkérni másoktól! Csak azzal nem tudok azonosulni, ha fogalmilag különböző és nem azonos értékű dolgok kerülnek ugyanazon név alá. Sajnos, a határértékszámítás sem mentes ezektől a problémáktól. Általában úgy állítják be a dolgokat, mintha határértékként mindig kiszámolhatóak lennének a számok, továbbá hogy e kiszámolható számokkal kielégítően lehetne dolgozni, miközben pedig az az igazság, hogy nem mindig. Bizonyos mennyiségeket számokkal csak közelíthetünk, és az érdekesebb esetekben az sem elegendő, ha egyes részproblémáknak kiszámoljuk a véletlenül éppen kiszámolható határértékét. Ugyanis arra lehet szükség, hogy a teljes összefüggésre vonatkozóan végezzük el a határértékkel kapcsolatos közelítő számítást. (Egyáltalán, téves az a felfogás, amely a közelítő számításokat valami szükségképpen kevésbé igaz csúnyaságnak tartja.)

Írod:
"Én nem érzem magam bűnösnek e vádpontokban. Légy szíves konkrétan idézzed be, mikor követtem el ezen vétkeket?"
Én nem vádoltalak Téged (esetleg úgy érezted?). Szerintem Te azok közé tartozol, akik többnyire jól teszik amit tesznek, csak éppen másra hivatkozva, mint amire kellene. Ennek okát pedig abban a "sikerpropagandában" látom, ahogyan a matematikát máig oktatják az iskolákban. (Ebbe talán belejátszik a matematikával foglalkozó emberek hajlama is a dolgok kissé merev, statikus szemléletére.)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 15:35:46   (300)
Kedves DcsabaS_!

Definíciód elég dodonai:
"A mennyiségek olyan a dolgok, amelyekhez a számokat mint elvont fogalmakat rendelhetjük abban a reményben (azzal a céllal), hogy a számok közötti bizonyos műveletekkel képesek legyünk leírni a mennyiségek között meglévő (vagy kialakuló) bizonyos kapcsolatokat."

Ezek szerint a hetes busz mennyiség? Hozzárendelték a járathoz a hetes számot és abban reménykednek, hogy információt nyerhetnek a csúcsforgalom méreteiről.

Ami a következő pontot illeti, azt mondod, vegyünk egy egyszerűbb esetet. Aztán egyszerűbb eset gyanánt a legnehezebbet, a kivételt csempészted be a nullával való osztásban. De csináljuk végig amit .

Legyen két sorozat az:
[1, 1, 1, ...] és a [1-1/10, 1-1/100, 1-1/1000, ...]
Ekkor nyugadtan felírhatom a következő egyenlőségeket:

1 = lim [1, 1, 1, ...]

1 = lim [1-1/10, 1-1/100, 1-1/1000, ...]

1 = lim [1, 1, 1, ...] / lim [1-1/10, 1-1/100, 1-1/1000, ...]

A lényeg az, hogy a jobb oldalon már egy valós szám áll, amit egy sorozat határértékeként adtunk meg. Ha az a lim jel ott van, akkor igenis be van fejezve a sorozat határértékének kiszámítása, van határérték, véges stb.

Ugyanez a helyzet a "1.41421356..." jelsorozattal. Ez szerintem a lim [1, 1.4, 1.414, ... kifejtve a négyzetgyökvonás algoritmusa szerint].

Valószínűleg itt van az eltérés a nézőpontjaink között. Te a "1.41421356..." jelsorozatot sorozatnak tekinted, nem pedig a sorozat határértékének. De javaslom, csinálj egy kis közvéleménykutatást: hányan tekintik sorozatnak a fenti jelsorozatot, s hányan egy konkrét számnak? Ez persze nem perdöntő, ugyanis mindenki úgy definiálja az általa használt jeleket és rövidítéseket, ahogy akarja. De viszont nem kérheted számon másokon a te, különbejáratú jelöléseidet.

Ha a "1.41421356..." jelsorozat valóban sorozat lenne, teljesen igazad lenne. De nem az, hanem egy sorozat határértéke, legalábbis a közkeletű értelmezés szerint.

Írod:
"Engem csak az ábrándít ki, amikor az új fogalmi szintet azonosnak veszik a régivel, vagyis ha elmismásolják a benne lévő újdonságot. Amikor a régi mintájára állítják be az újat, ahelyett, hogy az újjal modelleznék a régit."

Én nem érzem magam bűnösnek e vádpontokban. Légy szíves konkrétan idézzed be, mikor követtem el ezen vétkeket?

U.i.: Többi megjegyzésemmel tehát már egyetértesz?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 15:10:14   (299)
Kedves DcsabaS_!

Nagyjából egyetértek az előbbiekkel. Tényleg új szinteket tudnak behozni a sorozatok, mint ahogy pl. a racionálsból el lehet jutni a valósokig a sorozatok segítségével.

De most még hova akarsz eljutni?

Egyébként a lentebb idézett könyvben állítások sorozatáról volt szó. Ezekkel vezette be a furcsa "számait". (ez kicsit most pongyola volt.)


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 15:01:30   (298)
Kedves GPF!

Írod:
"Nem azonosak a sorozatok és a számok. Ezt senki sem állítja, ill. leginkább Te, amikor ilyeneket írsz:
"Ezt termeszetesen azzal jar, hogy szamokon ettol kezdve legalabbis sorozatokat kell ertunk." "
Az idézett mondatom nem azt jelenti, hogy a számok és a sorozatok azonosak lennének, hanem azt, hogy sorozatokkal olyan mennyiségi viszonyokat is ki lehet fejezni, amelyek valódiak (noha számokkal leírhatatlanok), miközben bármit ki lehet velük fejezni, amire a számokkal képesek vagyunk. Ezért alapjául szolgálhatnak egy magasabb szintű számfogalomnak, amelyben a sorozatok közül van miket megfeleltetni a hagyományos értelemben vett számoknak, de ez a megfeleltetés még nem tesz egyenlőséget a különböző fogalmi szintek közé, mint ahogy az sem, hogy mindkettőt valamilyen "szám"nak nevezzük. A lényeg az, hogy ha valaki pl. a 21/2-t számnak nevezi, akkor bizonyos sorozatokat nevezett számnak. Vagyis ha nem is tudatosan, de már egy másik fogalmi szinten operál. Egy olyan fogalmi szinten, ahol a hagyományos értelemben vett számokhoz is sorozatokat célszerű rendelnünk.

Kérdezed:
"Ugye valós sorozatokról van szó?"
Nem feltétlenül. (Előtte egyébként is abban kellene megállapodnunk, hogy mi a valós "szám".)


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 14:10:25   (297)
Kedves Lalo!

Sajnos most nincs időm részletesebb válaszra, ezért csak a lényeg.

Kérdezed:
"Elmélkedsz a számokról és mennyiségekről. Te mit tekintesz számnak, ill. mit tekintesz mennyiségnek? Mi szerinted a különbség?"
A mennyiségek olyan a dolgok, amelyekhez a számokat mint elvont fogalmakat rendelhetjük abban a reményben (azzal a céllal), hogy a számok közötti bizonyos műveletekkel képesek legyünk leírni a mennyiségek között meglévő (vagy kialakuló) bizonyos kapcsolatokat.

A négyzetgyök 2 kapcsán írod ( [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], = [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik]):
"Azt mondtam, hogy mindkét oldalon sorozat által definiált (azaz a sorozatok határértéke) valós szám áll, amelyek egyenlőek. Tehát a jobb oldalon nem egy-egy racionális szám áll, hanem egy sorozat határértéke."
Igen ám, csakhogy a határérték képzési definíciója olyan, hogy abban (helyesen) nem szerepel a teljesíthetőség, a befejezhetőség, ezért ha alkalmazunk is rá egy jelölést, attól az még nem válik hagyományos értelemben befejezetté, ha tetszik kiszámolttá. A kiszámolhatóság nem ugyanaz, mint a kiszámoltság. De vegyünk egy egyszerűbb esetet, amikor az eredmény nemcsak kiszámolhatónak, de kiszámoltnak is tűnik:
[0, 0, 0, 0, ...], = [1/1, 1/2, 1/3, 1/4 ... a tizedesjegyek kifejtése az osztó algoritmus szerint történik]
Itt legalább 3 különböző dologról van szó. Szó van egyszer a hagyományos értelemben vett 0-ról, szó van egy konvergáló sorozatról, és szó van a sorozat határértékéről, amihez a sorozat minden véges határon túl közeledik (történetesen ez utóbbi is 0). E sorozatnak nemcsak hogy van határértéke, de még abban is szerencsénk van, hogy e határérték történetesen véges számmal leírható. Mindez mégsem elég ahhoz, hogy számításainkban a két 0 (a 0 mint szám, és a 0 mint határérték) elegendő legyen. Tekintsük pl. az y = sin(x)/x függvényt! Ennek 0-ban vett határértékét sem állapíthatjuk meg olyan módon, hogy előbb külön-külön vesszük a számláló és a nevező 0-ban vett határértékét (mindkettő 0), majd azokat elosztjuk egymással, hanem csakis úgy, hogy az egész kifejezésre alkalmazzuk a határérték képzési módszert! Vagyis a határérték képzési módszere a lényeg, az esetlegesen megállapítható szám nem feltétlenül szolgál további értelmes számolások alapjául. Amíg a határérték képzési módszere képes a felszínre hozni olyan információkat, amelyekre adott esetben szükségünk lehet, a határértékként esetleg megállapítható számban nincsenek benne. Vagyis a határérték fogalma nem redukálható az eredményül kapható számra. (A számra való redukálás általában csak mint legutolsó lépés tűrhető el.)

Kérdezed:
"Szerinted mit jelent ez a "1.41421356..." karaktersorozat? "
Ez a karaktersorozat egy racionális számokból álló olyan sorozat, amelyre az igaz, hogy pontosan 1 olyan szám van, amihez minden véges határon túl közelít.

Pontatlanul érted meg, amit írtam:
"E hossz (vagyis egy szám) mérését párhuzamosan álló szakaszok viszonyára vezethetjük vissza (látszólag gond nélkül). Úgy hihetjük továbbá, hogy nem párhuzamos szakaszok hosszának egymáshoz viszonyított arányát is ugyanígy ki tudjuk fejezni.
Ugyanis nem a párhuzamosság megléte vagy hiánya a probléma, hanem az inkommenzurabilitás, az összemérhetetlenség. Ez, ugye párhuzamos szakaszoknál is előfordul... "
Az összemérhetetlenség természetesen párhuzamos összemérendőknél is fölléphet (erre utaltam azzal, hogy "látszólag gond nélkül"). A másik dolog amire céloztam az az volt, hogy a régi görögöknek a síkba kellett kilépni ahhoz, hogy be tudják látni a számokkal való összemérhetetlenség realitását. (Mi meg a görögöktől tudjuk.)

Írod:
"Ki kell ábrándítsalak. Ugyanis nem csak a valós és racionális számok definiálásához kell végtelen sok szám, hanem az egész számokat is végtelen sok (természetes számokból álló) számpárral definiáljuk. Pl. a -1-et az [1,2], [2,3], [3,4],... stb. számpárokkal."
Számpárjaiddal a legkisebb mértékig sem ábrándítottál ki (:-)))! Hiszen ez is egy határozottan más fogalmi szintje a számoknak, mint a természetes számoké. Egyes új szám-fogalmi szintek szükségszerű bevezetéséről (1999-08-17 19:55:31)-kor magam is írtam. Engem csak az ábrándít ki, amikor az új fogalmi szintet azonosnak veszik a régivel, vagyis ha elmismásolják a benne lévő újdonságot. Amikor a régi mintájára állítják be az újat, ahelyett, hogy az újjal modelleznék a régit.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-30 10:38:53   (296)
Kedves Lalo!

Lehet, hogy megállja ez a szőrös modell a helyét. Én nem olvastam el mégegyszer, de gondolkodtam egy kicsit rajta. Nekem azért még mindig kuriózum számba megy, nem érzem úgy, hogy világnézet módosító hatása lenne. De azért nagyon érdekes.

Ha jól emlékszem a Fermat könyvben a következők voltak a Gödel tételről:
1. Mind a mai napig a matematikusok feje fölött lebeg a függetlenség réme, elvileg bármikor kiderülhet egy bebizonyítandó állításról, hogy nem lehet igazolni.
2. Nem veszik ezt túl komolyan a matematikusok, mert úgy gondolják, hogy csak mesterkélt problémákon jön elő. Ennek persze a kontinuum-hipotézis függetlensége kicsit ellent mond.
3. Ha pl. a Nagy Fermat sejtés független lenne, akkor biztos nem lenne hamis, mert akkor lehetne ellenpéldát találni, és így nem lenne független. Erről már régebben írogattam itt, most sem értem teljesen. A felhozott példák nem győztek meg.

A könyvekkel, meg a matek érdeklődéssel valahogy hasonlóan vagyok mint Te, bár az utóbbi időben kissé leálltam. Most kezdek megint ilyeneket olvasgatni többek közt e topic miatt is. Úgyhogy ne haljon meg.
Te számolni is szeretsz nem?
Üdv GPF


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-28 21:59:58   (295)
Kedves GPF!

Mégegyszer elolvastam, és fenntartom az előző modellemet azzal a kiegészítéssel, hogy az említett galaxisok (azon nemstandard számok összességei, amelyek különbsége valós) pedig az eredeti valós számok tengelyével (az alapgalaxissal) "párhuzamosan" helyezkednek el, végtelen kicsiny távolságokra. Tehát a galaxisok és a monadok egymásra merőleges szálakként képzelhetők el, mint egy szép népi szőttes futó a dohányzóasztalon. Csak az egyik irányban végtelen hosszú, a másikban pedig végtelenül keskeny...

Hacsek, hogy tetszik ez neked?


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-27 14:47:43   (294)
Kedves GPF!

Lehet, hogy igazad van, mindössze egyszer olvastam el, s ugye ez "csak" ismeretterjesztő mű. (Megjegyzem, néhány ismeretterjesztő kiadvány pontosabb és fontosabb tud lenni túlcizellált elméleti szakkönyveknél, amelyek belemásznak a részletekbe, csak éppen a lényeget nem képesek feltárni.)
Matematikus ismerőseim igértek autentikus forrást is, ha megkaptam és átnéztem, referálok róla.

Kérdésedre válaszolva hadd dicsekedjem egy kicsit: valóban, felnyúlok a polcra és leveszem. Diákkoromból megmaradt a matematika szeretete, így évente egyszer-kétszer levadászom az érdekesnek tűnő könyveket, s legalábbis átfutom őket. Sajnos rendes, rendszeres matematizálásra nincs időm, ezért is örültem meg ennek a néhány topic-nak, ahol hasonszőrűekkel cserélhetek eszmét.

Megnézem majd a Fermat sejtés könyvet is, már ugyan olvastam, de persze nem emlékszem a Gödellel kapcsolatos dolgokra.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-27 14:20:16   (293)
Tisztelt Lalo!

El fogom mégegyszer olvasni, nekem a szőrös modell még nem állt össze. Ezek a monad-ok nem a könyvből valók, ugye? Ott olyasmi van, hogy azok az újfajta számok alkotnak egy osztályt, aminek a különbsége valós. Ezek a galaxisok.
Hol vannak ezek a szőrök közt?

Nem volt időm a linkeket alaposan megnézni, de meg fogom. Furcsa, hogy a politika hogyan keveredik bele a matematikába.

Elolvastad a Fermat sejtéses könyvet is? Nem egészen az van benne, amit Hacsek mond.
Felnyúlsz a polcra és leveszed ezeket? Vagy honnan? Könyvtár? Melyik?


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-27 12:39:15   (292)
Kedves GPF!

Köszi az infót, elolvastam a vonatkozó fejezetet, tényleg érdekes. Megpróbálom beilleszteni a világképembe úgy, hogy ne nagyon kelljen a meglevő elemeket átrendeznem.

Szóval ez a nemstandard analízis szerintem valami olyasfajta bővítés lehet, mint komplex sík a valós számokhoz képest - csak egészen más persze. Arról van tehát szó, hogy egy bővített számkörben vannak újfajta számok - én azért ezeket nem nevezném valósaknak - amelyek a zérusnál nagyobbak, de bármely hagyományos valósnál kisebbek, valamint olyan nagy újfajta (nemstandard) számok, amelyek minden valósnál nagyobbak. Ráadásul minden valóshoz van egy olyan "monad" (osztály?, halmaz?) amelyben ez az egyetlen valós van, a többi nemstandard és végtelenül közel van hozzá. Ennek alapján én úgy tudnám elképzelni ezt a bővítést szemléletesen, mintha a szokásos számegyenes minden pontjára merőlegesen végtelen kicsiny szakaszokat emelnénk, mintha "végtelen kis hosszúságú szőröket növesztett volna felfelé és lefelé a számegyenes". Másrészt a valós számegyenes végén túl megjelennének a végtelen nagy számok - természetesen azok is "szőrösen". Erre a képre az indított, hogy a mintapéldák összegként jellemezték ezt az új számkört, pl. 32+ds alakú nemstandard számok szerepeltek az idézett műben.

Mindezek után két dolgot szeretné Hacseknak mondani:
a) gratulálok az intuiciójához, hogy ilyet el tudott képzelni
b) ettől a valós számok hagyományos kezelése egyáltalán nem változik.

Ugyanúgy, ahogy a komplex síkba ágyazott valós számegyenes tulajdonságai megmaradnak, ennek a szőrös számegyenesnek, mint modellnek a léte se csorbítja a megszokott analízisbeli módszertant.

A nemstandard számok nem ott vannak mint a hagyományosak! Ott már nincsen számukra hely.

Egy link Robinson életére.

Egy másik egy cikkre, amely arról szól, hogy a Robinson féle nemstandard analízis különösen a kulturális forradalom Kínájában aratott nagy sikert, mivel ebben fedezték fel Marx matematikai utalásainak (amelyek a korabeli, közkeletű matematika felfogáson alapultak, beleértve az infinitezimálisokat is) formalizálhatóságát.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-27 09:59:29   (291)
Kész? Elvágtam a vitát? Nem ez volt a célom.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-26 10:37:11   (290)
Rájöttem, hogy hol olvastam az infinitezimálisok bevezetéséről. Ajánlom mindenkinek: Davis-Hersh: A matematika élménye.
Egy csomó olyan dologról is van szó benne, amikről itt beszélünk.

Szóval egy Robinson nevű ember csinált egy olyan számfelépítést, amelyben szerepelnek olyan számok, amelyekre igaz az, hogy 0-nál nagyobbak és bármely pozitív valósnál kisebbek. Ezek persze nem ugyanolyan valós számok, mint az általunk megszokottak, meg ezeknek a bevezetése egyáltalán nem szemléletes. Nem tudom, értelmesek e rá ilyen kijelentések, hogy racionális meg irracionális. Vissza kell vonnom azt a régebbi kijelentésemet, hogy csak mat történeti kuriózum. Bizonyítottak tételeket a segítségükkel, bár a matematikusok nem nagyon örülnek az ilyen bizonyításoknak.

Egy dologról elfeledkeztünk a vitában: a valós számok axiomái közt szerepel az Archimedeszi axioma is, vagyis hogy tetszőleges c pozitív valós és m természetes számhoz létezik n természetes szám, melyre n*c > m.
Ez az axioma biztosítja, hogy a szokásos valós felépítésben ne legyenek végtelenül kicsi mennyiségek. (A föntebb vázoltban vannak nagyon nagy természetes számok is, azért marad igaz ez az axioma)

Szóval lehet olyasmikről beszélni, amikről Hacsek és DcsabaS_ csak az az egész sokkal bonyolultabb mint a valós számok, többen vannak (azt hiszem), sokkal kevésbé szemléletes, s nem biztos, hogy más fogalmainkat nem kell átértelmeznünk.

A másik:

Volt szó a könyvben a nem Euklideszi geo-król is. Erről is beszéltünk már itt. A Riemann geo olyan, mint ami egy gömb felületén van, ha a szemközti pontokat összevonjuk. Egyenesek a főkörök. Itt nincsenek párhuzamos egyenesek, bármely kettő metszi egymást. Bolyai geometriájába ez nem fér bele, ő azt mondta, hogy 1 vagy több párhuzamos egyenes húzható egy ponton át egy adott egyenessel. (A több az 2 és még közte vannak a nem metszők is.)
Nekem úgy rémlett, hogy a többi axiomából következik az, hogy a háromszög szögösszege nem nagyobb 180 foknál. Ami a egyenértékű a Bolyai féle abszolut geometriával. De ebbe a Riemann féle nem fér bele.
Hogy van ez?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 14:40:11   (289)
DcsabaS_

Nem mondtam, hogy kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés a sorozatok és a határértékük között. Nem lehet az, hisz egy csomó sorozatnak azonos a határértéke. Nem azonosak a sorozatok és a számok. Ezt senki sem állítja, ill. leginkább Te, amikor ilyeneket írsz:

"Ezt termeszetesen azzal jar, hogy szamokon ettol kezdve legalabbis sorozatokat kell ertunk."

Na, de mindegy, azt hiszem nem áll olyan távol amikről beszélünk, mint pl. Hacsekkel. Igazából nem is tudom, miken vitatkozunk.

Azért még egyet kérdeznék:
Az előbb ismételted meg a sorozatok "súlycsoportjáról" a mondatodat. Ugye valós sorozatokról van szó? Azok a 2^kontinuum-nyian vannak, vagyis mint a valósok részhalmazai. (Ez igaz?) Mihez van szükségünk erre a többletre?

Nem emlékszem hol olvastam az infinitezimális mennyiségek pontos bevezetéséről. Nem emlékszik erre valaki? Lehet, hogy ez érdekes lenne.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 13:28:57   (288)
Kedves Lalo!

A Fermat-könyvben az van leírva, hogy Gödel tételeinek jórészét szerencsére anélkül lehet figyelmen kívül hagyni, hogy cáfolnánk őket, mert az ő tételei értelmében a cáfolat éppúgy bizonytalan, mint a cáfolt állítás.

Ennek analógiája, hogy egy Hacsek-szintű zseni ne vitatkozzon Lalo szintjén, mert mit várhat el az ember attól, akinek a természetes számok bekerítése is bizonytalanságokat vet föl. Akinek ez kérdés egyáltalán, az ne merjen sokkal mélyebben szántó elméleteket bírálni.
Ennek figyelmen kívül hagyása miatt szálltam ki a dologból, nem másért.
(Jut eszembe: Pint például még a topic címéig sem jutott el, ezt tőle tudom.)


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 13:28:05   (287)
Kedves GPF!

Irod:
"A sorozat és a határértéke természetesen két különböző dolog. Nem is állította senki az ellenkezőjét. Egy csomó sorozatnak van határértéke, ezekhez hozzá lehet ezt rendelni, ez egy értelmes megfeleltetés.
Igen. Csak kozben nem szabad arrol elfelejtkezni, hogy akar egy kolcsonosen egyertelmu megfeleltetes megvalosithatosaga sem jelenti azt, hogy onnantol kezdve a 2 dolgot azonosnak vehetjuk. (Ti. csak a szamossaguk azonos.) Peldaul az egesz es a racionalis szamok kozott is lehetseges kolcsonosen egyertelmu megfeleltetes (amiert is azonos szamossagunak tekintjuk oket), de megis kulonbozo halmazokat alkotnak, eltero tulajdonsagokkal. Megtehetjuk azt is, hogy egy masik megfeleltetesben (ami mar nem is kolcsonosen egyertelmu) a racionalis szamok egyes reszhalmazaihoz rendeljuk hozza az egesz szamokat. Peldaul az 1/1, -1/-1, 2/2, -2/-2, 3/3, -3/-3, stb. alaku aranyokkal felirhato mennyisegek reszhalmazahoz az "1" egesz szamot. Ha ez a megfeletetos szamunkra fontos, akkor ettol kezdve beszelhetunk "ujfajta" egesz szamokrol is, megpedig olyanokrol, amelyek bizonyos fajta aranyokkal vannak kifejezve.

Folytatod:
"Egy csomó sorozatnak ugyanaz a határértéke, ezeket a sorozatokat lehet egy csoportba rendelni. Ez is értelmes, matematikailag korrekt. Az ilyen sorozatcsoportokat tekinthetjük a valós számok egy modelljének. (Ha racionálisakból állnak.) Az igaz, hogy ez egy jó bonyolult modell, de működik."
Egyetertunk.

Irod:
"Egyébként a racionálisakból álló sorozatok és a valós számok igenis egy súlycsoportban vannak, mindkettő kontinuum."
En NEM csak konvergens sorozatokrol, es nem csak racionalisakbol allo sorozatokrol szoltam, hanem sorozatokrol altalaban. Idezet magamtol:
"... a sorozatok és a számok nincsenek egy "súlycsoportban". A sorozatok speciális esetként kiadhatják a számokat, de annál számosabb halmazt alkotnak, és nekünk erre a többletre is szükségünk van."

Irod:
"Úgy rémlik, valahol olvastam olyat, hogy bővítették a valós számkört úgy, hogy bevezettek végtelen kicsi mennyiségeket is, nem vezetett ellentmondásra. De mindezt azért tették csak, hogy a newtoni, mai értelemben nem teljesen korrekt differenciál és integrál számítást valahogy pontosabbá, precízebbé tegyék. Tehát mondjuk úgy, hogy ez egy mat. történeti kuriózum, nem igen használják másra."
A Newton altal bevezetett infinitezimalis mennyisegekkel csupan az volt a baj, hogy eleinte nem volt hozzajuk meg a veges eszunkkel vilagosan felfoghato meghatarozas, az osztonos alkalmazas pedig tul gyakran vezetett tevutra. (Nem veletlen, hogy Hacsek tasztaltarsunktol is eppen ezt probaljak meg szamonkerni a ketelkedok.) Azonban a mai ertelemben vett hatarertekszamitas megszuletese ota nincs ilyen gond, hiszen mar tudjuk, hogyan lehet veges mennyisegekkel utanaeredni a vegtelennek. Semmi akadalya sincs annak, hogy pl. a "vegtelenul kicsiny mennyisegen" a nulla hatarerteku sorozatokat ertsuk (tehat nem a nullat, hanem a sorozatokat). Ezt termeszetesen azzal jar, hogy szamokon ettol kezdve legalabbis sorozatokat kell ertunk. Meg azzal is, hogy nem azonosithatunk egy sorozatot a hatarertekevel (ami raadasul nem is mindig letezik). Meg azzal is, hogy vegtelenul kicsiny mennyisegbol igen sok lesz.
Ha manapsag a matematikai analizis fogaskerekeit csikorogni sejtjuk, akkor jo esely van arra, hogy csak valahol egy sorozatot leegyszerusitettek a hatarertekere, majd azt tettek be egy olyan szamitasba, ahol szinten vannak sorozatok, megpedig olyanok, amelyeknek "elobb" kellene konvergalniuk, mint annak a sorozatnak, amelyet egyszer mar befejezettnek vettunk azzal, hogy a hatarertekevel helyettesitettuk.

En sem allitom a geometria fogalmak abszolut egyszeruseget. Csupan azt, hogy nem annyira elvontak, mint a matematika sok egyeb teruleten.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 13:12:57   (286)
Kedves Ebey!

Szerintem egyértelműen feltalálókról beszélhetünk, hiszen egyébként a platoni ideák világának létezését kellene posztulálnunk, ezt pedig itt még senki sem vállalta. De még egyszer javaslom Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról című művét elolvasásra, mert ezt a kérdéskört is tárgyalja, sok más izgalmas dologgal együtt.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 13:06:31   (285)
Kedves Hacsek!

Habár annak idején (július 30.) más könyveket említettél az állítólagos cáfolat (nem önkritika!) fellelhetőségére, mégpedig:

Sain M.: Matematikatörténet
Ian Stewart: A természet számai
Singh: A nagy Fermat-sejtés

köteteket, megnézem a Gödel, Escher, Bach -ot is szívesen.

(Nem lett volna egyszerűbb azt mondani, hogy pardon, tévedtem, rosszul emlékeztem? Bár, ha elolvastad ezt a könyvet közben, azt csak üdvözölni lehet.)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 12:20:13   (284)
Kedves Árpi!

A számokat, pontosabban a természetes számokat, majd az egész, racionális stb. számokat úgy lehet definiálni, hogy műveleteket adunk meg velük kapcsolatban.
Valamikor régen elkezdtem a valós számkör felépítését a természetesekből kiindulva, de Hacsek, akinek leginkább szántam, eltűnt, pontosabban már csak esetenként bukkan fel. Néhány rész megvan, ha igény van rá, folytathatom.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 12:10:52   (283)
Kedves Lalo!
Leírtam már: addig semmit sem definiálok és bizonyítok az eredeti témában, amíg az enyémtől eltérő ellenelmélettel vagy legalább egy sejtéssel elő nem áll valaki a rac-irrac számok eloszlását illetően.
(A kért forrás: Kurt Gödel maga. Visszavonta tanait, mint II. József, mert elbizonytalanodott a bizonytalanságról állított bizonyosságában. Lásd Gödel-Escher-Bach önkritikai kiadás.)

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 12:10:13   (282)
Kedves Lalo!

Én éppen azt tettem fel kérdésnek, hogy a definíciók, axómarendszerek "létrehozásakor" valóban feltatálók-e, vagy lehet, hogy csak felfedezik ezeket a már létező csak még meg nem ismert fogalmakat (ld. Hacsek előző hozzászólását is!)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 12:09:06   (281)
Kedves DcsabaS_!

Jelsorozat alatt én a "0.99999999999999999..." -t értettem, azaz a zéró, tizedespont, kilencesek és a három pont alkotta kifejezést. Erről mondtam, hogy értelmezés kérdése, hogy minek tekintjük. Tizedes alakban felírt valós szám nem lehet, mert azoknál nincs ... a szám végén. ha egyáltalán értelmezni akarjuk, akkor megállapodás (definíció) alapján tekinthetjük a [0, 0.9, 0.99, 0.999, ...] sorozat határértékének. Nem a sorozatnak! A sorozat jelölése az előző, nálam szögletes zárójelben levő kifejezés. Teljesen igazad van abban, hogy egy sorozat és a határértéke két különböző dolog, de én - és úgy emlékszem más sem - álította ennek az ellenkezőjét itt.

Viszont te az előző hozzászólásodban azt írtad:
"A 0.99999999999999999... jelsorozat egy olyan mennyiséget jelent, amely bármely véges számnál közelebb van az 1-hez, de mégsem egyenlő 1-gyel."
Ez az ami igazán kavarodást okozhat! Én az előző bekezdésben definiáltam ennek a jelsorozatnak egy szokásos értelmezését, valamint kjelentettem, hogy más értelmezést nem ismerek, te viszont definíció nélkül, érzés szerint - tévesen - használtad. Légy szíves definiáljad te is, s azután folytathatjuk erről a vitát.

Problémásnak tartom a "szám" mint olyan fogalom (matemetikai) használatát, én csak természetes, egész, racionális, valós, komplex (esetleg kvaternio) számokat ismerek. (Egy régebbi párbeszédben ezen problémáztunk, hogy lehet-e általános számfogalomból kiindulni...)

Elmélkedsz a számokról és mennyiségekről. Te mit tekintesz számnak, ill. mit tekintesz mennyiségnek? Mi szerinted a különbség?

Írom, mire te válaszolod:
'"Azt állítom, hogy az egyik sorozattal definiált valós szám egyenlő a másik sorozattal definiált valós számmal! (egyik sorozat: [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], a másik sorozat: [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik])"
Szerintem az általad az egyenlőségjel bal oldalán elhelyezett sorozat (azonosan ismétlődő) tagjai számként ismeretlenek, de annyit tudunk a szimbólum jelentéséről, hogy nem lehet racionális szám. Az egyenlőségjel jobb oldalán viszont mindig egy racionális szám áll. Minthogy a bal oldal sohasem racionális, a jobb oldal meg mindig, egyenlőség nem állhat fenn.'
Látod, beleestél saját csapdádba. A sorozat határértékét összekevered az elemeivel! Azt mondod, hogy az egyenlőségjel jobb oldalán mindig (kiemelés tőlem) egy racionális szám áll. Pedig nem. Azt mondtam, hogy mindkét oldalon sorozat által definiált (azaz a sorozatok határértéke) valós szám áll, amelyek egyenlőek. Tehát a jobb oldalon nem egy-egy racionális szám áll, hanem egy sorozat határértéke. Ezt nem tudjuk másként leírni, mint a sorozat elemeinek felsorolásával és/vagy a folytatás szabályának megadásával. Az "1.41421356..." karaktertersorozat ennek a definíciónak lehet a rövidítése. Tehát egyetlen egyenlőségről van szó, nem pedig egyenlőségsorozatról, ami te emlegetsz a "Az egyenlőségjel jobb oldalán viszont mindig egy racionális szám áll" kijelentéseddel. Más értelmet én nem vagyok képes belelátni. Szerinted mit jelent ez a "1.41421356..." karaktersorozat?

Geometriai megjegyzéseidhez. Eleinte viszonyokról beszélsz, aztán arányokról. Szerintem a viszony nem matematikai fogalom, ezért zavar a használata. (Persze érdekes lehet egy kör vagy négyzet szexuális élete is... :)). Akkor már helyesebb lehet a nagyságrendi viszony kifejezés, vagy az arány szó használata. De abban a pillanatban, amikor bevezeted az egység hosszúságot, az ahhoz hasonlított, vele valamilyen méretarányban levő többi szakasz mérőszámainak meghatározása óhatatlanul szükségessé teszi az egész, majd a racionális számok használatát, aztán az inkommenzurabilitás felfedezésével az irracionális számokét. De ez már "alkalmazott" számelmélet! Nem tudod elkerülni a számkör felépítését, nincsenek külön "geometriai" számok és "aritmetikai" számok!

Pontatlan amit arról írsz, hogy:
"E hossz (vagyis egy szám) mérését párhuzamosan álló szakaszok viszonyára vezethetjük vissza (látszólag gond nélkül). Úgy hihetjük továbbá, hogy nem párhuzamos szakaszok hosszának egymáshoz viszonyított arányát is ugyanígy ki tudjuk fejezni."
Ugyanis nem a párhuzamosság megléte vagy hiánya a probléma, hanem az inkommenzurabilitás, az összemérhetetlenség. Ez, ugye párhuzamos szakaszoknál is előfordul...

Megjegyzem még a négyzetgyök(2) irracionalitásának második bizonyításához én éppen azt javasoltam, hogy relatív prím legyen a b/c hez választott b és c, tehát semmiféle sok-sok osztásról nincs szó. Ha pedig ez nem tetszik, akkor osszad el a számlálót s a nevezőt is a lenagyobb közös osztójukkal - ez egyértelműen definált és meghatározható - és máris elkerülted a valóban pontatlan "osszuk el annyiszor 2-vel, hogy a "végén" már csak páratlanok legyenek ..." lépést.

Azt írod még, hogy:
"Már itt látszik, hogy a racionális számok is valahogy dinamikusabb dolgok, mint a hozzájuk képest sziklaként álló egészek."
Ki kell ábrándítsalak. Ugyanis nem csak a valós és racionális számok definiálásához kell végtelen sok szám, hanem az egész számokat is végtelen sok (természetes számokból álló) számpárral definiáljuk. Pl. a -1-et az [1,2], [2,3], [3,4],... stb. számpárokkal. Mint már említettem valamikor - Kronecker után szabadon - a természetes számokat a Jóisten teremtette, minden egyéb emberi alkotás.

Továbbra sem merném a geometriai absztrakciókat - kiterjedés nélküli pontok, egyenesek, azok viszonyai stb. ember-, vagy objektív világ közelibbnek tartani, mint a számlálásból eredő aritmetikaiakat.

Megjegyzed, hogy:
"Igen, de pl. ki-ki azért más fogalmat érthet ugyanazon elnevezés alatt. "
Hát ez az. Azt hiszem ezért koptatjuk a klaviatúrát mi is...


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 10:22:12   (280)
Kedves DcsabaS_

A sorozat és a határértéke természetesen két különböző dolog. Nem is állította senki az ellenkezőjét. Egy csomó sorozatnak van határértéke, ezekhez hozzá lehet ezt rendelni, ez egy értelmes megfeleltetés.
Egy csomó sorozatnak ugyanaz a határértéke, ezeket a sorozatokat lehet egy csoportba rendelni. Ez is értelmes, matematikailag korrekt. Az ilyen sorozatcsoportokat tekinthetjük a valós számok egy modelljének. (Ha racionálisakból állnak.) Az igaz, hogy ez egy jó bonyolult modell, de működik. Talán-e miatt alakult ki az a félreértés, hogy valaki a sorozatot meg a határértékét összemossa.

Egyébként a racionálisakból álló sorozatok és a valós számok igenis egy súlycsoportban vannak, mindkettő kontinuum.

Természetesen a számfogalmat sokféleképpen lehet bővíteni, de azért minden matematikai kreációnak akkor van értelme, ha lehet valamire használni, modellez valamit. Úgy rémlik, valahol olvastam olyat, hogy bővítették a valós számkört úgy, hogy bevezettek végtelen kicsi mennyiségeket is, nem vezetett ellentmondásra. De mindezt azért tették csak, hogy a newtoni, mai értelemben nem teljesen korrekt differenciál és integrál számítást valahogy pontosabbá, precízebbé tegyék. Tehát mondjuk úgy, hogy ez egy mat. történeti kuriózum, nem igen használják másra.

És mégegy. A geometriai fogalmak egyáltalán nem olyan egyértelműek. Nem véletlen, hogy az elfogadott axiomarendszere (Hilbert) egyike az utolsóknak a ma használatos közismertek közül. Az sem véletlen, hogy annyiféle furcsa modellt lehet adni rá, amik elsőre nagyon szemben állnak a szemléletessel. És persze ezek közé az axiomák közé is be kellett hozni egy a folytonosságot biztosító egyáltalán nem közérthetőt.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 02:43:56   (279)
Kedves Lalo!

Írod:
"Szerintem a szóban forgó jelsorozatnak csak egy értelmezése lehetséges, az illető sorozat határértékének tekinthetjük - ha akarjuk, és ebben megállapodunk."
Van egy sorozat, aminek lehet határértéke. Ez két elvileg különböző dolog. Egy sorozatnak nem kell határértékének lennie ahhoz, hogy a sorozat létezzen és hogy értelme legyen. De ha egy sorozatnak van is határértéke, akkor sem kell (és nem is lehet) a sorozatot abba "belegyömöszölni". Egy konvergens sorozat is mindig különbözik a határértékétől. A sorozatok sokkal többen és többfélék is lehetnek, mint ahány számmal megkülönböztethető határérték létezhet.

Folytatod:
"... Még egyszer: vagy egy sorozat határértéke, vagy semmi értelme! Az általad használt értelem - ami nem illeszkedik az elfogadott matematikai elméletekbe - legfeljebb a Hacsek-féle KKI-vel mutat rokonságot."
A sorozatokkal kapcsolatos valóban szigorú matematikai okfejtésekben sohasem csak a határértékkel mint egy számmal manipulálnak, hanem a határértéket definiáló mechanizmussal, amiben mindig véges mennyiségekkel operálnak - ámde bármely előre rögzített véges határon túl. Tehát amiről írok, az normálisan illeszkedik a matematikai elméletekbe, csak ahhoz nem illeszkedik, ahogyan sok, egyébként matematikát használó ember próbálja "tömöríteni" a határértékszámítással kapcsolatos gondolkodást.

Idézel engem, majd írod:
"Ha a valós számokra, mint vég nélkül folytatható és határértékkel is rendelkező sorozatokra tekintünk, akkor azt korrekt elgondolásnak tartom. Ha viszont megpróbáljuk a konvergens sorozatokat a határértékeikként megállapítható számokkal azonosítani, abból már bajok lehetnek."
Az első mondatod a Cantor-féle számkörbővítés elismerését jelenti. A másik mondatoddal viszont ezt visszavonod, hiszen feltételezel másfajta valós számokat."
A számfogalom különféle bővítéseit és módosításait is lehetségesnek tartom. Az ilyesminek azonban csakis az lehet az alapja, ha előbb felfedezzük, megértjük és tudomásul vesszük, hogy adott esetben olyan mennyiségekbe botlottunk, amelyek nem tekinthetők a korábbi értelemben vett számnak, ámbár valamiért nagyon előnyös lenne valahogyan egykalap alá vonni őket. Így válik időnként szükségessé a számfogalom módosítása.

A magam részéről pl. előnyösnek látnám a számfogalom olyan módosítását, amely egyfajta végtelen sorozatokként (vagy ilyen sorozatok halmazaként) kezeli a számokat, viszont helytelennek, ha a sorozatokat redukálják a számokra. Ti. a sorozatok és a számok nincsenek egy "súlycsoportban". A sorozatok speciális esetként kiadhatják a számokat, de annál számosabb halmazt alkotnak, és nekünk erre a többletre is szükségünk van. (Különben nem is lenne értelme a bővítésnek.)
Még valami. Én NEM "másfajta valós számokat" tételezek föl, hanem legfeljebb csak másfajta mennyiségeket, amelyek NEM valós számok, ellenben szóbajöhet a számfogalom olyan bővítése, hogy ezeket is számoknak nevezzük, de csak akkor, ha a mennyiségeknek ezen új halmaza adja ki speciális esetként a korábbról megismert számoknak megfeleltethető (megfeleltetés=/=egyenlőség) valamiket, hiszen a fordított megfeleltetés nem lehetséges (azért is kell bővítenünk). Ezen túlmenően pedig nem szükséges számnak nevezni az újabb mennyiségeket, de azt azért tudni kell róluk, hogy mennyiben különböznek azoktól a dolgoktól, amiket hagyományosan számnak nevezünk.

Azt állítod:
"Azt állítom, hogy az egyik sorozattal definiált valós szám egyenlő a másik sorozattal definiált valós számmal! (egyik sorozat: [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], a másik sorozat: [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik])"
Szerintem az általad az egyenlőségjel bal oldalán elhelyezett sorozat (azonosan ismétlődő) tagjai számként ismeretlenek, de annyit tudunk a szimbólum jelentéséről, hogy nem lehet racionális szám. Az egyenlőségjel jobb oldalán viszont mindig egy racionális szám áll. Minthogy a bal oldal sohasem racionális, a jobb oldal meg mindig, egyenlőség nem állhat fenn. A bal oldalon ismételgetett szimbólum nagyságához legfeljebb csak közelíthet a jobb oldali sorozat, vagyis ha a felírt egyenlőséget definíciónak tekintjük, akkor az pont azt jelenti, hogy 21/2-t bizonyos számoknak csak végtelen (be nem fejezhető) sorozatával lehet jellemezni. Ha elfogadod, hogy erre (és a legtöbb valós számra) ugyanez igaz, vagyis hogy csak egy végtelen sorozatként kezelhető korrektül, akkor egyetértünk. (De mielőtt túl hamar igent mondanál (:-))): Arról beszélek, hogy bármely valós szám helyére beilleszthető egy megfelelő sorozat, de nem minden sorozatot helyettesíthetünk egy számmal - még ha ki is találunk neki egy szimbólumot. Ha használunk szimbólumot, annak helyére is magát a sorozatot kell képzelnünk, nem valami fix számot.)

Idézel és kérdezed:
"Tételezzük fel, hogy miként a(z euklideszi) geometriában a szakaszok nagysága egyértelmű viszonyban van egymással, a nagyság jellemzésére kitalált számokra is ugyanez igaz."
Milyen viszonyról van szó? Milyen számokról van szó? Ezeket meg kellene mondani! /I>"
A szakaszok nagysága a síkon akkor is egyértelmű viszonyban van egymással, ha ezt számokkal nem jellemezzük. Szerkesztéseknél nincs is szükségünk arra, hogy számokkal jellemezzük a méretüket.
De élhetünk azzal a hipotézissel, hogy a sík minden szakaszához egyértelműen hozzárendelhetünk egy számot, mégpedig a szakasz hosszát. E hossz (vagyis egy szám) mérését párhuzamosan álló szakaszok viszonyára vezethetjük vissza (látszólag gond nélkül). Úgy hihetjük továbbá, hogy nem párhuzamos szakaszok hosszának egymáshoz viszonyított arányát is ugyanígy ki tudjuk fejezni. (De ez történetesen egy olyan tévedés, amit már a régi görögök is be tudtak látni.)

Írod:
"... most én tételezek fel olyan veszélyt, amit nem tudok alátámasztani, elnézést, - hogy valaki esetleg definiálja a KSPERSz-t (Kurva Sok Prímosztóval Rendelkező Egész Számokat) és elkezd rá elméleteket építeni."
Ezért jobb megmaradni a véges mennyiségekkel, de bármely előre rögzített véges határon túlmenően folytatott operációknál.
Nekem egyébként inkább az első bizonyítás tetszik, ugyanis a második bizonyításban olyan feltevést kell tennünk, amiről eleve nyilvánvaló, hogy hülyeség (magyarán: túl hamar lép fel az ellentmondás), így az indirekt bizonyítási kissé gyanús színezetet vesz fel ("osszuk el annyiszor 2-vel, hogy a "végén" már csak páratlanok legyenek ...").

Helyesen megállapítod:
"(Megjegyzem, hogy nem csak a valós számok definiálásához kell végtelen sok racionális szám, hanem már a racionális számokat is végtelen sok (egészekből álló) számpárral definiáljuk."
Ez így van. Már itt látszik, hogy a racionális számok is valahogy dinamikusabb dolgok, mint a hozzájuk képest sziklaként álló egészek.

Kérdezed:
"... Ugye te se gondoltad komolyan ezt a geometriailag pontosant? A geometriai fogalmak ugyanúgy absztrakciók, mint a számok, én nem mernék közöttük pontossági sorrendet felállítani."
Természetesen a geometria fogalmai is absztrakciók, de nem olyan távoliak, mint a számfogalomé - ezért is kellett az utóbbit többször is módosítani, amikor kiderült valamely korábban lehetségesnek tűnő dolog lehetetlensége. (Vagyis hogy korábban rosszul absztraháltunk.)

Írod:
"Ha a definiált fogalmakat "pontossági szempontokból" kiindulva hasonlítani akarod valami "elsődleges, eleve létező" dolgokhoz, akkor eljutunk a platoni szemlélethez, ami szerint a fogalmak eleve és öröktől fogva léteznek, s az emberi megismerés ennek holmi árnyait képes csak vizsgálgatni."
A fogalmak létezése valamilyen tudat előzetes létezését feltételezi. Fogalmak csak valamilyen tudatban létezhetnek, azon kívül (pl. tankönyvben, vagy flopi diszken nem). De a fogalmak nem önmagukért valók, hanem modellezési célt szolgálnak. Vagyis a fogalmak nem elsődlegesek (mint Platon hirdette), hanem másodlagosak a modellezni kívánt dolog tulajdonságaihoz képest.

Folytatod:
"... a matematikai fogalmak akkortól léteznek, amikor megalkották őket, és pontosan olyanok, amilyennek megalkották őket."
Igen, de pl. ki-ki azért más fogalmat érthet ugyanazon elnevezés alatt. Továbbá, amit a matematikai fogalmakkal modellezni kívánunk, az már korábban is létezhetett, általunk csak utólag és csak bizonyos mértékig megismerve.


Árpi válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-25 01:55:19   (278)
Bocsássatok meg, hogy beleszólok, én ehhez nem is értrek, meg ráadásul nem is bírtam elolvasni még az egészet, de mi lenne, ha nem a számokat axiómaként használva próbálná valaki definiálni a műveleteket, hanem fordítva!? Vagy már megtörtént?. :o))

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 23:58:46   (277)
Kedves Ebey!

Teljesen egyetértek véleményeddel:
"Természetesen a matematikusok is valamilyen módon a való dolgokból indulnak el, de minden esetben tovább lépnek, hagyják, hogy a téma elragadja őket és mindig újabb és újabb "világokat" fedezzenek fel.
Az már filozófikus mélységű kérdés, hogy ezek az elméletek megszületésük előtt is a való világ részei-e, hogy a matematikusok vajon feltalálók, vagy felfedezők?"

Amikor definíciókat alkotnak, axiómarendszert építenek, akkor feltalálók, amikor feltárják ennek következményeit, akkor felfedezők! Ezekről és más filozófia kérdésekről ír lenyűgözően Rényi Alfréd a Dialógusok a matematikáról című művében. Ajánlom mindenkinek szíves figyelmébe.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 22:58:09   (276)
Kedves Hacsek!

Szeretnélek ismét emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát. (Én definiáltam a szokásosat.) Amit eddig
produkáltál ez ügyben, az KKD.

Lalo


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 22:47:12   (275)
Kedves DcsabaS_!

Azt írod, hogy:
"A "határátmenet teljesíthetőségén" azt értettem, hogy a sorozat végeredményben elérné azt a valamit, amit az általam
(is) megfogalmazott határértékként megállapíthatunk."
Úgy érted, hogy lenne olyan elem a sorozatban, ami a határértékkel megegyezik? Vagy egy indextől kezdve az összes elem megegyezik ezzel a határértékkel?
Mert én még ilyen vélekedést nem hallottam. Lehet, hogy te igen, de olyan környezetben - itt, ebben a topicban - ahol ez nem fordult elő, nem igazán értem a szükségességét az ellene való küzdelemnek.

Másik kijelentésed:
"A 0.99999999999999999... jelsorozat egy olyan mennyiséget jelent, amely bármely véges számnál közelebb van az
1-hez, de mégsem egyenlő 1-gyel. E sorozatnak (0.9, 0.99, 0.999, ...) csak a határértéke egyenlő 1-gyel."
A mondatod végével teljesen egyetértek, a (0.9, 0.99, 0.999, ...) sorozatnak a határértéke egyenlő 1-gyel. A problémám az elejével van. Szerintem a szóban forgó jelsorozatnak csak egy értelmezése lehetséges, az illető sorozat határértékének tekinthetjük - ha akarjuk, és ebben megállapodunk. Ha nem, akkor egyáltalán nincs értelme! Még egyszer: vagy egy sorozat határértéke, vagy semmi értelme! Az általad használt értelem - ami nem illeszkedik az elfogadott matematikai elméletekbe - legfeljebb a Hacsek-féle KKI-vel mutat rokonságot.

Továbbá azt írod:
"Ha a valós számokra, mint vég nélkül folytatható és határértékkel is rendelkező sorozatokra tekintünk, akkor azt korrekt elgondolásnak tartom. Ha viszont megpróbáljuk a konvergens sorozatokat a határértékeikként megállapítható számokkal azonosítani, abból már bajok lehetnek."
Az első mondatod a Cantor-féle számkörbővítés elismerését jelenti. A másik mondatoddal viszont ezt visszavonod, hiszen feltételezel másfajta valós számokat. Ha elfogadod a szabályos sorozatokkal definiált számkörbővítést, akkor nincsenek másfajta valós számok, tehát semmiféle bajok nem lehetnek! (Egyébként milyen bajokra gondoltál?)

Arról is írsz, hogy:
"Attól, hogy a sorozat megfelelően definiált (vagyis hogy a határértéke éppen 2^(1/2), még nem következik, hogy a sorozat elemei közül találhatnánk akár egyet is (a végesben bárhol, bármikor), amelyik egyenlő volna vele."
Ezt nem is mondtam! Azt állítom, hogy az egyik sorozattal definiált valós szám egyenlő a másik sorozattal definiált valós számmal! (egyik sorozat: [2^(1/2),2^(1/2),2^(1/2),...], a másik sorozat: [1, 1.4, 1.41, 1.414, ... a tizedesjegyek kifejtése a négyzetgyökvonó algoritmus szerint történik])

Azt is kijelented, hogy:
"A Pi, az Euler-féle szám, és bármely más transzcendens irracionális (és valós) szám is közelíthető racionális számok sorozatával. Ez mégsem jelenti azt, hogy a nevezett transzcendens számok azonosíthatóak lennének ezen
sorozatokkal, vagy hogy e sorozatoknak akárcsak egyetlen elemével is."
A mondatod második fele természetesen igaz, de az elsővel kétségbe vonod a Cantor-féle valós számkör definiálást, ami viszont ekvivalens az összes ismert más elven alapuló számkörbővítéssel.

A négyzetgyök(2) irracionalitásának általad adott bizonyításaiban is - a helyes alapgondolat mellett - számos probémát vélek felfedezni.

Írod:
"Tételezzük fel, hogy miként a(z euklideszi) geometriában a szakaszok nagysága egyértelmű viszonyban van
egymással, a nagyság jellemzésére kitalált számokra is ugyanez igaz."
Milyen viszonyról van szó? Milyen számokról van szó? Ezeket meg kellene mondani!

Az első bizonyításod szemléletesnek tűnik, de magában hordozza annak a veszélyét - most én tételezek fel olyan veszélyt, amit nem tudok alátámasztani, elnézést, - hogy valaki esetleg definiálja a KSPERSz-t (Kurva Sok Prímosztóval Rendelkező Egész Számokat) és elkezd rá elméleteket építeni. Ezért jobb a második bizonyítás, de ott is eleve a b/c racionális számot egyszerűen relatív prím egész számok hányadosaként tekintjük, s így már az egész számok oszthatóságára vezettük vissza a bizonyítást.
(Megjegyzem, hogy nem csak a valós számok definiálásához kell végtelen sok racionális szám, hanem már a racionális számokat is végtelen sok (egészekből álló) számpárral definiáljuk. Pl. az 1/2-et az [1,2], [2,4],[3,6],... stb. számpárokkal.)

Továbbá azt is mondod, hogy:
"Amikor olyat írunk le, hogy 2^(1/2), azzal csak jelölünk egy mennyiséget, amit geometriai pontosan, számokkal viszont csak közelítően tudunk jellemezni."
Ugye te se gondoltad komolyan ezt a geometriailag pontosant? A geometriai fogalmak ugyanúgy absztrakciók, mint a számok, én nem mernék közöttük pontossági sorrendet felállítani. Ami a valós számok racionális számsorozatokkal való jellemzését illeti, mivel definiáljuk őket, ennél pontosabb megadást nem lehet elképzelni.

Ha a definiált fogalmakat "pontossági szempontokból" kiindulva hasonlítani akarod valami "elsődleges, eleve létező" dolgokhoz, akkor eljutunk a platoni szemlélethez, ami szerint a fogalmak eleve és öröktől fogva léteznek, s az emberi megismerés ennek holmi árnyait képes csak vizsgálgatni.
Az én véleményem ettől eltér, a matematikai fogalmak akkortól léteznek, amikor megalkották őket, és pontosan olyanok, amilyennek megalkották őket. (Ez nem zárja ki, hogy a fogalmak, axiómarendszerek, definíciók ne finomodhatnának történelmileg, és azt se, hogy az objektív valóság tulajdonságaiból indulunk ki az elméletek gyártásában, s ezért a konklúziók is alkalmazhatóak lesznek majd rá.)

A többivel nagyjából egyetértek. :)


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 21:01:05   (274)
Kedves Lalo!

A "határátmenet teljesíthetőségén" azt értettem, hogy a sorozat végeredményben elérné azt a valamit, amit az általam (is) megfogalmazott határértékként megállapíthatunk. De ez az, ami a határérték fogalmában nincs benne! Ez egy plusz feltevés, amit egyesek automatikusan igaznak vesznek, helytelenül.

Kérdezed:
"Mit jelent nálad a 0.99999999999999999... jelsorozat? Ha a lim (n->végtelen) a(n), ahol a(n)=szumma(k=1,n) 9/10^k, akkor bizony egyenlő az 1 valós számmal definíció szerint."
A 0.99999999999999999... jelsorozat egy olyan mennyiséget jelent, amely bármely véges számnál közelebb van az 1-hez, de mégsem egyenlő 1-gyel. E sorozatnak (0.9, 0.99, 0.999, ...) csak a határértéke egyenlő 1-gyel. E két dolog ugyanúgy különbözik, mint ahogy különbözik egy függvénynek valamely pontban vett helyettesítési és határértéke is egymástól. "Filozófiailag" (maradva GPF minősítésénél) egészen mást jelentenek, és csak kivételes esetben (pontbeli folytonosság esete) tekinthetők egyenlőnek. De ez az "egyenlőnek tekinthetőség" sem jelent valódi egyenlőséget, csupán csak annyit, hogy nem jutunk (pontosabban eddig nem jutottunk) ellentmondásra, ha feltételeztük teljesülését.
Ha a valós számokra, mint vég nélkül folytatható és határértékkel is rendelkező sorozatokra tekintünk, akkor azt korrekt elgondolásnak tartom. Ha viszont megpróbáljuk a konvergens sorozatokat a határértékeikként megállapítható számokkal azonosítani, abból már bajok lehetnek.

Folytatod:
"2^(1/2)=/=1.414213562...
Lásd mint fent. Ha a jobboldal egy megfelelően definiált sorozat, pl. a négyzetgyökvonó algoritmus által kapott közelítések sorozata, akkor az egyenlőség fennáll!
"
NEM. Attól, hogy a sorozat megfelelően definiált (vagyis hogy a határértéke éppen 21/2), még nem következik, hogy a sorozat elemei közül találhatnánk akár egyet is (a végesben bárhol, bármikor), amelyik egyenlő volna vele. Nem a sorozat (vagy bármelyik eleme) egyenlő 21/2-vel, hanem egy olyan hipotetikus mennyiség egyenlő vele, amire az igaz, amit a határértékkel kapcsolatban korábban leírtam (1. tetszőleges véges közelségbe kerülhetünk hozzá, 2. de nincs más ilyen tulajdonságú dolog).

Írod:
"Egyébként pedig a Pí akár racionális számsorozat határértékeként is megadható, gondolj az Euler vagy a Wallis formulákra! Hasonlóképpen az Euler féle e is és minden valós szám!"
A Pi, az Euler-féle szám, és bármely más transzcendens irracionális (és valós) szám is közelíthető racionális számok sorozatával. Ez mégsem jelenti azt, hogy a nevezett transzcendens számok azonosíthatóak lennének ezen sorozatokkal, vagy hogy e sorozatoknak akárcsak egyetlen elemével is.
A négyzetgyök kettő is közelíthető racionális számok sorozatával, azaz nincs olyan véges távolság tőle, aminél közelebb ne találhatnánk racionális számot, ezért a közelítés folytatásának nincs akadálya. De befejezni mégsem lehet, amit szerencsés módon észrevehetünk abból, hogy a határérték kívül esik a racionális számok körén.
Talán érdemes felidézni a következő gondolatmenetet:
1.) Tételezzük fel, hogy miként a(z euklideszi) geometriában a szakaszok nagysága egyértelmű viszonyban van egymással, a nagyság jellemzésére kitalált számokra is ugyanez igaz. (HA a szakaszok nagysága számokkal egyértelműen és pontosan kifejezhető (nevezzük "hossz"-nak), akkor ez természetes feltevés.)
2.) A téglalapok területéről tudjuk, hogy bizonyos geometriai viszonyok (az oldalak egymáshoz való viszonyulásáról van szó) esetén arányos a hosszabb és a rövidebb oldal hosszával is, és nincs okunk feltételezni, hogy más oldalméreteknél ez másképp lenne (euklideszi síkon vagyunk).
3.) Az egységnyi oldalélű négyzet átlójának és oldalának a viszonya geometriailag egyértelmű és pontosan megadható. Tudjuk, hogy az átlóra és az oldalra emelt négyzetek területeinek aránya pontosan 2, ami tehát 1.) feltevésünk szerint megegyezik az átló hosszának önmagával való szorzatával (a2=2).
4.) Most nézzük meg, hogy az "a" számról mit tudunk. Mint számról, feltételeztük, hogy egyértelmű és pontosan megállapítható viszonyban van más számokkal, amelyekkel együtt a geometriai valóságban tapasztalható viszonyokat kívánjuk jellemezni. Minthogy a viszonyítás megengedett (éppen ez az általános eljárás), az "a" számról megengedhető hogy egész, vagy egész számok viszonyával kifejezhető legyen. Az is megengedhető, hogy más viszonyszámok viszonya legyen. De egyszerűsítés után ebben az esetben is fel tudjuk írni az "a" számot egész számok hányadosaként, tételezzük hát fel, hogy ezt már meg is tettük: a=b/c
5.) Az a=b/c viszonyt beírva az a2=2 összefüggésbe, törttelenítés után kapjuk: b2=2*c2. Az itt szereplő számok mindegyike egész, ami azért jó, mert viszonylag közvetlenül támaszkodhatunk a logikára. Látjuk, hogy a jobb oldalon páros szám áll, tehát a bal oldalon is annak kell állnia. A bal oldalon viszont csak akkor lehet páros a szám, ha a "b" szám is páros. Ezesetben viszont b2 nemcsak 2-vel, de 2*2-vel is osztható, és a másik oldalon c2-nek is párosnak kell lennie, ami csak akkor lehetséges, ha maga "c" is páros, de akkor a jobb oldali szám már egyenesen 2*2*2-vel is osztható, aminek természetesen igaznak kell lennie a bal oldalra is. Ha a bal oldal 2*2*2-vel osztható, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy a "b" szám 2*2-vel is osztható. De ekkor b2 már 2*2*2*2-vel osztható, aminek igaznak kell lennie a jobb oldali számra is, aminek folyománya, hogy c2-nek is oszthatónak kell lennie 2*2*2-vel, ami ismét csak akkor lehetséges, ha "c" 2*2-vel, az egész jobb oldal pedig 2*2*2*2*2-vel is osztható, stb. E sorozatnak semmikor sem érhetünk a végére, noha egyre hatalmasabb számokat vagyunk kénytelenek bevonni az okoskodásba. Ezt az eredményt úgy foglalhatjuk össze, hogy nincsenek olyan véges "b" és "c" számok, amelyek elég sokszor tartalmazhatnák szorzótényezőként a 2-őt ahhoz, hogy a b/c arány végre fölírható legyen.
6.) A klasszikushoz jobban hasonlító érveléssel:
Ha a b2=2*c2 egyenlőség mindkét oldalán páros számok állnak, akkor osszuk el annyiszor 2-vel, hogy a "végén" már csak páratlanok legyenek. Ez azonban ellentmondás, hiszen a jobb oldal bizonyosan nem lehet páratlan. Vagyis az egyszerűsítés nem hajtható végre. Márpedig minden véges számra véges lépésben végrehajthatónak kellene lennie. Vagyis "b" és "c" nem lehetnek véges számok.

"Filozófiailag" (:-))) azt a tanulságot vonnám le, hogy bár geometriailag lehetnek adottak bizonyos viszonyok (arányok), számokkal már nem feltétlenül tudjuk pontosan megragadni azokat. Egyes geometriai arányokat számokkal csak közelíteni tudunk, mégpedig valamilyen véget-nem-érő folyamatban, sorozattal. Amikor olyat írunk le, hogy 21/2, azzal csak jelölünk egy mennyiséget, amit geometriai pontosan, számokkal viszont csak közelítően tudunk jellemezni.

Az a gondolat, hogy a különböző szakaszok hossza számokkal egyértelműen és pontosan jellemezhető, és elegendő e számokat egymáshoz viszonyítanunk, ugyanazt a problémát hordozza, mint amikor végtelen halmazok számosságát azzal a hagyományos módszerrel próbálták meg jellemezni, hogy előbb megszámolják az egyik összehasonlítandó végtelen halmazt (azaz hozzárendelnek egy egyértelmű és pontos számot), majd megszámolják a másikat is, a végén pedig összehasonlítják a két számot. Ezt a programot sem lehetett végrehajtani, hanem meg kellett elégedni annyival, hogy megadunk egy eljárást, amivel az összehasonlítandó halmazok elemei párosíthatók (egymáshoz mérhetők), a tényleges összehasonlítást pedig nem "elvégezzük", hanem csak azt vizsgáljuk, hogy akadálytalanul folytatható-e, illetve hogy elvileg sorra kerülne-e bármely elem, vagy valamelyik halmaz "hibájából" nem.

****************
Kedves Ebey!

A mostani az nem egy új téma, hanem a régi téma körüljárása, avagy folytatása.

****************
Kedves GPF!

Írod:
"... az összes, ember által kifejezhető jelsorozat csak megszámlálható sok. Ezek közül egy csomó számokat ír le, de nyílván az is csak megszámlálható lehet. Mi meg mégis valós meg transzcendens számhalmazokról beszélünk, amikre esélyünk sincs, hogy leírjuk a tagjait."
Így van, az ember végessége miatt nem indulhat ki másból, mint véges mennyiségekből. Ez azonban nem akadálya a végtelen bizonyos szintű megértésének, csak éppen a végtelent nem úgy kell megpróbálni elképzelni, mint egy speciális véges mennyiséget, továbbá nem szabad olyan szómisztikába esni, hogy ha valamire alkalmazunk egy elnevezést (pl. hogy szám), akkor az már az is. A "végtelen" egyébként egy nagyon jó szó (szerintem), mert világosabban aligha lehetne utalni arra, hogy nem lehet befejezett.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 16:22:14   (273)
Ne báncsátok DcsabaS-t!
Ralyta kívül mejikötök büxélkethet asszal hogy 1 komoj nyelvész tudományos elöadást tarcson a vitamócceréről?

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 15:44:38   (272)
Szerintem DcsabaS_ és néhányunk között az okozza a meg-nem-értést, hogy DcsabaS_ nem hajlandó a matematika fogalmait mint fogalmakat elfogadni, a valós világgal kapcsolódó tartalmat próbál hozzájuk rendelni (lásd régebben a tér pontjairól és intervallumairól való vitához tett hozzászólásokat is).

Természetesen a matematikusok is valamilyen módon a való dolgokból indulnak el, de minden esetben tovább lépnek, hagyják, hogy a téma elragadja őket és mindig újabb és újabb "világokat" fedezzenek fel (topológia, csoportelőállítások, funkcionálanalízis, univerzális algebra mittudoménmégmi).
Az már filozófikus mélységű kérdés, hogy ezek az elméletek megszületésük előtt is a való világ részei-e, hogy a matematikusok vajon feltalálók, vagy felfedezők?

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 13:16:47   (271)
Lalo, DcsabaS_!

Bocs, kizökkentem.
Min is vitatkoztok? Mindkettőtöknek igaza van szerintem. Lalo matematikusabban fogalmaz, DcsabaS_ (De rohadt nehéz ezt leírni) filozófikusabb, de nem látom az alapvető nézetkülönbségeket.

A lépcsős ellentmondás a klasszikus példája annak, hogy hogyan nem szabad értelmezni a határértéket.

Egyszer régebben már írtam, vagy célozgattam rá, hogy az összes, ember által kifejezhető jelsorozat csak megszámlálható sok. Ezek közül egy csomó számokat ír le, de nyílván az is csak megszámlálható lehet. Mi meg mégis valós meg transzcendens számhalmazokról beszélünk, amikre esélyünk sincs, hogy leírjuk a tagjait.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 02:19:57   (270)
Kedves DcsabaS_!

Továbbra is homályos vagy és nem válaszolsz a kérdéseimre.

a) Mit értesz a határátmenet beteljesíthetőségén?
Erre definiálod - szépen - a határérték fogalmát. De mi a fene az a beteljesíthetőség? Hol használta bárki is? Netalán önmagaddal polemizálsz?

b) 1 =/= 0.99999999999999999...

Mit jelent nálad a 0.99999999999999999... jelsorozat? Ha a lim (n->végtelen) a(n), ahol a(n)=szumma(k=1,n) 9/10^k, akkor bizony egyenlő az 1 valós számmal definíció szerint. (Ismered ugye a valós számok Cantor-féle definícióját?)

2^(1/2)=/=1.414213562...
Lásd mint fent. Ha a jobboldal egy megfelelően definiált sorozat, pl. a négyzetgyökvonó algoritmus által kapott közelítések sorozata, akkor az egyenlőség fennáll!

c) "A Pi (vagyis a kör kerület/átmérő aránya az euklideszi síkon) nem írható le, sem egész számok véges kommbinációjával, sem racionális számok véges kombinációjával"
Mi ez a véges kombináció? És ki akarja úgy leírni a Pí-t? Már megint saját magaddal viaskodsz!
Egyébként pedig a Pí akár racionális számsorozat határértékeként is megadható, gondolj az Euler vagy a Wallis formulákra! Hasonlóképpen az Euler féle e is és minden valós szám!

d) Mit értesz azon, hogy a transzcendens számokat nem érhetjük el?
Erre se válaszoltál.
Pedig a transzcendens számok akár racionális számsorozat határértékeként is megadhatók! Lásd a c) pontot.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-24 00:40:05   (269)
Kedves Lalo!

Kérdezed:
"Mit értesz a határátmenet beteljesíthetőségén? ..."
"Mit értesz azon, hogy a transzcendens számokat nem érhetjük el? ..."
"Ki és mikor tette fel, hogy az összegzést elvégezhetjük?"

A jelek szerint homályban maradt szövegeimmel a következő problémára kívántam utalni:
Amikor veszünk mondjuk egy konvergens számsorozatot, akkor hajlamunk van úgy szemlélni a konvergenciát, mintha a határértékként megállapítható szám a konvergencia végeredménye lenne. Csakhogy a határérték NEM ezt jelenti. Vagyis nem azt jelenti, hogy a sorozat "előbb-utóbb eléri a határértékét", csupán azt, hogy a határértékként megállapítható számon kívül biztosan nincs másik olyan szám, amire az igaz volna, hogy bármilyen előre rögzített véges értéknél közelebb kerülhetnének hozzá a sorozat elemei, amikor elég magas (de még véges) indexekig elmegyünk.
Maradva a sorozatoknál, a határérték létezése tehát csupán a következő 2 dolog együttes teljesülését jelenti:
1.) Van olyan dolog (mondjuk szám), amihez bármely előre rögzített véges távolságnál közelebb kerülhetünk, ha elég messze (de véges index fölé) megyünk el a sorozatban.
2.) Nincs más ilyen tulajdonságú dolog, csak az az 1.

Azt nem használjuk ki, hogy a sorozat elemei valahonnan kezdődően ténylegesen is egyenlővé válnának a határértékkel. Szerencsére, ugyanis az ellentmondásra vezethetne bizonyos esetekben. Épp ez a be-nem-fejezettség a zseniális a határértékszámításban (:-))).

Néhány példa arra, amikor nem állhat fenn egyenlőség:
1 =/= 0.99999999999999999...
A bal oldalon egész szám áll, a jobb oldalon pedig mindig tört, bármeddig is szaporítsuk a 9-eseket. Az, hogy a jobb oldalon álló sorozat határértéke 1, csupán azt jelenti, hogy az 1-hez minden konkrét véges határnál, még a konkrét végesben közelebb kerül a sorozat, és hogy nincs más ilyen tulajdonságú szám. De azt, hogy az 1 szám egyenlő lehetne a jobb oldalon sorjázó 9-esekkel leírt számmal, NEM jelenti.

21/2=/=1.414213562...
A bal oldalon irracionális szám áll, a jobb oldalon meg mindig racionális. Ezért a jobb oldalon álló szám mindig csak közelítése lehet a bal oldalon állónak, de semmikor sem lehet vele egyenlő.

Pi=/=...
Ezt inkább szóban írom le. A Pi (vagyis a kör kerület/átmérő aránya az euklideszi síkon) nem írható le, sem egész számok véges kombinációjával, sem racionális számok véges kombinációjával, sem pedig úgy, hogy még megengedjük azon irracionális számok használatát is, amelyek gyökei racionális együtthatós algebrai egyenleteknek (21/2 és társai). Ezeket ugyanis bárhogyan is összegezzük, mindig csak algebrai számot kapunk. Így tehát a jobb oldalon mindig algebrai szám áll, a bal oldalon meg nem-algebrai (transzcendens). (Igazából még ennél is "durvább" a helyzet, ugyanis a Pi más transzcendens számok felhasználásával sem kifejezhető, vagyis pl. "e" (a természetes logaritmus alapszáma) segítségével sem. A transzcendens számok algebrai szempontból úgyszólván független világokat alkotnak, ráadásul számosságukat tekintve ők vannak a számegyenesen a legtöbben!)

Még egy érdekesség. Tekintsünk egy lépcsőt, aminek 10 foka van, továbbá 20 cm magas és mély mindegyik. Tehát a lépcső 45 fokos, és összesen 2 m magas és 2 m mély. Ha a lépcsőn úgy megyünk föl, hogy pontosan követjük a lépcső felületét, akkor az általunk összesen megtett út 10x0.2+10x0.2=2+2=4 m lesz. Most módosítsuk a lépcsőt úgy, hogy legyen 20 foka, de fokonként csak 10+10 cm-esek. A megteendő út ekkor is pontosan 4 m lesz. Felezzük meg újra a lépcsőfokok méretét (40 fok, 5+5 cm-rel), de a teljes út ekkor is 4 m marad. Bármeddig is folytatjuk a fokok finomítását, a megteendő út mindig 4 m marad. Amikor már elég finomak a lépcsőfokok, hajlamosak vagyunk egy síma felületet képzelni a helyébe, és a megteendő utat 21/2*2 m-nek venni. Pedig ez helytelen, mert az egy másik helyzetre vonatkozó érték. Attól, hogy egy vonal, vagy felület ránézésre simának látszik, még nem biztos, hogy valóban az.


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-23 15:34:39   (268)
IGEEEEEEN, liviusz!

Azt már én is észrevettem, hogy az aranymetszési arány hatványozásakor együtthatóként bejönnek a Fibonacci számok, de nem tudtam összehozni a tétellel.
Számomra az a fantasztikus a dologban, hogy ez az összegzési módszer szakaszos tizedestörtet hoz létre.

Egyébként ha nem jobbra, hanem balra toljuk el, akkor meg a 109 reciprokát kapjuk! (a bizonyítás nyilván hasonló)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-23 14:01:31   (267)
Kedves DcsabaS_!

Filozófiai fejtegetésedben néhány olyan kijelentést tettél, ami számomra nem nagyon értelmezhető. Megtennéd, hogy ezeket bővebben értelmezed?

a) "Magyarán, amikor egy irracionális számot racionális számokkal közelítünk, az példa olyan közelítésre, ami még akkor sem nem elvégezhető, ha egyébként a határérték egyértelmű. Vagyis egy határérték egyértelműsége még nem garantálja a határátmenet, vagyis a közelítés elvégezhetőségét, beteljesíthetőségét. "

Mit értesz a határátmenet beteljesíthetőségén?

b) "Más szóval, nemcsak az igaz, hogy racionális számokkal nem érhetjük el az irracionális számokat, de még az is, hogy az irracionális algebrai számokkal sem érhetjük el a transzcendens irracionális számokat!"

Mit értesz azon, hogy a transzcendens számokat nem érhetjük el?

c) "de az már egy további feltevés, hogy az összegzést ténylegesen el is végezhetjük. Kényelmes, de szükségtelen feltevés"

Ki és mikor tette fel, hogy az összegzést elvégezhetjük?

Lalo


liviusz válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-18 19:51:40   (266)
Bizonyitas architectnek:
1. Ismert (vegyuk eszre :-), hogy a Fibonacci szamok igy is kifejezhetok: f_n=1/s5*(((1+s5)/2)^n-((1-s5)/2)^n), ahol s5 az 5 negyzetgyoket jeloli.
2. Az altalad megadott sor
sum(f_n/10^n)=sum(1/s5*(((1+s5)/20)^n-((1-s5)/20)^n), (a sum 0..vegtelen osszegzest jelol), a szumma alatt a ket taghoz tartozo sor kulon is konvergens, a sum(q^n)=1/(1-q) keplet jatszik.

3. Tehat sum(f_n/10^n)=1/s5*(1/(1-(1+s5)/20)-1/(1-(1-s5)/20))= 1/40*(19+s5)*(19-s5)=89/10.

Lehet, hogy elszamolas/eliras van benne, de ilyesmi a favago bizonyitas, meg eleminek is lehet nevezni. Egy igazan szellemes bizonyitasra viszont en is kivancsi lennek.
L.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-18 18:47:53   (265)
Igaznak igaz, de pillanatnyilag csak meglehetősen komplikált (nem elemi) bizonyítási lehetőségek jutnak az eszembe. Pedig biztosan be lehet bizonyítani elemi módszerekkel is. (Amúgy "tapasztalatilag" meggyőződni könnyű róla, pl. egy Excel táblázat segítségével.)

qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-18 17:47:19   (264)
Biztos, hogy igaz?
Honnan tudod?

architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-18 16:35:16   (263)
Beírom még 1x, mert tényleg nagyon érdekel:

Van egy jó kis tételem:
Írjuk le egymás mellé/alá egy-egy tizedesjegynyi jobbratolással a Fibonacci-sorozat elemeit, majd adjuk össze! Írjunk az összeg elé 0,0 -t hogy kijelöljük a helyes nagyságrendet! A kapott eredmény a 89 reciproka!!
Valaki tudná bizonyítani?? Nekem nincs ötletem, hogy ezt hogy a túróba lehet bizonyítani, pedig igaz!!

Szóljon valaki, ha belekezd!!


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-18 16:28:28   (262)
Kedves qsqa!

Igen, azt el tudom fogadni, ha valaki komplikáltabbnak látja a "0,3333..."-ot, mint az "1/3"-ot.
Egyébként talán még ennél is érdekesebb lett volna a "(n megy 1-től) summa [ 9 * (1/10) ^ -n ]"-et tekinteni, hogy az vajon milyen értelemben azonosítható az 1-gyel. Ugyanis az egyik oldalon egy egész szám (mit egész szám, "az" egész szám) áll, a másikon pedig mindig egy tört, bármeddig is menjünk el az összegzésben. Világos tehát, hogy ez a kettő semmikor sem lehet egyenlő egymással. (Egyebek mellett csomó számelméleti okoskodásnak is visszatérő gondolata, hogy az egyenlőség nem állhat fenn, ha az egyik oldalon egész, a másikon pedig egy valódi tört áll.) Amikor tehát észrevesszük, hogy az "1"-en kívül semmilyen más számra nem igaz, hogy korlátlanul közelíthetene hozzá a sorozat, és ezt kifejezendő leírjuk, hogy "lim (n megy 1-től) summa [ 9 * (1/10) ^ -n ] = 1", ez még nem jelenti a határátmenet befejezettségét, vagy befejezhetőségét. Kicsit olyan ez, mint amikor egy közösségből csak XY lehet egy UV verseny győztese (mert hogy a közösségből csak ő indul rajta), de nem tudhatjuk hogy tényleg nyerni fog-e, mert nem tudjuk hogy lefolytatják-e egyáltalán a versenyt, és ha igen, nem lesznek-e ott szerencsésebb, általunk figyelembe nem vett versenyzők.


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-18 12:11:17   (261)
kedves DcsabaS,

írod: "az ilymódon definiált szám nem biztos, hogy ugyanolyan számként létezik, mint azok, amelyeket véges számlálással állítottunk elő." Persze. Én sem állítottam az ellenkezőjét. Csupán arra céloztam, hogy az (1/3) nekem 'számabb' mint a 0,3333...


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-17 19:55:31   (260)
Kedves qsqa!

off
Valóban, 15-én visszaérkeztem (:-))).
on

Írod:
"Nos az én olvasatomban (1/3) az a R szám amelyre igaz, hogy 3 * R = 1"
Igen, ezt lehet mondani, csak éppen emlékezni kell rá, hogy az ilymódon definiált szám nem biztos, hogy ugyanolyan számként létezik, mint azok, amelyeket véges számlálással állítottunk elő. A véges számú, egész lépésekben történő előreszámlálással még nincs gond. Nem véletlen, hogy éppen erre a tőre megy vissza a szám fogalom is, és hogy a halmazelméleti számosság meghatározásánál is vissza kellett lépni attól a korábban általánosan igaznak vett burkolt feltevéstől, hogy egy számlálás biztosan befejezhető. De talán haladjunk sorban:

1.) Véges számú, egész lépésben történő előreszámlálással előállíthatjuk a természetes számokat.

2.) De az előreszámlálás inverzéről (visszaszámlálás) már nem állítható, hogy az is ilyen könnyen folytatható, mert belátható, hogy bármely természetes számtól induljunk is el a visszaszámlálással, az előbb-utóbb akadályba ütközik. Esetleg a nullát még ki tudjuk magyarázni valahogyan, de azután már nincs tovább: a visszaszámlálás onnantól csak akkor folytatható, ha más típusú mennyiségeket vezetünk be, mint amelyeket korábban megszoktunk! Éppenséggel ezeket is nevezhetjük számnak (ti. negatív számnak), de ezek eltérése a természetes számoktól egyáltalán nem csupán a mínusz jel, hanem az, hogy valamiképp feltételes jellegűek. Ha nekem -3 forintom van, akkor az nem azt jelenti, hogy ténylegesen van pénzem, hanem éppen azt, hogy ha kapnék valakitől 3 forintot, még akkor sem lenne.

3.) A szorzással ugyan nincs különösebb probléma, de annak inverz műveletével, az osztással már igen. Kiderül ugyanis, hogy amíg az előbb kifundált egész számok körében a szorzás mindig elvégezhető művelet, az osztásra ez nem igaz! Tudomásul vehetjük, hogy bizonyos osztásokat a számok körében nem lehet elvégezni, vagy pedig nincs mese, ismét csak kénytelenek vagyunk olyan új fajta (tört) mennyiségeket bevezetni, amelyek körében majd (szinte) mindig lehet valamilyen (szintén feltételes) értelmet tulajdonítani az osztásnak. Az így kifundált mennyiségeket ismét nevezhetjük számoknak, de ez nem teszi semissé a különbségeiket az ún. egész, vagy pláne az ún. természetes számokhoz képest. (Megjegyzendő, hogy a most kreált racionális számoknak a halmaza olyan értelemben nem teljes, hogy a x/0 típusú osztásokat még mindig nem teszi értelmezhetővé.)

4.) Újabb műveletként bevezethetjük az egész kitevős hatványozást, ami végrehajthatóság szempontjából nem okoz kellemetlen meglepetést (talán annak kivételével, hogy az X0 típusú hatványt külön kell értelmeznünk), de ennek az inverzeivel is baj van, akár a logaritmuskeresést, akár a gyökvonást tekintjük. Maradva az utóbbiaknál, úgy találjuk, hogy a lehetséges számok egész kitevős gyökeit sem mindig leljük meg a korábban megismert számok között, vagyis a gyökvonás sem bizonyul olyan műveletnek, amely feltétlenül végrehajtható. Ha nekünk a végrehajthatóság mégis fontos (márpedig a fizikai valóságból tudjuk, hogy az!), akkor ismételten arra kényszerülünk, hogy módosítsunk korábbi szám fogalmunkon. Kénytelenek leszünk bevezetni a képzetes és a komplex számok fogalmát, hogy a X2 = -1 jellegű hatványozás inverzét képezhessük, de kénytelenek leszünk bevezetni az irracionális számok fogalmát is, amelyek legegyszerűbbike az X2 = 2 hatvány invertálhatóságához kell. (Már a régi görögök is ismerték.) A képzetes és az irracionális számok közötti fontos eltérés, hogy amíg a képzetes számok nem közelíthetők meg nem képzetes (tehát valós) racionális számokkal minden határon túl, addig az irracionális számok bármelyike tetszőlegesen megközelíthető racionális számok sorozata segítségével, noha az a feltevés mégis ellentmondásra vezet, hogy a sorozat végül "beletalálna" az irracionális számba! Magyarán, amikor egy irracionális számot racionális számokkal közelítünk, az példa olyan közelítésre, ami még akkor sem nem elvégezhető, ha egyébként a határérték egyértelmű. Vagyis egy határérték egyértelműsége még nem garantálja a határátmenet, vagyis a közelítés elvégezhetőségét, beteljesíthetőségét.
Általában elvárhatjuk, hogy minden algebrai egyenletnek legyen megoldása. E megoldások (valós, vagy komplex) ugyan szinte mindig irracionálisak, de ugyanakkor belátható, hogy az ilyen algebrai irracionális számok mégis kevesebben vannak, mint a nem algebrai (transzcedens) irracionális számok. Más szóval, nemcsak az igaz, hogy racionális számokkal nem érhetjük el az irracionális számokat, de még az is, hogy az irracionális algebrai számokkal sem érhetjük el a transzcendens irracionális számokat!
5.) Példákat hoztam arra, hogy egy közelítés akadálytalanul folytatható minden véges határon túl, de mégsem tekinthető semmikor sem befejezettnek. A határértékszámítás lényege, hogy az időnként "számnak" titulált, vagy felfogott határérték helyébe mindig tehetünk egy bizonyos közelítő "lépegető logikát", de nem mindig tehetünk egy véges számot ellentmondások felbukkanása nélkül.

Visszatérve a kiindulási kérdésre, a "lim (n megy 1-től) summa [ 3 * (1/10) ^ -n ] = 1/3" jelentése az, hogy az 1/3 számon kívül nincs más szám, amihez minden határon túl közeledne az "(n megy 1-től) summa [ 3 * (1/10) ^ -n ]" összeg, de az már egy további feltevés, hogy az összegzést ténylegesen el is végezhetjük. Kényelmes, de szükségtelen feltevés.


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-17 11:29:08   (259)
off

welcome back, DcsabaS_ !

on

Nos az én olvasatomban (1/3) az a R szám amelyre igaz, hogy 3 * R = 1, valamint 3 * R = R + R + R, mivel 3 egész (és véges). Azt persze lehet vitatni, hogy 1/3 = 0,33333... Mert mit is jelent jelent ez a 0,333... ? Valami olyasmit hogy: lim (n megy 1-től) summa [ 3 * (1/10) ^ -n ]. Tehát egy határérték. És akkor most utalnék DcsabaS_ egy korábbi írására az Ő határérték-fogalmáról. lásd: 1999-08-03 01:20:10


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-17 11:19:17   (258)
Van egy jó kis tételem:
Írjuk le egymás mellé/alá egy-egy tizedesjegynyi jobbratolással a Fibonacci-sorozat elemeit, majd adjuk össze! Írjunk az összeg elé 0,0 -t hogy kijelöljük a helyes nagyságrendet! A kapott eredmény a 89 reciproka!!

Valaki tudná bizonyítani?? Nekem nincs ötletem, hogy ezt hogy a túróba lehet bizonyítani, pedig igaz!!


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-17 08:39:23   (257)
Kedves Soti!

Bemelegítés:
Az általános iskolában úgy tanítják (vagy nekünk még úgy tanították), hogy: 3 * 5 = 5 * 3 (és hasonlók.) Később persze (a középiskolában) ebből gond lett, ugyanis addigra oly mélyen beivódott a nebulók fejébe a kommutativitás eszméje, hogy már alig-alig lehetett megérttetni velük: nem általános igazság, hogy bármely két dolog sorrendje fölcserélhető, még a számok világában sem (amelyek ha áttételesen is, de szintén a valóságos viszonyok tükrözésére lettek kitalálva). Hogy újból érthető legyen a kommutativitás korlátozott érvényessége, azt a példát szoktam felhozni, hogy vajon "ugyanaz-e, ha 3 napon keresztül kapunk naponta egy 5 forintost, vagy 5 napon keresztül kapunk naponta egy 3 forintost?" Ebből ki szokott derülni, hogy semmiképp sem lehet szó igazi azonosságról, vagy igazi egyenlőségről, hiszen amíg az első egy lehetséges, addig a második egy lehetetlen esemény. Vagyis egy 3 * 5 = 5 * 3 típusú összefüggés még ebben a merőben ártalmatlannak tűnő helyzetben is csak korlátozottan érvényes. Ha a valóság érvényesebb leírására törekszünk, akkor elkerülhetetlen megalkotnunk olyan matematikai fogalmakat is, amelyek kifejezhetővé teszik a dolgok esetenkénti föl nem cserélhetőségét.

Kérdésed felé közelítve, az
1 = 1/3+1/3+1/3 összefüggés jelentése NEM teljesen azonos az
1/3+1/3+1/3 = 1 összefüggésével.
Az én olvasatomban ugyanis az első az egység felosztását, azon belül harmadolását jelenti, a második pedig egy korábbi harmadolás harmadjainak az újbóli egyesítését. Míg az utóbbi lépés önmagában többnyire lehetséges, addig a harmadolás általában nem (lásd szögharmadolás). Nemcsak arról van szó, hogy nekünk "véletlenül" nehezebb egy művelet inverzét (itt most a felosztást) elvégeznünk az eredeti művelethez (itt most az egyesítéshez) képest, hanem hogy létezhetnek bizonyos általánosabb nehézségek is.

Még tovább közelítve az általad felvetett kérdéshez, az
1/3 = 0.33333... természetesen szintén NEM teljesen azonos az
0.33333 = 1/3... összefüggéssel,
hiszen az első egy olyan darabolást jelent, amikor megpróbáljuk az egységnek egy 3/10, 3/100, 3/1000, stb. darabjait kiemelni, majd ezeket "menet közben" egyesíteni, a második pedig a már létező 3/10, 3/100, 3/1000 darabok egyesítését fejezi ki, de úgy, mintha az befejezett lenne. Egyébként mindkét dolog problémás, hiszen a felosztás NEM mindig lehetséges (mint az előző pontban is írtam), az egyesítés pedig nemigen fejezhető be (értsd: "teljesíthető"), ha az egy végtelen folyamat.

Egyszerűnek látszó kérdésed tehát legalább 3, a matematika alapjait érintő fontos dologgal kapcsolatos:
1.) mennyiségek közötti nem minden művelet kommutatív;
2.) nem hajthatók végre tetszőleges arányú felosztások;
3.) egy korlátlanul végezhető folyamat még nem biztosan befejezhető.

Mindhárom esetben az történt, hogy a matematika fejlődése során utólag kellett visszatérni ezekhez az óvatosabb meggondolásokhoz, mert hogy egy időben természetesnek vették (veszik) a dolgok "gátlástalan" csereberélhetőségét, oszthatóságát és a végtelen befejezhetőségét.


Soti válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-17 00:20:48   (256)
Be tudná valaki bizonyítani, hogy az egy miért nem egy?
(1 = 1/3+1/3+1/3 = 0,99... - vagy valami ilyesmi)

Nagyon köszönöm!
Soti


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-12 10:21:43   (255)
Kedves Hacsek!

Szeretnélek ismét emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát. (Én definiáltam a szokásosat.) Amit eddig produkáltál ez ügyben, az KKD.

Lalo


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 18:22:31   (254)
Na, látom, sikerült felmelegítenem egy lerágott csontot :-))))

Kedves Hacsek, örülök, hogy újra itt vagy, de - előre is bocsánatot kérek - nekem szúrja a szemem, hogy már sokadszor a Te elméletednek nevezel valamit, amiről hiába kérdezünk Tőled bármit, gyakorlatilag semmit sem árulsz el. Mintha elmélet nem is lenne, csak egy érdekes szemlélet, amibe jól belegondolva Te is látod az ellentmondásokat. Amik bizony sokkal súlyosabbak, mint amikkel akkor találkozol, ha megpróbálod elfogadni a klasszikus szemléletet.
Az intervallumos tételről meg annyit: ez az érdekes, de tényleg nem túl fontos eredmény csak arra bizonyíték, hogy a végtelent bevonva a játékba olyan eredményekre jutunk, ami a véges dolgokhoz szokott elménk számára ellentmondásnak tűnik. De hát ilyeneket "már a régi görögök is tudtak" , ld. Achilleus és a teknőc esetét stb.

Kedves architect, a Te gyakorlati tapasztalatod ezek szerint egybecseng az elmélettel.

Kedves GPF, a kvaterniókról sajnos nekem sincsenek pontos emlékeim.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 17:33:00   (253)
Kedves GPF!
A KKI helyi megállapodás szerint a kurva kicsi intervallum rövidítése.

SZVSZ ha csökkentjük a racionális számokat "takaró" intervallumokat, akkor rá kell döbbennünk, hogy közöttük intervallumok vannak. Ez volt az én kis elméletem.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 17:08:32   (252)
Szia Hacsek!

Már hiányoztál, alig vitatkoztunk.

Mi az a KKI?

Szerintem elég sok olyan dolgot lehetett itt találni, ami rámutat a rac és az irrac számok közti különbségre. Ez tényleg érdekes volt, de kb annyira, mint a kiinduló feladat, a csak az irrac számokon folytonos függvény. (Bocs Ebey)

Mihez közelítünk, ha csökkentjük az intervallumokat?


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 16:11:32   (251)
Kedves Ebey és GPF!

Itt vagyok, mert olvastam végre egy pozitív elméletet Ebey-től.

"Ha c elég nagy (nagyobb, mint (3+gyök(5)/2)), akkor minden p/q racionális számot lefedve a [p/q-1/(c*q2), p/q+1/(c*q2)] intervallummal, lesz olyan irracionális szám, amelyet az intervallumrendszer nem fed le.. "
Íme a KKI-ket elválasztó falak. Ha ezeket az intervallumokat (például a q kitevőjének növelésével) csökkentjük, szép lassan közelítünk a ...
Na mihez is?

Szerintem ha ezt ragozzátok még egy kicsit, jó kis bizonyítékot találtok az elméletemre. Kíváncsian várom...


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 16:02:54   (250)
Kézzel? Hát, nem tudom.

architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 15:46:19   (249)
Kedves Ebey!
Nagyon érdekes amit írtál a négyzetosztós problémáról.

Én adok egy igen durvának látszó, de meglepően pontos becslést a négyzetosztós számok gyakoriságára: 40%. Ez az érték jórészt független a szám nagyságrendjétől. Hasonló eredmény, mint a te 6/pinégyzetes ellenpróbád, a gyakorlatból megerősítve. Ráadásul a négyzetosztós számok meglehetősen egyenletesen helyezkednek el, 100 szám között majdnem mindig 38-42 négyzetosztós van.

GPF-nek: az első nyolcas sorozat tudtommal kilences is. Nem próbálod meg mégis?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 15:13:46   (248)
Hú, nekem a Nieven-Zuckermannal van egy elég kellemetlen emlékem. Elég máshogy tárgyal ez a könyv egy csomó mindent, mint nálunk az egyetemen volt szokás, de egyszer ebből készültem vizsgára, s azt hiszem a vizsgáztató nem igen értette. Hát, elég kellemetlen volt.

Ilyenek vannak benne, hogy négyzetmentes számok?

Érdekes ez a tétel a rac. irrac számokról. Szóval Hacsekre visszatérve, biztos van egy csomó minden, ami megkülönbözteti, jellemzi a rac és az irrac számokat. Felesleges új, homályos dolgokat bevezetni.

Más.
Már itt is szóba kerültek a quaterniók. Nem sokat tudok róluk, de egyik kollégám elég érdekes dolgokra emlékezett (félig)
Hogy ez a legbővebb valamilyen valami? Meg hogy a csoport, gyűrű, test sorazatban van még valami ezek után is?


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 13:22:30   (247)
Kedves GPF,

a tegnap estét Nieven-Zuckermann számelmélet könyvével töltöttem. Jó régóta nem volt a kezemben, egészen elvarázsolt.
Ebben a könyvben van bizonyítva az a*n/ln(n) < p(n) < b*n/ln(n) tétel is. Jellemző, hogy ami egyetemi emlékeimben aránylag elemi bizonyításnak tűnt, most elolvasva alig értettem meg. :-(
A könyv egy másik tétele szerint a négyzetmentes számok sorozatának a sűrűsége 6/pi2 (ez kb. 0,6), ahol egy A számsorozat sűrűsége= lim(A(n))/n), ahol A(n)=az A sorozat n-nél nem nagyobb elemeinek száma.
Persze ez is csak olyan "aszimptotikus" dolog, lehetnek a sorozat viselkedésében anomáliák, tehát ebből nem következik, hogy a nem négyzetmentes számok sorozatában nincs akármilyen hosszú "intervallum", csak inkább ellene van, mint mellette.

Más, szintén a könyvből: Ha c elég nagy (nagyobb, mint (3+gyök(5)/2)), akkor minden p/q racionális számot lefedve a [p/q-1/(c*q2), p/q+1/(c*q2)] intervallummal, lesz olyan irracionális szám, amelyet az intervallumrendszer nem fed le.. Ez is elég bizarr, nem? Egy kicsit visszarímel a Hacsekkel folytatott polémiára.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 12:02:25   (246)
Tisztelt Ebey

Tényleg tetszik, amiket írsz.

Tegnap én is elkezdtem előszedni a szekrények mélyéről a régi jegyzeteimet, meg könyveimet, de ebben ki is merült a matematikai tudásom felfrissítése.

Honnan vetted, hogy a négyzetmentes számok olyan sokan vannak? Még mindig azt érzem, hogy akármilyen hosszú lehet az a sorozat.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-10 11:35:02   (245)
Kedves GPF,

igazad van abban, hogy a Prímszámtétel azt mondja ki, hogy p(n) aszimptotikusan egyenlő n/ln(n)-nel.
De bizony lehet olyant állítani, amit írtam. Utánanéztem tegnap este, hogy pontosan emlékszem-e dolgokra, ebben nem tévedtem, a=ln(2)/4, b=32*ln(2) értékekkel valóban igaz az az állítás, amit írtam.

Sajnos a gondolatmenet, amit leírtam, valóban zsákutca (jó volt a megérzésed, Neked nem igen tetszett ;-))). Ugyanis a négyzetszám osztó-mentes számok száma nem nagyon marad le az n értékétől, pontosabban, az 1,2,...n számok megközelítőleg 60%-a négyzetmentes minden n-re.
Ennek ismeretében valóban az a valószínűbb, hogy nincs túl hosszú sorozat, melynek minden tagja osztható négyzetszámnmal. Persze azért még lehet (ugye a pénzfeldobásnál is kb. az esetek fele írás, de azért előfordulhat akármilyen hosszú írás-sorozat is). Viszont akkor érdekes kérdés, hogy hány elemű a maximális ilyen sorozat.

Még valamit találtam, ami tetszeni fog Neked: abból, hogy a*n/ln(n) < p(n) átrendezéssel adódik, hogy gyök(n)/p(n) < ln(n)/a*gyök(n)
Az egyenlőség jobb oldala 0-hoz tart, ez nyilvánvaló. Tehát a bal oldal is 0-hoz tart. Ebből viszzont az következik, hogy gyök(n) (kb. a négyzetszámok száma n-ig) lassabban nő, mint p(n) (a prímek száma n-ig). Vagyis, a négyzetszámok "ritkábban fordulnak elő" mint a prímszámok. Ez egybevág a GPF-sejtéssel (bár egyáltalán nem bizonyítja azt!).


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 17:48:17   (244)
Ja, nekem a prímszámokkal kapcsolatban nagyon tetszik a nagy prímek vadászata, meg hogy az internet segítségével sorba döntik a szuperszámítógépes rekordokat.
Nemrég megint megdőlt egy álomhatár, milliónál több jegyű prímet találtak.
(Sajnos számítógéppel...)
Erről bővebben: www.mersenne.org

(Nem szokott sikerülni linket betennem.)


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 17:42:14   (243)
Ebey

Nem úgy van pontosan a prímszámtétel, hogy p(n) asszimptotikusan egyenlő n/ln(n)-nel? Vagyis, hogy p(n)/(n/ln(n)) tart egyhez? Nem tudom, hogy ez elég jó-e a Te gondolatmenetedhez. Meg, azt hiszem, hogy ilyeneket nem lehet állítani, hogy p(n) < ... mindig igaz, csak egyre többször igaz.

Nem tudom, most mondtam-e valamit, de nem igen tetszenek nekem az ilyen bizonyítás kezdetek...


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 17:24:27   (242)
Szerintem is akármilyen hosszú lehet a négyzetosztós sorozat, bár bizonyítani még nem tudom. Azért azt leírom, hogyan gondolkodtam, hátha valaki tovább tudja vinni.

Az ötletem az, hogy számoljuk meg azon n-nél kisebb számok számát, amelyeknek nincs négyzetszám osztója. Ha ezek elég kevesen vannak n-hez képest, akkor (a skatulya-elv szerint) van közöttük elég hosszú olyan sorozat, melynek minden tagjának van négyzetszám osztója.

Ha egy számnak nincs négyzetszám osztója, az pontosan azt jelenti, hogy a prímtényezős felbontásában szereplő minden prím első hatványon szerepel. Mivel n-hez képest egyre kevesebb az n-nél kisebb prímek száma, ezért az ezekből képezhető 1-2-3-stb. tényeztős szorzatok száma is (remélhetőleg) egyre kisebb n-hez képest, ezért várhatóan egyre hosszabb négyzetszám-osztós sorozatok találhatók.

Jelölje p(n) az n-nél kisebb prímek számát. Alább már elhangzott, hogy "p(n) megközelítőleg n/ln(n)". Ez igazából úgy hangzik pontosan (Prímszámtétel), hogy léteznek olyan a és b valós számok, hogy minden n -re a*n/ln(n) < p(n) < b*n/ln(n). Minél nagyobb a és minél kisebb b értékeket találunk, annál pontosabban becsülhető a p(n) értéke. Na most biztosan van /i>b-re kisebb érték is, de egy aránylag elemi bizonyítás van rá, hogy b=32*ln(2)-re igaz a tétel.

Tehát tudjuk, hogy adott n esetén p(n) < 32*ln(2)*n/ln(n), azaz ennél kevesebb prím van n-ig. Egy jó becslés kellene arra, hogy ezekből a prímekből hány olyan szorzat képezhető, amelyik n-nél kisebb.

Az összes lehetséges szorzat száma (2p(n)) sajnos nem jó, abból nem jön ki, amit szeretnék. Erősebb becslés kellene.


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 17:06:05   (241)
a nagy b 'nyomdahiba' volt. Tehát helyesen: a^f(b) = 1 mod b.
f(n) az Euler fi függvény, azaz a n-nél kisebb n-hez relatív prímek száma.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 16:58:18   (240)
Az n/ln(n)-t Gauss sejtette meg, azt hiszem e században bizonyították, és Erdős adott rá elemi bizonyítást, mint annyi mindenre.

Tudtom sincs gyors primfaktorizáció. Pár titkosszolgálat beszarna, ha valaki kitalálna. Azért 3-4 éve még nem gondoltam, hogy 1 perc alatt lefut egy ilyen program.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 16:55:12   (239)
Igazából azért próbáltam én is először géppel megoldani, hátha rájövök valami szabályszerűségre, amit aztán be lehetne látni. De nem jöttem rá.
Semmi bajom a kikapcsolódásoddal. Csak nekem ez épp fordítva van, annyira hülye elvont dolgokkal kell foglalkozom, hogy ha kikapcsolódni akarok, valami olyat szeretnék, ami vagy fizikai igénybevétellel jár, vagy tárgyiasul valahogy. Neked az épületeid tárgyiasulnak, nekem max egy gomb lesz a képernyőn az eredményem, vagy még az se.
De ez már nagyon Off volt.

Azért az nem volt meggyőző, hogy első ránézésre mi hogyan viselkedik.

Azt tudod, hogy vannak prím szigetek is? Tehát hogy egy prím előtt is, után is akármennyi összetett szám? (Biztos tudod, ha a prímek a kedvenceid. Van prímszámos pulóvered?)


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 16:25:26   (238)
GPF!
Szerintem nemigen lehet túl nagy négyzetszámosztós sorozat. Ott érzem az analógiát a Fermat-sejtéssel, hogy az első reakció a kérdésre az: már miért ne lehetne? Aztán ha megpróbálod, előjönnek a problémák. Én próbáltam.

(Az IRL=In Real Life= személyesen, nem dróton keresztül)
Nekem ez a prímszámolás az egyik tökéletes kikapcsolódásom. Én is tudnám gépen futtatni, sőt van is saját programom gyors elemzésre, keresésre, de a program csak addig érdekelt, amíg az algoritmus készült a különböző esetekre. És továbbra is kockás papír, golyóstollal kapcsolódom ki.


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 16:15:20   (237)
qsqa!
Nem értem, mi az az f(b) és mi a B.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 16:12:38   (236)
Azt azért nem állítanám, hogy a programozás csak gép kérdése. Pl. az algoritmusok sebessége kb. 100-szor gyorsabban nőtt, mint a vasé az elmúlt 40-50 évben, s ez mutatja, hogy nem csak gép kérdése a dolog.

Nekem inkább az a sejtésem, hogy bármekkora ilyen sorozat létezik.

Értem a príszorzós módszert. Ez tényleg takarékosabb.

Miért foglalkozol kézi leírással? Arra miért nem jó a gép? Bocs, nagyon tudatlan vagyok, de mi az az IRL?

Én Hacseknek erre az érvére nem emlékszem, de persze nem is igaz, vagy csak annyira igaz, mint a megszámlálhatóra.


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 15:24:45   (235)
architect,
amit Te felfedeztél, az Fermat tételének csak speciális esete, ő ennél többet mondott. Ha jól tévedek azt, hogy ha a és b relatív prímek, akkor a^f(b) = 1 mod B.
Nos, ha b prim, akkor f(b) = b-1. Hát így.
Más: igen, mintha rémlik valami a n/ln(n) -ről. De honnan is van ez?
Ja igen az előbb a f(n) az Euler fi függvény, azaz a n-nél kisebb n-hez relatív prímek száma.

GPF,
a komputer télleg jó ilyen problémákra szerintem is, de ha kicsit nagyobb számokkal akarunk játszani, elindítod a szoftvert és mire kijön, addigra kihűl a Nap. A prímfaktorizáció problémájára tudtommal nincs polinomidejű algoritmus.


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 11:24:19   (234)
GPF!

A programozás csak gép kérdése. Az ilyen feladatoknál szerintem maga a kérdés megfogalmazódása a legérdekesebb, és az, hogy megpróbálunk saját kútfőből elindulni.
(pl. azt mondjuk, hogy keressünk egy olyan "ritka" négyzetszámot, aminek a környezetében "magától" van 4-gyel, 9-cel, 25-tel osztható szám). És no lám, a te gépes megoldásod pont ilyesmi.
Nem állítom egyébként, hogy bármilyen hosszú sorozat létezik. Igen kicsi az esélye, hogy 20-30 ilyen szám bárhol is lenne egymás mellett (kicsit a Fermat-sejtés analógiáját érzem benne).
Ha már Fermat-nál tartom. Én életem egyik legnagyobb eredményének tartom, hogy "felfedeztem" Fermat kisebbik tételét: (a^p-a) osztható p-vel, ha p prímszám. Úgy értem, hogy felfedeztem, hogy anélkül találtam meg és bizonyítottam a tételt, hogy tudtam volna róla, hogy van ilyen tétel. Sőt, igazából akkor kezdtem büszke lenni, amikor a Természettudományi kislexikonban megtaláltam az "én" tételemet.

A nemprím-sorozathoz: az én prímszorzós módszerem ugyanúgy jó, mint a te faktoriálisaid, csak kisebb számokat ad.
Pl. ha 100-as nemprím sorozatot generálok, akkor 2-től 97-ig összeszorzom a prímeket. Az adott számtól kezdve legközelebb a 101. lehet prím. Ez sokkal kisebb, mint 100! Érted ugye?

(Az az őrült, aki a prímtényezős felosztás kézzel való leírásával szórakozik, az persze én vagyok. Ha érdekel a lista, IRL meg tudom mutatni.)

Nem azért, mert építész kollégám, de azt hiszem, hogy a nagy vitában Hacseknak azért lehet valami igaza. Én nem tudnám ezt bizonyítani (valószínűleg ő sem), de a számosságok különbözősége miatt nemigen lehet másként. Az pl. egy nagyon jó érve volt, hogy egy kontinuumot akárhány részre osztunk is, a részletek ugyancsak kontinuumok maradnak. Hogy ez valóban bizonyítja az ő elméletét, azt persze nem tudom.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 10:54:38   (233)
architect!

Nem igen érdemlem meg a gratulációt, gépen futtattam. De úgy érzem, hogy az ilyen jellegű feladatokat érdemes gépen megoldani. Kb. fél óra volt gondolkodással, programozással, futással együtt. Nem hiszem, hogy ezt gyorsabban meg lehet oldani csak gondolkodva. (Bár miért ne, ha valaki nagyon okos.) A szellemi örömöt ilyenkor esetleg az okozhatja, hogy tudok-e olyan programot írni, ami emberi időn belül lefut. Bár ez nem volt annyira nehéz feladat ilyen szempontból.
Az az állításod, hogy bármennyi egymást követő négyzetszámmal osztható szám van? Ezt persze nem lehet géppel belátni.
8-as sorozat nincs millióig.

Azt hittem, azzal bántottalak meg, hogy azt hittem, hogy azt hiszed, hogy van leghosszabb nemprím sorozat. (Ez szép mondat volt.)

Tudom, hogy pazaroltam, de az n!-os módszer biztos jó eredményt ad. Nem tudok más olyan módszert, ami biztosan nemprímeket generál.

Az utolsó kérdésemet nem csak Neked szántam. Igen a Hacsek kérdés utózöngéje, de azért feszegetem, mert egyelőre úgy tűnik nekem, hogy a számosságukon kívül is valami lényeges eltérést találtunk, ami egy kicsit Hacseket erősíthetné.
Az mit jelent, hogy a Te világod a prímszámelmélet? Szeretsz kézzel kiszámolni dolgokat?
Azt nem láttam, de tudom, hogy félelmetes dolgokra képesek emberek.
Ki számolta 30 évig a pi jegyeit?

A másik. Az n/ln(n) akármilyen rossz is lehet, ha a különbséget nézzük. A hányados közelít jól, ezért sem igen lehet ilyen bizonyításokban használni.


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 10:26:30   (232)
Kedves GPF!

Gratulálok, valóban ez a legkisebb megoldás.
Ha arra céloztál, hogy számítógépen futtatad le, az valóban nem túl sportszerű. Én annak idején megtaláltam ezt a megoldást a 113 négyzete körül, és csak azután néztem meg géppel, hogy van e kisebb megoldás.
Tudsz-e nyolcas sorozatot is? Ha megvan, majd jön a kilences is!

Egyébként nem tudom, mivel bántottál volna meg.

Más.
Amikor az egymás melletti nemprímeket generáltad a faktoriálissal, akkor nem hibát követtél el, csak pazaroltál. Tudniillik ahhoz, hogy pl. az X+6 ne lehessen prím, elég ha X minden prímszámmal (pl. 2 és 3) csak első hatványon osztató. az X=n! esetén túl nagy a ráhagyás, tehát a legkisebb megoldás valószínűleg nem ebből, hanem valamely "véletlen" esetből jön. Valószínűleg nem is az én metódusomból, de az sokkal kisebb számokat ad mint az tiéd. Én ugye 29-ig szoroztam össze a prímeket, és ez egy tízjegyű szám lett. A 29! 30-jegyű. Ezek szerint ebben a nagyságrendben 3-szoros ráhagyásod van hozzám képest.

Utolsó kérdésedet nem értem. Ez nyilván még a Hacsek-kérdés utózöngéje, de én abban nem szóltam, mert túl elméleti kérdésnek láttam. Az én világom a prímszámelmélet!
Láttad már kézzel leírva az első százezer szám prímtényezős felosztását (nem computerrel számolva)?!


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-09 10:08:26   (231)
Kedves qsqa!
Abból a (nagy számokra) viszonylag ismert becslésből vezettem le, mi szerint 1 és n között kb. n/ln(n) prímszám van. Ez a képlet azért jó, mert nem pontos ugyan gyakorlati esetekben, de igen jól közelíti a valóságot. Abból, hogy a képlet ilyen egyszerű, feltételezni lehet egyfajta mély valóságot.

A Stirling-képlettel más a helyzet: szerintem az küszködések árán született valami, és ez abból is látszik, hogy nagy számokra egyre pontatlanabb.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 22:24:22   (230)
architect
De miért elég a prímszámok szorzatát figyelni? Ill. melyik prímszámokét? Hogy van ez?

Ja, a racionális és irracionális számok egymásba alakíthatóságáról kimondott állításunk mennyire trivi? Következik az a számosságuk közti különbségekből?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 22:17:27   (229)
Az első hét egymást követő szám, aminek van négyzetszám osztója:

217070 (49), 217071(9), 217072(4), 217073(12769=113^2), 217074(121), 217075(25), 217076(4)

A számok mellett az osztó.
Nem volt fair, mert asszem a megengedettnél több segédeszközt vettem igénybe.
Nem tudom, hogy lehet rá valami összefüggést találni.

1.000.000-ig van még:

671346(9), 671347(289), 671348(4), 671349(49), 671350(25), 671351(2809), 671352(4)
és
826824(4), 826825(25), 826826(49), 826827(529), 826828(4), 826829(289), 826830(9)


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 21:26:08   (228)
Adjunk olyan képletet, összefüggáést..., amely mindig prímet eredményez!

Ez originalqszi-nek is tetszene.
Arabella!
Ossz már meg velünk valamit!

Nekem most gondolkodnom kell a négyzetszámokon, mert leégek.


originalqszi válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 21:20:26   (227)
No jó, akkor én majd megmondom, hogy melyek azok:-))))))

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 21:15:38   (226)
architect
Megbántottalak? Bocs, ha igen.
Megpróbálom megoldani.

qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 16:48:47   (225)
bocs hogy 3x mentem el :)
mindennapos küzdelmet vívok egy rosszul konfigurált és lassú proxy -val.

qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 16:44:34   (224)
kedves architect,

Ez a ' n^2 és (n+1)^2 között kb. (2n+1)/2ln(n) db prímszám van ' heurisztikád tetszik. Érdekelne milyen elgondolásból jön ez ki.
Ja és még valami: közismert egy másik becslés (Stirling) arra, hogy mennyi az n! , de ennek a hátteréről se olvastam sehol. Talán a gamma fv.-ből jön. Ki tudja?


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 16:43:30   (223)
kedves architect,

Ez a ' n^2 és (n+1)^2 között kb. (2n+1)/2ln(n) db prímszám van ' heurisztikád tetszik. Érdekelne milyen elgondolásból jön ez ki.
Ja és még valami: közismert egy másik becslés (Stirling) arra, hogy mennyi az n! , de ennek a hátteréről se olvastam sehol. Talán a gamma fv.-ből jön. Ki tudja?


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 16:42:22   (222)
kedves architect,

Ez a ' n^2 és (n+1)^2 között kb. (2n+1)/2ln(n) db prímszám van ' heurisztikád tetszik. Érdekelne milyen elgondolásból jön ez ki.
Ja és még valami: közismert egy másik becslés (Stirling) arra, hogy mennyi az n! , de ennek a hátteréről se olvastam sehol. Talán a gamma fv.-ből jön. Ki tudja?


Arabella válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 15:02:27   (221)
Arabella itt van, de nagyon ritkán tud benézni ( elméleteket gyárt:) )

architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 14:16:55   (220)
Tessék még egy számelméleti kérdés GPF-nek. (Ezt oldd meg faktoriálissal!)

Van-e 7 db egymást követő olyan egész szám, hogy mindegyiknek van négyzetszám osztója?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 14:13:16   (219)
Az Ebey féle 1. esetet elképzelni sem lehet.
A 2. meg ne szegje senkinek a kedvét.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 13:31:07   (218)
Hú Ebey, ez jó volt, még átgondolom.

Bocs, architect félreértettelek. Azt hiszem olvastam már ilyenekről, de semmi konkrétra nem emlékszem.

Originalqszi! Hülyéskedsz? Kezdjem felsorolni az összeset? Mennyi időd van?

Arabella eltűnt? Itt hagyott bennünket bizonytalanságban az anal tanárát illetően.

Ja, mégegy megoldatlan:
Végtelen sok ikerprím van. (ikerprímek amik közt 2 a különbség.)


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 12:58:24   (217)
Meg kellene először vizsgálni a GPF-sejtés viszonyát a Csebisev-tétellel.

Következik-e belőle a sejtés? Nem látszik egyszerű kérdésnek.

Viszont a GPF-sejtésből következik a Csebisev tétel az alábbiak szerint:

T.f.h. igaz a GPF-sejtés: bármely n-re n2 és (n+1)2 között van prím. Ez azt jelenti, hogy minden olyan k-ra, amelyre k < n2 és 2*k > (n+1)2, k és 2*k között van prím.
Azaz, minden n esetén adott k-knak egy "intervalluma" (természetesen ez csak szemléletes és nem korrekt elnevezés), (n+1)2/2 -től n2-ig, amelyen lévő k értékekre igaz a Csebisev tétel. Ezeknek az "intervallumok"-nak a rendszere kicsi n értékek esetén még hézagosan fed, de valamely k értéktől kezdve (k=24) minden természetes számot lefed. Azaz a GPF-sejtésből következik, hogy bármely k >= 24 re k és 2k között van prím.

Na most ez számomra két dolgot jelenthet:
1. a GPF sejtés nem igaz, vagy
2. bizonyítása sokkal nehezebb, mint a Csebisev tételé.


originalqszi válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 12:49:05   (216)
No de ez csak 9 db:)))))) és a többi????

architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 12:00:10   (215)
Persze, én arra gondoltam, hogy minél kisebb számok körében minél nagyobb sorozat legyen.
Pédául 5 jegyű számok közt 69 a csúcs (31397 és 31467 között, ha jól emlékszem.)
A faktoriális túl messze visz egyébként, ha módszeresen keresed ezeket a sorozatokat. Elég a prímszámokat szorozni. Pl. 2*3*5*7*11*13*17*19*23*29 = 6469693230 körül van egy százas nemprím sorozat.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 11:41:38   (214)
Legnagyobb prím nélküli számsor nincs. Akármekkorát tudok mutatni:
n!+2, n!+3, ... n!+n. Ez n-1 db prím nélküli egymást követő szám. (gondolom egymást követőre gondoltál Te is.)

Azt hiszem, az ilyen becslések nem nagyon tudnak bizonyítani ilyen állítást, csak megerősíthetik a sejtést.


architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 11:33:31   (213)
Adok egy becslést:
n^2 és (n+1)^2 között kb. (2n+1)/2ln(n) db prímszám van. Ez jócskán nagyobb 0-nál.

Mi az általatok ismert legnagyobb prím nélküli számsor?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-06 08:52:35   (212)
originalqszi
Ez komoly?
Amiknek nincs valós osztójuk, vagyis csak 1-gyel és önmagával osztható.
Pl: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Egyébként köszönöm a sejtésre vonatkozó megtiszteltetést, de nem jogos, mert szerintem olvastam valahol. Már kezdek annyira öregedni, hogy arra sem emlékszem, hol. (Tanársegédem meg nincs. -:()


originalqszi válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 21:21:37   (211)
Melyek a prímszámok??????

qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 17:05:53   (210)
GPF,
nevezzük ezt mostantól GPF-sejtésnek! :)

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 16:32:34   (209)
100.000.000-ig minden két szomszédos négyzetszám közt van prím. Ezt most kipróbáltam.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 16:13:24   (208)
Tudom, hogy olyan is van, de az megoldott. (Mint már többször elhangzott.)
Cáfolja mán meg valaki a négyzetszámosat!
Mindjárt kipróbálom amíg tudom.

architect válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 15:48:55   (207)
GPF, n és 2n lesz az.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 15:45:46   (206)
Erről a négyzetszámosról hallott más is, vagy csak én képzelem?

Tomoka válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 13:33:48   (205)
A bármely két négyzetszám közt van-e prím problémára rímel a Csebisev-tétel, miszerint minden n és 2n között található prím. Ez be is van bizonyítva.

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 10:51:42   (204)
Arabella, köszönöm a segítséget!
Hasznos tapasztalat, hogy az urak egymással csattogtatják az agancsukat, de a gím előtt felemelik.
Ha valaki mégis felvetne egy, az enyémtől eltérő elméletet, lécci értesítsetek emilben. Akkor majd újra benézek.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-05 09:47:19   (203)
Útban befelé gondoltam, hogy tán érdekes lehet egy kicsit megoldatlan problémákról beszélni. Egyáltalán, hogy miket ismertek, amik könnyen megérthetők, nem lehet-e, hogy már megoldották valamelyiket...

Párat írok, amit tudok, mind számelméleti:

Goldbach sejtés: Minden páros szám felírható két prím összegeként.

Hány Mersenne prim van? (2^p-1 alakú, ahol p is prím)
Hány Fermat prím van? (2^2^n+1 alakú. Asszem, csak 5-öt ismernek. Van aki azt sejti, hogy nincs is több, van aki azt, hogy végtelen)

Bármely két négyzetszám között van prim. (De ezt lehet, hogy csak képzelem)

....
Ha tudtok Ti is írjatok, vagy ha valamelyiket megoldották, akkor is.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 20:05:07   (202)
Útban hazafelé én is beláttam. Pint 2. értelmezésére gondoltam persze.

Tehát kijelenthetjük a köv. állítást:

Ha van egy tetszőleges racionális szám tizedestört alakban, akkor megszámlálhatóan végtelen számjegyét eggyel megváltoztatva elérhetjük, hogy irracionális legyen. Ellenben:
Van olyan irracionális szám szintén tizedestört alakban megadva, amelyet nem lehet magszámlálhatóan végtelen számjegyét eggyel megváltoztatva racionálissá alakítani.
(A második fele még tán nem világos, de könnyű arra is példát adni.)

Úgy gondoljuk, hogy ez az állítás igaz. Ez triviális? Egyszerűen következik a számosságokból? Én nem látom. Csak nem valami érdekeset találtunk?

Arabella!
Nem hagynál fel a titkolózással? Ki ő? Ebey kérdései engem is érdekelnének. Mi a könyve? Abban is szerepel ez az állítás, persze finomabban?


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:34:31   (201)
Korrekt. Legyen úgy, hogy

-1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 ...

Gondolom vili. Ez ugyan nem fog ismétlődni.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:32:14   (200)
A "véletlenszerűen" helyett talán jobb a "szándékosan nem periodikus, mert - itt most indulhatna egy új vita - bár valószínűsége 0, mégis előfordulhat, hogy egy véletlenszerű sorozat periodikus.

Egyébként a Te tárgyalásod teljesebb, mint az enyém, mert tényleg, az irrac rac. nem mindig megy.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:21:58   (199)
1. Ha racból irrac megy, akkor az eredményből az ellentett művelettel meg a kiindulási szám (rac) lesz. Tehát ha rac -> irrac megy, akkor legalábbis van olyan irrac, amire -> rac megy.

2. Mit értesz megszámlálható sokon? Véges sok, vagy megszámlálhatóan végtelen sok? (Utóbbi azt jelentené, ugye, hogy jogunkban áll minden egyes számjegyet megváltoztatni +- egyel).

Ha 2-t így gondolod, akkor az én sejtésem szerint is megy rac->irrac irányba, hisz pl induljunk rac számból, és pénzfeldobással döntjük el, hogy +1 vagy -1 minden egyes jegyre. Így nem lehet ismétlődés.

Fordítva: képezzük az irrac számot úgy, hogy véletlenszerűen hol 5 hol 1 számjegy álljon. Ezt nem lehet +-1 -gyel racionalissá tenni, ergo nem minden irracból lehet így ract csinálni.

Javításokat és észrevételeket várom. (A javításhoz hozzá vagyok szokva mivel kicsit nagyon figyelmetlen vagyok.)


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:19:09   (198)
Kedves GPF,

tényleg ajjaj!

Ha +/- 1-el lehet egyikből a másikat, akkor nyilván a másikból az egyiket is lehet, ha a +1-ből 1-et levonsz, a -1-hez meg 1-et adsz.

Egyébként pedig persze, hogy lehet, pl. 0,22222222... ből (=2/9) +/-1 ekkel úgy lehet irracionálisat csinálni, ha vigyázol, hogy a pluszokból és mínuszokból álló sorozat ne legyen periodikus. (pl. minden prímedik +, a többi :-)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:18:18   (197)
Kedves Arabella!

Azt mondod, hogy azt mondta, hogy:
"vegyünk egy számot, annak környezetében egy végtelen kicsi intervallumot( tart nullához)."
Szerintem azt mondta, vagy azt kellett volna mondania, hogy:

Vegyünk egy számot, annak a környezetében egy tetszőlegesen kicsi intervallumot, (arra nézve mindenféle bizonyítgatást csinálhatott), majd válasszunk egy másik, ennél az intervallumnál kisebb intervallumot (arra is igaz az előző bizonygatás), és így tovább, úgy, hogy az intervallumok hosszának sorozata tartson nullához, (és mindegyikre igaz az a bizonyos bizonyítás).

Tehát nem egy intervallum, hanem egy intervallum sorozat szerepelhetett a bizonyításban, s az intervallum nem végtelenül kicsiny, hanem tetszőlegesen kicsiny, s az intervallumok hosszának a sorozata tart nullához.

Ennek rövidítéseként szerepelhetett talán a végtelenül kicsiny jelző. De ha nem hiszed, járjál utána. Kérdezzed meg azt a tanárt, kíváncsi vagyok, mit fog válaszolni.


Arabella válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:15:06   (196)
Igen, minden kérdésedre a válasz.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:08:54   (195)
Arabella

Üdv!

Anal tanár ilyet mondott? Nem az állati zavar, hanem a végtelen kicsi. Ez komoly? Van könyve? Most is tanár?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:06:20   (194)
Ilyen műveletekkel, véges számúval nem lehet racionálisból irracot csinálni, sem fordítva, bár nem is állította senki, hogy igen. Hacsek logikájának talán az kedvezne, ha racból lehetne irracot, de fordítva nem.

És megszámlálható sok ilyen művelettel lehet, ha még azt a kikötést is tesszük, hogy minden számjegyet +-1-gyel változtathatunk?
Oda vissza lehet?
A sejtésem az, hogy racból irracot lehet, de vissza nem biztos. Ajaj.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:04:03   (193)
Nem jó.

Úgy kezdődik ugyanis a definíció, hogy:

"Egy (a < b) valós számpár..."

Ha a és b adott, akkor a távolságuk b-a is adott, és véges. Bármennyire is kicsi, de véges.

Ez viszont nem felel meg a te elképzeléseidnek...


Arabella válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 17:02:06   (192)
Nem tudtam átrágni teljesen a topicon magamat. De valami feelingem azért van.
Ezt az én nagyrabecsült analizis tanárom így magyarázta, hogy vegyünk egy számot, annak környezetében egy végtelen kicsi intervallumot( tart nullához). Na ebben az intervallumban " állati sokan vannak". Aki hallotta ezt a kifejezést tudja a tanár nevét.
Arabella

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 16:43:29   (191)
Csak találgatok. Szokásosan a következő elírásokat szokták venni:

írásjel kihagyás
pusz írásjel
írásjel tévesztés
(esetleg szomszédos írásjelek cseréje)

Ezekből véges számúval nem lehet megváltoztatni a "racionalitást". Ha Hacsek másra gondolt, majd szól.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 16:36:28   (190)
pint, Te miket megértesz!
Mondd el más szavakkal, hogy én is tudjak ezen gondolkodni! Egy számjegy megváltoztatásával, vagy mi? Úgy nyílván nem. De ezt nem is állította senki.

Mi az a btw?
Nyugodtan szegd meg!


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 16:23:33   (189)
Kedves Hacsek,

akkor megpróbállak én megérteni Téged.
1. Mekkora a "kurva kicsi intervallum" (KKI) hossza?
2. Pl. nyilván van olyan KKI, mely a pi-t tartalmazza. Egy ilyen KKI-nek mik lennének a végpontjai?
3. Hány olyan KKI van, mely a pi-t tartalmazza?

A többi kérdésem a fentiek megválaszolása után.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 16:15:10   (188)
"el lehet e rontani véletlenül egy irracionálist racionálissá és fordítva!"

Egyiket sem lehet szerintem. Mutatsz példát?

(btw ezzel a hozzászólással nem szegem meg az ígéretemet, mert ez egy másik téma. úm. számok decimális reprezentációja, és hasonlók)


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 16:06:00   (187)
Kedves Ebey,
én sem személyeskedni akarok.
Azt feltételezed, hogy én kevésbé mélyen látom át a végtelen problematikáját, mint ti. Én meg fordítva gondolom, különösen Pinthez képest.
A fejtegetésed szinte minden pontjával egyetértek, csak persze a következtetéssel nem, mármint hogy nincs végtelenül kicsi intervallum.
De rendben, ha a fogalom zavar, akkor neked is felajánlom a Lalo-nak küldött más terminológiát: legyen kurva kicsi intervallum.

Amit írsz: "...a valós számegyenes nem ilyen. akárhányszorosára nagyítod, mindig ugyanúgy megtartja folytonosságát." hóttigaz. Az én elméletem is erre a felismerésre épül, nem gondolod? Hogy a folytonos végtelenséget végtelen darabra osztva is folytonos végtelenséget kapunk. EZ AZ ÉN ÁLLÍTÁSOM.

Van azért egy gyakorlatias elméletem a rac/irrac eloszlásra: írjuk fel az összes elképzelhető véges, végtelen szakaszos és végtelen nem szakaszos tizedestörtet, és figyeljük meg, melyikből mennyi van!
Aztán például nézzük meg, hogy el lehet e rontani véletlenül egy irracionálist racionálissá és fordítva!


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 15:48:12   (186)
GPF!

Nem párbeszéd ez itt, hanem mindenki-egy-ellen játék, de ez engem nem zavar. Bár szimpibb lenne, ha mindenki-egyért alapon közösen megpróbálnánk tisztázni a felmerült kételyeket annak érdekében, hogy az egyetlen pozitíve megfogalmazott tétel (az enyém) igazságát mindenki belássa, ne pedig a "nem tudom mi, de az biztos nem" féle mondatokhoz tapsoljon.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 15:41:24   (185)
Kedves Lalo!

Ez a definíció nekem is megfelel.
Az a és b nálam kurva közel van egymáshoz. Így jó?


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 14:38:38   (184)
Kedves Hacsek,

a múltkori hozzászólásomra annyira helyeslően reagáltál, hogy azt hittem, végre megértetted, a valós számokat helytelenül szemléled. (Bocs, ezzel csak annyit akarok mondani, hogy _szerintem _ helytelenül szemléled.)
Még egyszer megpróbálom leírni, mi az, ami _szerintem_ hibás a szemléletedben.
A racionális és irracionális számok elhelyezkedése a valós számok rendezett halmazán nem vizsgálható úgy, mint egymás melletti csempék sora: piros-kék-piros stb. vagy piros-kék-kék-....-kék-piros. Azért nem, mert végtelen sok van belőlük, "összefolynek". Gondolj a következőre: egy ceruzával rajzolt vonalat kezdesz egyre jobban felnagyítani. A kezdetben folyamatos vonal előbb-utóbb grafitszemcsék sokaságává válik, melyek egymástól jól elkülöníthetők és ezért egymáshoz való viszonyaikról tudunk mit mondani. Vagy, pl. egy vasdrótot ha képzeletben mittudoménhányszorosára nagyítunk fel, a tömör anyag egymástól bizonyos távolságra lévő atomok rendszerévé alakul át.
Na most, a valós számegyenes nem ilyen. akárhányszorosára nagyítod, mindig ugyanúgy megtartja folytonosságát. Semmilyen nagyítással nem juthatsz el odáig, hogy a valós számok mint pontok legyenek láthatók. Ezért nem érdemes beszélni arról, hogy egymáshoz képest hogy helyezkednek el a racionális és irracionális számok. Erről csak annyi mondható, amit múltkor az 999-08-02 18:45:56 véleményemben írtam az 1.-4. pontban.
Az intervallum általánosítása lehet általános (topologikus) terekben a környezet. Ha egy téren értelmezünk távolságot (topologikus terekben ez egyáltalán nem mindig van így, másrészt egy téren többféle módon is lehet távolságot értelmezni), akkor ezzel a távolsággal lehet a környezet "nagyságát" is jellemezni. Ez visszaspecializálva az intervallumokra az intervallum hossza. Másrészt a távolság mindig nemnegatív valós értékű függvény. (Az adott tér pontpárjain értelmezve). Azaz, az intervallum hossza nemnegatív valós szám. A "végtelenül kicsi" nem valós szám. Esetleg lehetne bővíteni a valós számkört a "végtelenül kicsi szám"-mal (mint ahogy bizonyos esetekben a plusz és mínusz végtelennel is bővítik), de nincs rá szükség, nem ad semmi pluszt az elmélethez.
Valóban "sokkal több" iracionális szám van, mint racionális, de ez megint csak a hétköznapi gondolkosdásunk alapján társít olyasmi elképzeléseket a valós számokhoz, mint amit például te is feszegetsz. A matematikai valóság az, hogy a végtelen sok máshogyan viselkedik, mint a véges sok.
Biztosan ismered azt a "feladványt", amikor a megszámlálhatóan végtelen ok szobával rendelkező galéaktikus szálloda minden szobája foglalt, de érkezik egy fontos vendég, akinek hely kell. Tudnak-e neki helyet szorítani?
És ha 1.000.000 tagú galaktikus küldöttség érkezik?
És ha megszámlálhatóan végtelen sok venddég érkezik?
Szóval, a végtelen ilyen. A végeshez szokott elme számára nehezen elképzelhető.
De hát ebben egyszer már megegyeztünk.

Bocs, ha kicsit személyeskedőnek tűnik néhol, amit írtam, nem akartalak bántani vele és remélem, nem is tettem.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 14:27:19   (183)
Hacsek!

Kezd a fórum a mi párbeszédünkké válni. Nem lehet, hogy más azért nem ír, mert várnak tőled válaszokat feltett kérdésekre?
Nem védem pintet, nics rászorulva. Azért nem őt szólítom fel, mert amiket ő állít, azokat vagy igazolta, vagy olyan dolgokra hivatkozik, amiket én is úgy tudok, úgy tanultam, úgy olvastam.

Jó, hozd, kíváncsian várom.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 14:13:35   (182)
Kedves Hacsek!

Azt írod:

"ugyanolyan intervallumról beszélek, mint bárki más"

Nekem nem úgy tűnik. Ugyanis az intervallumok szokásos definíciója a következő:

Egy (a < b) valós számpár által a következő egyenlőtlenségekkel definiált x valós számokból álló halmazokat nevezzük nyílt; zárt; balról nyílt és jobbról zárt; balról zárt és jobbról nyílt intervallumoknak:
(a <= x < b); (a <= x <= b); (a < x <= b); (a <= x < b)
ahol a és b az intervallumok végpontjai.

Szokás még az (x < c); (x <= c); (c < x); (c <= x) halmazokat végtelen intervallumoknak nevezni, ill. a valós számok halmazát "mindkét irányban végtelen" intervallumnak hívni.

Ehhez képest te hogy definiálod az intervallumodat?


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 13:59:46   (181)
Kedves GPF!

Pint ezt írta:
"Én nem tudom, hogy hol vannak az irracinális számok. Csak azt tudom, hogy nem ott, ahol te állítod, hogy vannak."
Miért nem őt szólítod fel állítása bizonyítására?

Egyébként épp hogy nem kacsingattam az 1-1-1-1 elrendezés felé, hanem elvetem azt.

Ne fölényeskedj, holnapra hozom a Gödel-cáfolat elérési helyét.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 13:11:36   (180)
Hacsek!

Asszem Lagrange egyik művét éles kritika érte, mert okfejtéseiben nem szerepelt Isten. Erre ő azt mondta, hogy nem volt szüksége rá állításai bizonyításához. (Pedig elég komoly munka volt.) Ezt pint védelmében mondtam. Attól, hogy nem használ valaki egy szükségtelen fogalmat, amit ráadásul nem is tud megmagyarázni, még nem biztos, hogy baj van a gondolatmenetében.

Amikor ilyeneket írsz, hogy 1,1,1 stb eloszlás, akkor (burkoltan) az általam is feszegetett jólrendezhetőség felé kacsingatsz Te is, pedig hogy fel voltál háborodva.
Jelenleg nem tudjuk véges számokkal leírni az eloszlásukat. (Ebben a rendezésben nem is fogjuk tudni.)
Nem fog létrejönni egynemű legalább 2 elemből álló intervallum. Nem fog létrejönni véges intervallum sehogy.

Mi a különbsége a Te intervallumod két végének?

Ja, ne nagyon keresd a Gödelt cáfoló írásokat, mert nincs ilyen. Az ma is elfogadott. Illetve nézz utána, hogy mit is olvastál, mert nem cáfolták meg.

Csak a végtelen kicsihez viszonyulunk különböző módon.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 11:54:12   (179)
Bocs Lalo, tényleg elfelejtettem a könyvet.

Viszont nem értem, mit kellene definiálnom: ugyanolyan intervallumról beszélek, mint bárki más, legfeljebb annyi a különbség, hogy a hossza elenyészően (végtelenül) kicsi, mert a rac. számok végtelenül sűrűen vannak.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 11:30:38   (178)
Kedves Hacsek!

Szeretnélek ismét emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát. (Én definiáltam a szokásosat.)

Lalo


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 10:43:42   (177)
Kedves GPF!
A végtelen kicsi intervallum fogalma lehet hogy felesleges, de anélkül képtelenség leírni a valós számhalmaz eloszlását rac/irrac. szempontból.

Felhívnám a figyelmeedet Pint posztulátumára, miszerint
"nem tudom, hogy van, de úgy biztos nem"
Nos hát én ez ellen a szemlélet ellen küzdök veletek már három hete. Tudniillik nekem pozitív meggyőződésem van, neki meg negatív. Ő mire alapozza az "úgy biztos nem" állítását?
Az én tételem arra épít, hogy az eltérő számosságok miatt az 1-1-1-1- stb. eloszlás nem lehetséges. (erre próbáltam rávilágítani tegnap az Ebeynek írt tizedestörtes fejtegetésben)
De ha nem 1-1-1-1- az eloszlás, akkor már az én tételem kezd igazolódni (gondolj bele, ekkor már egynemű, legalább 2 db-ból álló intervallum jön létre)!

Az az alapvető bajunk egymással, hogy különbözőképpen viszonyulunk a végtelen paradoxonához. Én nem félek kijelenteni, hogy végtelen kis helyen végtelen sok eleme lehet egy halmaznak, mert ez a meggyőződésem.
Egyébként a fizikai világról alkotott elképzelésem is olyan, hogy a végtelen kicsiben és nagyban is működik, sőt egylényegűek. Magyarán, hogy egy galaxis és egy atomszerkezet azonos törvények alapján hasonlóan működik, a kettő között csak a nagyságrend a különbség, és ilyen nagyságrendből is végtelen számú létezik. Ez alapján a világmindenség határát nem távcsővel, hanem nagyságrend-ugrásokkal érdemes firtatni. Bocs a kitérőért.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-04 09:17:30   (176)
Tisztelt Hacsek!

Nem akartalak sértegetni, és nem is neveztelek zavarosnak. Annyit mondtam, hogy nem tiszták a fogalmaid, de ezt most is tartom. Én a végtelenül kicsi intervallumot egy ilyen tisztázatlan, szükségtelen fogalomnak tartom, ami mindenféle ellentmondásokra vezet. Pár ilyet mutattunk is, de ezeket Te nem veszed figyelembe. Mivel nem definiálod ezt a fogalmat, nem tudunk pontos matematikai cáfolatokat adni, nem tudunk rámutatni a következményeire.

Próbáld meg definiálni, légyszi. Mi a két végpontja közti különbség? 0? Vagy nem valós szám? Vagy mi?

A folytonos halmazt már definiáltad, arra mondtunk is pár példát, ami józan ésszel kissé nehezen nevezhető folytonosnak. Pl. két nyílt intervallum, a 2-n kívüli valós számok, az irracionális számok.
Egyébként nem tudom, mi a gond az irracionális számokkal. Ott vannak azok a számegyenesen. Sűrűn. A racionálisok is ott vannak. Azok is sűrűn. Az egyikből több van mint a másikból. Mi a gond?

Tisztelt pint és Hacsek!

Egyébként minek sértődtök meg egymásra? Bár kicsit megértem. Ne írjunk már ilyeneket, hogy ki mit ér föl ésszel!

BIJ!
Értem, amiket mondasz, de bocs, nem vitt közlelebb a problémám megértéséhez. Azt gondolom továbbra is, hogy ha van elvi bizonyítás egy állítás hamisságára, amit egy ellenpélda is tud igazolni, akkor lehet is ellenpéldát találni. Az algebrai számos példád is erre volt jó. Az azért volt érdekes, mert az elvi bizonyítás volt a könnyebb!

GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:33:38   (175)
Valahogy majd megleszek nélküled.
Egyébként nem emlékszem cáfolatra, csak kifogásokra.

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:29:47   (174)
És a cáfolatok? A többiek kedvéért nem írom le még egyszer. Sőt, amíg arra nem válaszolsz, addig én se válaszolok többet neked. Legalább az érdekesebb témák elől nem vesszük el a helyet.

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:27:54   (173)
Én meg tudom, pint, csak te ezt nem éred föl ésszel. Mert nem tudod elképzelni a végtelenül kicsi, de végtelenül sok elemet tartalmazó intervallumok létezését.

BIJ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:23:22   (172)
GPF:
>>Én ezt nem tudom elképzelni. Tudsz valami konkrét példát?
>>Mi az, hogy belső érvényű, meg matematikán kívülre nézve?
>>Egy numerikus ellenpélda az kívül van?
Igen jól érzed, például egy igazi, kézzelfogható numerikus ellenpéldát
értenék az alatt, hogy a " matematikán kívül".
Ami meg csak a "matematikán belüli" érvényű dolog lenne,
arra próbáltam az elôzô levélben egy hipotetikus példát mutatni:
<<<<Anélkül, hogy ebbôl kiderülne, hogy mi is akkor az n,a,b,c.

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:21:16   (171)
Még mindíg nem érted. Figyelj:

Én nem tudom, hogy hol vannak az irracinális számok. Csak azt tudom, hogy nem ott, ahol te állítod, hogy vannak.

OK?


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:19:11   (170)
Mindent lehet pint, de minek?

A tényeket pedig vitattátok, de nem cáfoltátok. A legerősebb ellenérv az volt, hogy végtelen kicsi intervallum nincs. Na jó, tegyük fel nincs. DE AKKOR HOL AZ ISTENBE VANNAK AZ IRRACIONÁLIS SZÁMOK A RACIONÁLISOK KÖZÖTT?
Csak ez a kérdés, másról ebben a témában nem érdemes vitatkozni.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:09:52   (169)
Nem tudom megállni a dolgot.

"helyesebbnek látszó elméletet egyikőtök sem vezetett elő"

Persze, mert semmilyen elméletet nem vezettünk elő. Egy elméletet cáfolni lehet anélkül, hogy bármiféle más elméletet alkotnánk. Ez történt.


Arabella válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:08:07   (168)
Hallom, valaki az én Hacsekomat bántja!
Arabella

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 17:05:15   (167)
Igen tisztelt GPF!

Az hogy nem értünk egyet, még nem ok arra, hogy sértegess.
Amit én előadtam, az egy elmélet, aminél meggyőzőbb, helyesebbnek látszó elméletet egyikőtök sem vezetett elő.
Bele lehet kötni szóhasználatba vagy a tiedtől eltérő elképzelésbe, de ez a lényegen nem változtat.
Anélkül, hogy tévedhetetlennek képzelném magam, kikérem magamnak, hogy zavarosnak minősíts bármit, aminek az igazi értelmét nem is fogod fel!


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 16:53:28   (166)
Kedves DcsabaS_

A határérték elérésénél én ennél sokkal prózaibb dologra gondoltam. Pl. az f(x) =1 fv-nek a határértéke mindenhol 1.

Azért értem amit mondasz, s nehéz is vitatni az igazságodat. A geometriai valószínűséggel nekem is vannak bajaim. De.
Te egy más szinten vizsgálod ezeket a kérdéseket, mint mi. Valószínűleg a metamatematikába sokkal inkább a Te problémád tartozna, mint a mienk, de ez az egész úgy indult, hogy Hacseket próbáltuk lebeszélni elképzeléseiről, s szerintem Neki nem olyan gondjai vannak, mint Neked, hanem nem tiszták a fogalmai, s azt talán matematikai úton is lehet kezelni.

Mondjuk, azért a Te gondolatmenetedben is lehet még egy kicsit hibát keresni. Pl. ez a mondatod:

"a különböző méretű tartományokban ugyanannyi pont van, ezért ha a sík pontokból állna, eleve nem is jöhetne ki különböző valószínűség a különböző méretű tartományokra!"
csak akkor igaz, vagy indokolható, ha a szorzást a végtelenre is kiterjeszted. De ilyet nem tesz a matematika. Lehet, hogy ez is a probléma megkerülése.

Nem tudok igazából érvelni ellened. Te nem teszel olyan kijelentésekt, hogy irracionális intervallum, meg ilyesmi. Filozófiailag igazad van (azt hiszem), de matematikailag is van egy csomó problemánk, amiket meg lehet beszélni.

A csomókhoz nem értesz?

Üdv, jó utat.
GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 16:42:51   (165)
Szia, DcsabaS!
Hiányozni fogsz!

DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 16:34:19   (164)
Kedves GPF!

Szerintem is van olyan, hogy el lehet érni a határértéket, vagy legalábbis ennek a feltevése nem vezet ellentmondásra. De van olyan is, hogy nem mehetünk el a határig (noha az létezik!), mert az ellentmondásra vezet. Mindezt úgy, hogy amíg az epszilon-delta módszerhez tartjuk magunkat, addig a számolások értelmesek, ellentmondás pedig egy szál se.

Vegyük pl. a geometriai valószínűség esetét, amit nemrég Geőcze Zoárd vetett fel. Ha mondjuk van egy síkbeli tartományunk, ahol (és nem máshol) valamilyen lokális esemény bekövetkezése várható, akkor előfordulhat, hogy annak egy bizonyos résztartományán a bekövetkezési valószínűség arányos lesz annak területével. (Lehet cifrább is a helyzet, de maradjunk ennél az egyszerűbb esetnél, itt is látszik az általam kifogásolt probléma.) Ha most egyre kisebb résztartományokat vizsgálunk, akkor úgy találjuk, hogy az azokon való bekövetkezés is egyre kisebb valószínűségű. Tetszőleges résztartományok területét ismerve mindenkor korrektül kiszámolhatjuk a bekövetkezési valószínűséget. A finomításnak olyan értelemben nincs korlátja, hogy az az epszilon-delta szisztémában akármeddig folytatható. Egyesek ilyenkor kényszert éreznek arra, hogy kimondják: "eszerint egy pontbéli bekövetkezés valószínűsége pontosan nulla, ámbár valamelyik pontban mégis biztosan bekövetkezik az esemény". Ez azonban így kétszeresen sem stimmel, ugyanis a nullákból akármennyit véve is nullát kapunk, másrészt a különböző méretű tartományokban ugyanannyi pont van, ezért ha a sík pontokból állna, eleve nem is jöhetne ki különböző valószínűség a különböző méretű tartományokra! Hogy e nehézségeket elkerüljük, azt kell tudomásul vennünk, hogy az epszilon-delta apparátus szerinti határérték lényege pontosan az, hogy szükség esetén mindig tudjuk eléggé tovább folytatni a közelítést, de ez még nem jelenti azt, hogy be is tudjuk fejezni. A megszámlálható végtelen fogalmában is az a nóvum, hogy bármilyen előre rögzített véges határon túlmegy, vagyis egyszerűen nem lehet azonos semmiféle rögzített és véges számmal, ezért nem is lehet befejezett. Más, mint a közönséges számok. Az előbbi problémát általában úgy kerülgetik, hogy a nulla valószínűségű és a lehetetlen eseményt megkülönböztetik, amint az egységnyi valószínűségűt is a biztostól. Mindez annak a "toldozása" hogy amit nagyvonalúan "lenulláztunk" (mint a Törzsasztalon némely topikot), az igazából nem is nulla, csak egy infinitezimálisan kicsiny mennyiség, amit egy be nem fejezett epszilon-delta közelítéssel még korrektül jellemezhetünk, de a végeredményként kierőszakolható egyetlen számmal már nem.

Más. Holnaptól vagy 2 hétre külföldre megyek, és még nem tudom, hogy milyen internet kapcsolattal (:-(((.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 16:23:37   (163)
Én ezt nem tudom elképzelni. Tudsz valami konkrét példát?
Mi az, hogy belső érvényű, meg matematikán kívülre nézve? Egy numerikus ellenpélda az kívül van?

BIJ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 16:15:31   (162)
Matematikusként végeztem 1983-ban.
Informatikus (kevésbé elôkelôen fogalmazva: programozó) vagyok azóta.

>>Amit mondasz, az nem cáfolja a gondolatmenetemet! Ha lenne >>egzisztenciabizonyítás, pl. a Fermat sejtés tagadására,
>>akkor lehetne adni konstruktívat is.
Ez egyáltalán nem biztos! Lehetséges lenne, hogy az
egisztenciabizonyítás végül is valami belsô érvényű matematikai dolog lenne, amibôl nem következnék közvetlenül a matematikán kívülre nézve értelmes, kézzelfogható, numerikus ellenpélda.

>>Az milyen tétel, vagy sejtés, hogy egy szám meg a kétszerese közt
van prím?
Ez Csebisev tétele. Erdôs Pál adott rá elemi bizonyítást.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 15:42:58   (161)
BIJ

Üdv a fedélzeten!!!! Matematikus vagy? (Bár ehhez nem sok közöm van.)

Amit mondasz, az nem cáfolja a gondolatmenetemet! Ha lenne egzisztenciabizonyítás, pl. a Fermat sejtés tagadására, akkor lehetne adni konstruktívat is. Lehet, hogy nem egyszerű, de elvileg lehet. Ha viszont független, akkor elvileg sem lehet adni ellenpéldát. (Hisz akkor nem lenne független.)
De, ha nem lehet adni ellenpéldát, akkor miért nem igaz?
(Ha még beszélünk erről a kérdéskörről [jó lenne], akkor a Fermat sejtés helyett szerintem használjunk valami más sejtést, mert ez így olyan hülyén hangzik. Túl sok feltételes módot kell használni. Legyen mondjuk a Goldbach sejtés, vagyis, hogy minden páros szám felírható két prím összegeként. Ez még nincs bizonyítva, ugye? Akkor ez lehet, hogy független.)
Az milyen tétel, vagy sejtés, hogy egy szám meg a kétszerese közt van prím?

GPF


BIJ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 15:29:02   (160)
Hi!
GPF írja:
...De, mit is jelent ez? A Nagy Fermat-sejtést megcáfolni úgy lehet, hogy ...megadunk a,b,c,n-t, amire a^n+b^n=c^n.
Persze máshogy is meg lehet(ne) ezt cáfolni, legalábbis, ha megengedünk nem-konstruktív bizonyításokat, azaz olyanokat,
amelyek pld. úgy bizonyítják egy objektum létezését, hogy közben nem
mutatnak rá konkrét, kézzelfogható példát.
Például számossági megfontolásokból könnyen látszik, hogy van olyan
valós szám, amelyik nem algebrai, azaz nem gyöke legalább elsôfokú
egész együtthatós algebrai egyenletnek (polinomnak).
(Ugyanis algebrai szám csak megszámlálható sok van,
valós szám meg kontinuum sok.)
Ez a megfontolás nem konstruktív, azaz nem mutat egyetlen egyet sem,
hiszen csak számosságokkal operál.
Ugyanerre a tényre konstruktív bizonyítás Liouville-é, aki konkrét
példát adott ilyen számra: summa 2 ^ (-n!)
(Szumma n=1-tôl végtelenig egy per kettô az n-faktoriálisadikon).
Nos, elvileg tehát elképzelhetô volna olyan, a Nagy Fermat-sejtést megcáfoló bizonyítás, amelyik nem mutat (konkrét) példát olyan
a,b,c,n-t, amire a^n+b^n=c^n
For Your Information: egy irracionális algebrai szám nem lehet túl jól közelíthetô racionális számokkal (a "jól közelíthetô"-séget
itt nem akarom pontosan definiálni, de lehetne.)
A Liouville-féle szám meg konstrukciójából adódóan jól közelíthetô.
Nos tehát, mi volna, ha olyan példa lenne, hogy elôkapunk valami jó
bonyolult tételt, amely szerint vannak olyan p és q prímszámok,
amelyekre ... (itt valami jó bonyolult összefüggés jönne),
és akkor legyen n=(p-1).(q-1) legnagyobb prímosztója és legyen a= ... stb....
Tehát elvileg elképzelhetô lenne egy nem-konstruktív bizonyítás
a Fermat-sejtést cáfoló számnégyes létezésére,
amibôl mégsem adódnék konkrét, kézzelfogható cáfoló számnégyes.

ÜDV: BIJ


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 11:24:33   (159)
Kedves Hacsek!

Mielőtt még elérnék a valós számokig, azért szeretnélek emlékeztetni két adósságodra.

1. Az ígérted, hogy megmondod a Gödel cáfoló könyvek mely fejezeteiben van szó a témáról,

2. Kértem, hogy definiáld az általad használt intervallum fogalmát.
(Én definiáltam a szokásosat.)

Lalo


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 11:16:49   (158)
Hacsek!
pint hozzászólását is olvastad, hogy mik folytonosak még?
Milyen zárt számhalmazokról beszélsz?

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 10:57:58   (157)
Kedves Ebey!
"1999-08-02 18:45:56" véleményeddel végre tökéletesen egyetértek.
A négy pontod tökéletesen helytálló, és a belőle levont paradox-ság következtetése is.
Nagyon jó meglátás, hogy azért paradox ez a dolog, mert az agyunk véges hosszúságokhoz szokott.
Viszont az én elméletem mégiscsak ad valamiféle magyarázatot, amik pint meglátásánál, hogy "két rac. vagy irrac. szám soha nincs egymás mellett", azért helytállóbbnak látszik.
Azon gondolkodtam, hogy a számosságok közötti különbséget viszonylag jól lehetne magyarázni a tizedestört-alakok valószínűségi eloszlásával.
Vegyük egy zárt intervallumban az összes lehetséges (véges és végtelen) tizedestörtet!
Konkrétan annak a valószínűsége, hogy az egymás után következő tizedesjegyek szakaszosan rendeződnek el, elenyészően kicsi ahhoz képest, hogy nem szakaszosak.
Elfogadhatjuk-e szemlélet alapján, hogy eszerint az irracionális értékek sokkal többen vannak?

Kedves Lalo!
Érj el akár most a valós számokig, és gyere elő végre az enyémtől eltérő elmélettel!

Kedves GPF!
Tényleg nem ilyen halmazokra gondoltam a folytonossági definíciómmal, de nincs benne semmi kifogásolni való. Zárt és folytonos szám-részhalmazok unióját valóban tekinthetjük folytonos számhalmaznak.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 10:34:32   (156)
Mi lehet ennél fontosabb?

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 10:23:43   (155)
Itt vagyok, csak most nem érek rá.
Nemsoká jövök!

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 10:17:04   (154)
Hacsek és a többiek üdülnek?
Vagy megadtuk a kegyelemdöféseket?

Áttérhetünk egyéb metamatematikai témákra?

Engem a függetlenség nagyon izgat, meg szerintem a szögösszeg kérdéskör sem zárult le megnyugtatóan. Számok fogalma?
Konstruktív matematika?

(Már csak a színes írást kell megtanulnom.)
GPF


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 10:03:19   (153)
GPF: igazad van megint, ismét pongyola voltam. Zárt intervallumokra lenne nekem igazam.

Nyílt intervallumok unioja a definició szerint folytonos halmaz.
Sőt, amit te nem kifogásoltál: az x =/= 2 valós számok halmaza is folytosnos. Sőt, folytonos az irracionális számok halmaza is.

Úgy fest, hogy ez a definíció még kevesebbet ér, mint amennyit gondoltam róla. A továbbra is igaz, hogy ezzen definíció felhasználásával se így se úgy nem lehet igazolni irracionális intervallumok létét, és Hacsek ezt nem is tette meg.

Megjegyzés: tegyetek a kisebb-nagyobb jel elé-után szóközt, az a legegyszerűbb. x < y , x > y. így műx


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 09:53:12   (152)
Bocs, megkérdeztem, hogy mi a baj a formális leírásommal, most megpróbálom megint.

A halmaz:<\B>
1<x<2 U 3<x<4 ahol x valós

Ez a halmaz Hacsek szerint folytonos.<\I>


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 09:11:27   (151)
Hacsek és Pint!
Megismétlem az előbbi hozzászólásom:

Hacsek def-je szerint azok a valós számok, amik 1 és 2 között vannak (nyílt intervallum) unio azok a valósak, amik 3 és 4 között vannak, folytonos számhalmaz. Nem tudom, ezt akarta-e.

Hacsek def-je:

Az a számhalmaz folytonos, aminek nincsenek szomszédos elemei, mert bármely két eleme között még végtelen sok, intervallum számosságú elem helyezhető el.

Fontos itt, hogy a számhalmaz bármely két eleme között kell elhelyezni a kontinuum sok elemet.
A 2 és a 3 nem eleme a fenti halmaznak.
Erre igaz, hogy bármely két eleme között még kontinuum sok elem van.

Vagyis Hacsek szerint két olyan nyílt szakasz, amiknek nincs közös pontja, folytonos halmaz. Én nem nevezném annak.

DcsabaS_ és Lalo!
Szerintem kezdtek közeledni a Zenon paradoxonokhoz. Azokat matematikailag meg lehet magyarázni, de némileg egyet kell értenem DcsabaS_-sel, hogy filozófiailag vethet fel problémákat. Szerintem ott van köztetek az ellentmondás, hogy DcsabaS_ nem elégszik meg a matematikai megközelítéssel, ö mást is akar. Nem mondom, hogy mélyebbet, vagy valósághübbet, de mást.
A határértéket egyébként simán el lehet érni, és szerintem is véges szám. Az a baj, hogy ezeknek a fogalmaknak olyan a magyar megnevezése, hogy mindenféle képzet társul hozzá, s ez rögtön más értelmezéseket is felvet.

Szerintem olyan, hogy szám, nincs. Azt hívunk annak, amit akarunk nagyjából. Ha vannak valamilyen tulajdonságai, akkor érdemes vele foglalkozni, ha meg trivi, akkor nem.

Örülnék, ha mondanátok még valamiket a függetlenség és ellenpélda kapcsán felvetett kérdéskörre, mert egyáltalán nem érzem meggyőzve magam.

GPF


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-03 01:20:10   (150)
Kedves Lalo!

Írod:
"Ugyanis pont ebből származtak a rossz határérték és integrálszámítások, belekevered az időt, foglalkozni kellene a változás sebességével, stb. ..."
Hát persze, hogy foglalkozni kell a változás sebességével! Hiszen éppen az a lényeg, hogy változó mennyiségeket kell majd egymáshoz viszonyítani, mégpedig anélkül, hogy eleve feltennénk, hogy a változások egyszer majd nyugvópontra jutnának!
Cauchy és Weierstrass epszilon-delta apparátusa sem "keveri ki" az időt, vagy a változás sebességét, csupán ügyes formában fogalmazza meg az igényeinket. (Az idő helyett esetenként választhatunk más független változót is, de az sem jelenti az idő diszkvalifikálását.)

Írod:
"... A rendezés kevés! Minimum egy műveletnek kell lennie, hogy számhalmazokról beszéljünk. Szerinted a (körte, alma, szilva) halmaz számhalmaz, ha definiáljuk, hogy a körte jobb az almánál, az pedig a szilvánál?"
Figyusz! Szerinted ha definiálsz 2 műveletet is a (körte, alma, szilva) rendezett halmazban, akkor az már a szokásos értelemben vett számhalmaz lesz (:-)))? Mert szerintem nem. Viszont egyfajta számhalmazt már akkor is reprezentál a (körte, alma, szilva) rendezett halmaz, ha az elemek sorrendjén (tulajdonképpen az elemek számlálásán) kívül más műveletet nem is értelmeztünk! A számfogalom elvonatkoztatás. Mindentől eltekintünk, ami nem a számlálással kapcsolatos. Lehetnek persze speciális tulajdonságai egy-egy számhalmaznak, de az fakultatív.

Kérdezed:
"A határérték egy véges szám! Szerinted micsoda?"
A határérték NEM egy véges szám, hanem egy véget nem érő közelítés. Tudhatjuk, hogy mihez közelítünk, de ebből még nem következik, hogy el is érjük. Bár vannak esetek, amikor nem vezet ellentmondásra, ha a határátmenetet befejezhetőnek gondoljuk, de ez csak egyszerűsítés.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 23:41:34   (149)
Na még egyszer:

Elnézést, de az egyenlőtlenség jeleket kódnak értelmezte...

Segítségül, a szokásos intervallumok definíciója:
Egy (a kisebb b) valós számpár által a következő egyenlőtlenségekkel definiált x
valós számokból álló halmazokat nevezzük nyílt; zárt; balról nyílt és jobbról zárt; balról
zárt és jobbról nyílt intervallumoknak:
(a kisebb x kisebb b); (a kisebb egyenlő x kisebb egyenlő b); (a kisebb x kisebb egyenlő b); (a kisebb egyenlő x kisebb b)
ahol a és b az intervallumok végpontjai.
Szokás még az (x kisebb c); (x kisebb egyenlő c); (c kisebb x); (c kisebb egyenlő x) halmazokat végtelen intervallumoknak nevezni,
ill. a valós számok halmazát "mindkét irányban végtelen" intervallumnak hívni.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 23:35:02   (148)
Megpróbálom a végét még egyszer beírni:

Segítségül, a szokásos intervallumok sefiníciója:
Egy a < b valós számpár által a következő egyenlőtlenségekkel definiált x valós számokból álló halmazokat nevezzük nyílt; zárt; balról nyílt és jobbról zárt; balról
zárt és jobbról nyílt intervallumoknak:
aahol a és b az intervallumok végpontjai.
Szokás még az x


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 23:16:52   (147)
DcsabaS_ !

Írod, hogy:

"Próbáld hát meg elképzelni, hogy az intervallum hossza minden egyes alkalommal megfeleződik, amikor csak
megnézed. Kezdetben ugyan lehetnek olyan véges (és konstans) pozitív mennyiségek, amelyeknél nem kisebb, de idővel bármilyen véges, előre rögzített nagyságú pozitív mennyiségnél kisebbnek fog bizonyulni. Noha sohasem lesz
nulla, hanem mindig pozitív marad. Valami ilyesmit jelent a "végtelenül kicsi" intervallum. "

Hát ez az amiről én már ezt megelőzőleg azt írtam:

"Ez a nézet az infinitezimálisok elavult és ellentmondásos fogalomrendszerét használja"

Ugyanis pont ebből származtak a rossz határérték és integrálszámítások, belekevered az időt, foglalkozni kellene a változás sebességével, stb. Ha ezt a definiálatlan, bizonytalan, megfoghatatlan és rengeteg nehézséggel járó fogalmat elhagyod akkor semmit se vesztesz hanem csak nyersz - hiszen Cauchy és Weierstrass óta minden működik hibátlanul.

Másik véleményed:

"Ha igaznak vesszük a kiválasztási axiómát, akkor minden halmaznak van jólrendezése, ha pedig egy halmaz
rendezett, akkor számhalmaznak is tekinthető - természetesen általános értelemben. Eszerint a kontinuumnál
nagyobb számosságú "számhalmazok" is lennének."

Súlyos tévedés! A rendezés kevés! Minimum egy műveletnek kell lennie, hogy számhalmazokról beszéljünk. Szerinted a (körte, alma, szilva) halmaz számhalmaz, ha definiáljuk, hogy a körte jobb az almánál, az pedig a szilvánál? (Bár én sem vagyok igazán tisztában, mi is az a szám mint olyan...)

Végül pedig azt írod:

"Az ezzel kapcsolatos probléma csak az, hogy az emberek egy része a határértéket is minduntalan egy befejezett véges számként próbálja meg elképzelni, ami helytelen."

Nagyon is helyes! A határérték egy véges szám! Szerinted micsoda? (A végtelent mint határértéket külön szokás definiálni, s mindig megjegyzik, hogy csak rövidítésről van szó!)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 22:59:01   (146)
Hacsek!

Azt írod:

"Mondtam már, az enyémtől eltérő komplett elmélet vitájába szívesen beszállnék."

Vigyázz, mert csak néhány nekiveselkedés és eljutok a valós számokig!


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 22:56:39   (145)
GPF!

"Mi az, hogy szám?"

Nagyon jó kérdés! Az az érzésem, hogy mindenfajta test és csoportelmélet mellett/ellenére csak azokat az objektumokat szoktuk számoknak tekinteni, amik a természetes számkör bővítéseiként jöttek létre, maximum a kvaterniókig.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 22:32:50   (144)
Kedves Hacsek!

'"a végtelenül kicsi intervallum akkora, hogy a hossza nagyobb nullánál, de kisebb bármely pozítív értéknél
Ilyen nincs!"

Szerintem meg van! Ez az én világnézetem.'

-írod.

Akkor viszont a te kötelességed igazolni a létezését. Ugye nemlétezést csak akkor lehet bizonyítani, ha valaki jellemzi azt az objektumot, amit ő létezőnek tart.

Tehát tessék jellemezni pozitívan azt a bizonyos minden véges értéknél kisebb, de nem nulla hosszúságú, csak irracionális számokból álló intervallumodat. (És hogy miért pont intervallumnak hívod!)

Segítségül, a szokásos intervallumok definíciója:

Egy aaahol a és b az intervallumok végpontjai.
Szokás még az x

Akkor hogy hangzik a te definíciód?


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 21:21:39   (143)
Kedves Ebey!

Nem hiszem, hogy én lennék a megnemértés forrása. (Például elég jól értem GPF szövegeit, túlnyomóan egyet is értek velük, és talán ez fordítva is igaz(:-))) ).

Írod:
"Mi itt _nem a való világról vitatkozunk!_"
Nem tudom, hogy Te hogyan értelmezed e rovat témáját, de szerintem azt próbáljuk meg körüljárni, hogy a matematika milyen mögöttes / fölöttes helyről és milyen módon, formában volna eredeztethető. Ilyenformán a valóságot nem hagyhatjuk számításon kívül, hacsak metamatematika címén nem a semmire akarjuk alapozni a matematikát.

Írod:
"Viszont senki (Hacsek, DCsabaS_) ne várja el senki mástól (Pint, Lalo, Ebey) stb. hogy az általa kreált új-matematika tételeit inkább elfogadja, mint az eredetit. Mégpedig azért, mert amit az eredeti, klasszikus elméletről ismerünk (eddigi iskolai tanulmányaink vagy saját érdeklődésünk következmémyeként) az sokkal több, mint amit az általatok módosított elméletről nekünk elmondtok itt."
Kérdésem volna: tudsz-e arról, hogy a fizika differenciálegyenletei szerint NEM pontokkal írjuk le a valóságot, még akkor sem, amikor az iskolában azt mondják, hogy igen? (Egyébként honnan a csudából veszed, hogy azt várom el Tőled, vagy bárki mástól, hogy higgye el amit írok, csak azért, mert én írtam?!? Egy fenét! Elmondom 1-2 dologról, hogy mit gondolok, de hogy annak alapján Te mit gondolsz, az a Te dolgod.)

Írod:
"Arról, hogy az euklideszi tér elméletében jogos-e a 0 kiterjedésű, dimenzió nélküli pont fogalma, nem lehet vitatkozni. Mivel azt az elméletet Euklidesz "így találta ki"."
Félreérted a dolgot. Nem azzal van gond, ha bevezetik a "0 kiterjedésű, dimenzió nélküli pont fogalmát", sem azzal, ha ugyanakkor bevezetik az 1-irányban kiterjedt, 1-dimenziós vonal fogalmát, (stb.), hanem azzal, ha tisztán az előbbi sokaságából állónak képzelik az utóbbit.

Hacseknek írod:
"Még egyszer, mert ez fonmtos: egy intervallum hossza mindig pozitív valós szám. Egy pozitív valós szám pedig _nem lehet végtelenül kicsi_"
Próbáld hát meg elképzelni, hogy az intervallum hossza minden egyes alkalommal megfeleződik, amikor csak megnézed. Kezdetben ugyan lehetnek olyan véges (és konstans) pozitív mennyiségek, amelyeknél nem kisebb, de idővel bármilyen véges, előre rögzített nagyságú pozitív mennyiségnél kisebbnek fog bizonyulni. Noha sohasem lesz nulla, hanem mindig pozitív marad. Valami ilyesmit jelent a "végtelenül kicsi" intervallum.

*********
Kedves Lalo!

Írod:
"Én úgy tudom, hogy nincsenek a kontinuumnál nagyobb számosságú számhalmazok."
Ha igaznak vesszük a kiválasztási axiómát, akkor minden halmaznak van jólrendezése, ha pedig egy halmaz rendezett, akkor számhalmaznak is tekinthető - természetesen általános értelemben. Eszerint a kontinuumnál nagyobb számosságú "számhalmazok" is lennének.

Írod:
"... Ez a nézet az infinitezimálisok elavult és ellentmondásos fogalomrendszerét használja, amit nem véletlenül küszöböltek ki a matematikából számos ellentmondás és hibás eredmény után."
Ugyan már. Az infinitezimálisokat nem küszöbölték ki a matematikából, hanem a határérték fogalmával pontosították a jelentését. Az ezzel kapcsolatos probléma csak az, hogy az emberek egy része a határértéket is minduntalan egy befejezett véges számként próbálja meg elképzelni, ami helytelen.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 18:45:56   (142)
Kedves Hacsek,

a valós számegyenes (ez a valós számok halmazának a szokásos rendezés szerinti interpretációja) racionális és irracionális számokból áll.
1. Bármely két irracionális szám között van végtelen sok irracionális szám.
2. Bármely két irracionális szám között van végtelen sok racionális szám.
3. Bármely két racionális szám között van végtelen sok irracionális szám.
4. Bármely két racionális szám között van végtelen sok racionális szám.

A racionális számok halmaza megszámlálható számosságú.
Az irracionális számok halmaza kontinuum számosságú.

Mindkét számosság végtelen, ezért adódik, hogy a fenti négy állítás mindegyike igaz, annak ellenére, hogy ez a végeshez szokott elme számára "lehetetlenség" , "paradox".

Nem kell semmiféle intervallum meg végtelen kicsiny mennyiség, anélkül is teljesen ellentmondásmentes az elmélet.

Ez van.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 18:39:56   (141)
hogy két irracionális szám közé be tudsz tenni "egy" racionálisat

Az idézőjeles részt egyszer mondtam, pongyolaság volt. Legalább egy van, erről szól a tétel, de ebből következik, hogy végtelen ilyen van.

Egymás melletti racionális számok nincsenek, ahogy valósak sem, ezt te magad is mondtad már párszor.

Mi az, hogy "egyenként"? Ez köznapi szó, kérem definiálni a jelentését matematikailag.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 18:28:20   (140)
Hát akkor hogyan, kedves pint?

Te mindvégig azt hajtogatod, hogy két irracionális szám közé be tudsz tenni "egy" racionálisat. Akkor "egymás mellett" nincs két irracionális szám, tehát EGYENKÉNT vannak. Ez következik a te szűklátókörűségedből. Esetleg az, hogy irracionális számok egyáltalán nincsenek.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 18:20:48   (139)
"sem intervallumokban, sem egyenként nincsenek az az irracionális számok a racionálisak között"

A vastag részhez kérnék utalást, hogy hol mondtam ezt.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 18:17:34   (138)
Na jó, ha nyugi lett, akkor felteszem a végső kérdést:

Ha sem intervallumokban, sem egyenként nincsenek az az irracionális számok a racionálisak között, AKKOR HOL VANNAK?


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 18:12:48   (137)
Akkor folytassuk.

Egy régebbi hozzászolásomban ott tartottunk, hogy definiálva voltak a pozitív egész számok és az összeadás és szorzás, szigorúan csak ezekre.

Bevezetjük a nagyságrendi relációkat.

Segédtétel: Semmilyen m és n természetes számra nem lehet m=m+n
Biz.: HF. (Teljes indukciós szőrözés.)

Másik segédtétel: Ha m=n akkor m+p=n+p
Biz.: HF. (Teljes indukciós szőrözés.)

Definíció: Az m szám nagyobb az n számnál ill. az n szám kisebb az m számnál, ha létezik olyan p természetes szám, hogy m=n+p, és ezt úgy jelöljük, hogy m>n és n

Tétel: A > és < reláció tranzitív
Biz.: Ha m>n akkor az azt jelenti, hogy m=n+p, és ha n>r az pedig azt, hogy n=r+q, ezekből m=r+(q+p), tehát m>r igaz.
Ezért lehet a m>n>r rövidített jelölést alkalmazni.

Definíció: Az összeadás monoton művelet, azaz ha m>n akkor m+p>n+p
Biz.: HF.

Tétel.: Két természetes szám között a <,=,> relációk közül pontosan az egyik áll fenn.
Biz.: HF.

Ezt a tulajdonságot úgy szoktuk emlegetni, hogy a természetes számok rendezett sokaságot alkotnak.

Tétel(Jólrendezettség): A természetes számok minden nemüres részhalmazában van legkisebb szám.

Biz.: HF. (Nem triviális! Érdemes gondolkozni rajta!)

Számosság: Ha a természetes számsorhoz egymás után hozzárendeljük egy halmaz elemeit (megszámláljuk) és a halmaz véges lépésszám után kimerül, akkor végesnek, ha nem, akkor végtelennek nevezzük.

Tétel: Természetes számok monoton csökkenő sorozata véges.
Biz.: HF.

Tétel: A szorzás monoton, azaz ha m>n akkor mp>np a természetes számok körében.
Biz.: HF.

A hatványozás definíciója:

a^1=a
a^n'=a*a^n

Tétel: a^m*a^n=a^(m+n)
Biz.: HF.

Mára ennyi elég.
Ez után jönnek majd a negatív számok...


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:55:58   (136)
Ezt komolyan mondtad? Matematikában nem cáfolni szokás?

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:54:14   (135)
Ja, ezen nincs mit cáfolni, erről egyszerűen ki kell jelenteni, hogy súlyos tévedés.

Mondtam már, az enyémtől eltérő komplett elmélet vitájába szívesen beszállnék.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:47:18   (134)
Hacsek, ezt!

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:43:47   (133)
Kedves GPF!
Pint azt kérte, cáfoljak, de nem mondta konkrétan, hogy mit!
Én meg kétségbe vontam egy szerintem hibás elméletet.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:31:15   (132)
Hacsek!

Senki nem állította azt, amit pintnek írt válaszodban mondasz.

Te írtad:
"Az a számhalmaz folytonos, aminek nincsenek szomszédos elemei, mert bármely két eleme között még végtelen sok, intervallum számosságú elem helyezhető el."
Ez az előbb általam definiált számhalmazra is igaz!
Üdv holnap!
GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:24:28   (131)
Lalo!

Én sem tudok konkrétan ilyen számhalmazt. Igazából azt sem tudom, mi az a számhalmaz. Ha testekről beszélünk, amik lehetnek a számhalmazok általánosításai, akkor viszont el tudok képzelni nagyon nagyokat is.
Most nagyon hülyét fogok kérdezni, de ha már ennyire benne vagyunk...

Mi az, hogy szám?

A komplex számoknak egy modellje a valós számpárok halmaza, mindenféle műveletekkel. A valós-valós fv-eken is lehet értelmezni műveleteket, így (alig merem leírni) bizonyos szempontok alapján azok is számoknak tekinthetők. Mondom, én úgy tanultam, hogy a valós számok Cauchy féle sorozatok ekvivalencia osztályai, ez sem egyszerűbb, mint a fv-ek.

GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:24:04   (130)
Rendbe van pint!

Az enyémtől eltérő modell csak azt mondhatja ki, hogy a valós számok, halmaza úgy néz ki, hogy
1 rac, 1 irrac, 1 rac, 1 irrac, 1 rac, 1 irrac, 1 rac, 1 irrac stb.
Ez szerintem rosszabb modell, mint az enyém. Nem alkalmazkodik ugyanis az eltérő számosságok tényéhez.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:15:09   (129)
Kedves Lalo!

"a végtelenül kicsi intervallum akkora, hogy a hossza nagyobb nullánál, de kisebb bármely pozítív értéknél
Ilyen nincs!"

Szerintem meg van! Ez az én világnézetem.

DE nosza rajta: kérek egy, az enyémtől különböző elméletet vagy modellt arról, hogyan helyezkednek el a racionális és irracionális számok a valós számok halmazában, és vitatkozzunk arról.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:09:59   (128)
Mostmár tényleg elég legyen ebből. A matematika egy tudomány, azaz az eszközrendszerét el kell fogadnod, ha vitatkozni akarsz.

Cáfold meg amit mondtam, és hagyjuk a filozófiát.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:09:34   (127)
GPF!
"Hacsek def-je szerint azok a valós számok, amik 1 és 2 között vannak (nyílt intervallum) unio azok a valósak, amik 3 és 4 között vannak, folytonos számhalmaz."
Ez melyik állításomból következik?

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:09:14   (126)
Kedves Hacsek!

Idézem tőled:

a végtelenül kicsi intervallum akkora, hogy a hossza nagyobb nullánál, de kisebb bármely pozítív értéknél

Ilyen nincs!

Azt hiszem ez a kulcsa az egyet nem értésünknek. Ez a nézet az infinitezimálisok elavult és ellentmondásos fogalomrendszerét használja, amit nem véletlenül küszöböltek ki a matematikából számos ellentmondás és hibás eredmény után.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:07:20   (125)
Bármely két elem között kell legyen kont.számgú elem.
A te halmazodban a 2 és a 3 között nincs elem, ergo a definició szerint nem folytonos.

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:05:27   (124)
Fene ez a html disznóságot.

adott az x valós szám, amire x > 0 és minden x2 pozitív valós számra x < x2


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:05:04   (123)
Már megint lemaradt valami technikailag.
De azt hiszem, már megint véges nagyságú intervallumokra gondolsz. Absztrahálj, kedves Pint!

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:03:34   (122)
GPF!

Én úgy tudom, hogy nincsenek a kontinuumnál nagyobb számosságú számhalmazok. A komplex számok és a kvaterniók halmaza ugyanúgy kontinuum számosságú mint a valós számok köre. (Ugyanez a helyzet vektorterek esetén is, persze azokat végképp nep tekinthetjük számoknak.)

Én csak hatványhalmazok és függvényhalmazok kapcsán találkoztam kontinuumnál nagyobb számosságokkal.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:03:14   (121)
Hát nem bírom leírni, amit akarok.

Most akkor betűkkel:

Hacsek def-je szerint azok a valós számok, amik 1 és 2 között vannak (nyílt intervallum) unio azok a valósak, amik 3 és 4 között vannak, folytonos számhalmaz. Nem tudom, ezt akarta-e.

Pint, Te nem az ellenkezőjét írtad az előbb?
GPF


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:02:14   (120)
Tehát adott az x valós szám, amire x>0 és viszont minden x2 pozitív valós számra x

Ez lehetetlen, mert 0 és x között, amelyek két nem egyenlő valós szám, kell lennie legalább egy harmadik valós számnak, ami tehát x-nél kisebb.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 17:01:59   (119)
GPF!
Off!
Ha csak linket akarsz tenni, azt el tudom küldeni emilben.
HTML-próba a topic neve.
Offoff.

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:59:04   (118)
Kedves Ebey!

A végtelenül kicsi alatt természetesen véletlenün kicsi pozitívot értek, nem mínusz végtelent.
Tehát a végtelenül kicsi intervallum akkora, hogy a hossza nagyobb nullánál, de kisebb bármely pozítív értéknél. Ilyen távol vannak egymástól a racionális számok elkülönülő pontjai, és minden egyes ilyen "elenyésző" intervallumban mégis kontinuum számosságú irracionális szám van.
Ez az én állításom immár harmadik hete.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:57:26   (117)
RondaOFF
Bocs, de nem tudok segíteni, én innen-onnan lestem el. Van ilyen topik, de nem tudom, hogy mi ér. (HTML suli a kezdete, és el van sűllyedve.)
ON

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:51:33   (116)
A vége lemaradt az előbb.

Hacsek def-je szerint az 1

Na, de miért vannak irracionális intervallumok?
GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:46:27   (115)
Pint!
OFF
Mit olvassak el, hogy én is tudjak ilyeneket csinálni, meg boldot, meg italikot?
ON

Igazad volt, ezt tényleg lehet úgy értelmezni. Akkor sem tudom, hogy ebből miért következik, hogy vannak irracionális intervallumok.
Várj csak!

Az 1GPF


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:35:38   (114)
Kedves Hacsek!

Valós intervallum: mindazon valós számok halmaza, melyek valamely a és b különböző valós számok közé esnek.
Intervallum hossza: |b-a| > 0
Még egyszer, mert ez fonmtos: egy intervallum hossza mindig pozitív valós szám. Egy pozitív valós szám pedig _nem lehet végtelenül kicsi_
Bizonyos esetekben, ha ez éppen jó valamire, tekinthetjük az x valós számot 0 hosszúságú zárt intervallumnak, de erre csak kényelemből lehet "szükség". De a 0 hosszú intervallum sem végtelenül kicsiny hosszú, hanem 0 hosszú.
Ennyi. De ezt Te is tudtad eddig is. Akkor miért kérdezted? :-))))


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:33:30   (113)
Biztos elolvastad, amit írtam?

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:31:01   (112)
Veled ellentétben azt gondolom, hogy a +-végtelen nem valós számok, hanem (mást jelentő) matematikai fogalom.

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:29:29   (111)
Itten van.

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:28:18   (110)
"Az nem elég bizonyítás, hogy bármely két irracionális között van racionális?"
Nem elég. Az a mérvadó, hogy a racionális számok minden intervallumban megszámlálhatóan vannak végtelenül, az irracionálisak pedig nem megszámlálhatóan (megszámlálhatatlanul) végtelenül.

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:26:52   (109)
A végtelen definíciója esetfüggő. A végtelen számú halmaz pl annyi, hogy nincs olyan természetes szám, aminél ne lenne az elemszáma nagyobb. Önmagában a "végtelen" nem igazán matematikai fogalom.

Létezik a valós számoknak olyan kiterjesztése, amiben van két végtelen, a plusz és a minusz végtelen, de ez aligha tartozik ide.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:25:37   (108)
OK, Pint.

Szerintem Hacsek nem tett ilyen definíciót, amit Te mondasz.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:23:58   (107)
A végtelen fogalmát definiáltátok?

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:22:32   (106)
GPF: télleg hagyjuk ezt, csak félreértés volt.
Pongyola volt a fogalmazásom (ahogy szokott), de értsük már, hogy itt kontinuumnál számosságnál nagyobb számosságú halmazok szóba se kerültek, nem is gondoltam rájuk.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:16:20   (105)
Ebey!

Nagyon igazad van. Kár, hogy nem én írtam.

Hacsek!
Az nem elég bizonyítás, hogy bármely két irracionális között van racionális?
Nem tudom, mi az, hogy megszámlálhatatlanul végtelen. Ha az, hogy nem megszámlálható, akkor igaz, amit mondasz.
Pint!
Nem számhalmazokról írtál. De biztos vannak kontinuumnál nagyobb számhalmazok is.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:14:08   (104)
Definiáld légyszives a végtelenül kicsi intervallumot, mert azt nekem nem tanították.

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:13:02   (103)
Kedves pint!
Sokadszor írom le, hogy nem véges nagyságú intervallumról van szó, hanem végtelenül kicsiről (amelyben mégis végtelenül sok elem van)
De kérdezek tovább. Hogyan végtelen ? (mármint a tetszőleges intervallumba helyezhető rac. számok száma)

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:07:27   (102)
Kiegészítve a többi hasonló szerkezetű állítással -- amelyek bizonyítottak -- világos hogy végtelen számú. De ez nem tartozik ide. Te ugyanis azt állítod, hogy van olyan valós intervallum, amelybe csak irracionális számok tartoznak.

Tehát (a,b) valós intervallumon (a és b valós és /=) belül minden szám irracionális. De mivel a és b között a fentiek értelmében van racionális szám, így ez ellentmondás. Ez olyan egyszerű, hogy tényleg nem értem, miről van szó.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 16:01:09   (101)
Mennyi?

pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:56:21   (100)
Bizonyítottuk, de nem fogadtad el.
Még 1x, ha valaki már elvesztette volna a fonalat:
Bármely két különböző irracionális szám között van racionális szám.

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:53:40   (99)
Kedves Ebey!

Amit írsz, azt elfogadom. DE:

Azt szeretném tudni, hogy a jelenleg ismert és elfogadott elmélet(ek) mit mond(anak) szerinted a valós számok körében a racionális-irracionális eloszlásról. Van egyáltalán ilyen elfogadott elmélet? Tudniillik egyikőtök sem említett jól felépített ellenelméletet, csak GPF és Pint állítják, hogy nincsenek irracionálisszám-intervallumok. Állítják, de nem bizonyították.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:46:20   (98)
html lett a jeleimből. mégeccer.
- u.az
- azon x valós számok, amikre 1 < x < 2 és 3 < x < 4
- az előző halmaz, és a racionális számok unioja
- u.az

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:46:03   (97)
GPF!

Nem hiszem, hogy elszólás lett volna: valóban a folytonos=kontinuum. A folytonos halmaz összességében kontinuum számosságú.

Az 1-2. pontoddal ott vitatkozom, hogy a két valós szám közé megszámlálhatóan végtelen racionális számot és megszámlálhatatlanul végtelen irracionális számot tudunk (mindketten) helyezni. Ebben megállapodhatunk?

A 3. ponthoz: azért nem értelmezettek, mert paradoxok!

A 4. ponthoz: ezek szubjektív megítélések, így sértik az én gondolatszabadságomat =(:-))


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:43:21   (96)
Oké, amellett, hogy igazad van, te értetted félre, amit én mondtam. Én nem beszéltem halmazok halmazáról, csak számhalmazokról.

Hacsek azt mondta, hogy folytonos az a halmaz, amlynek bármely két külünböző eleme között kontinuum számosságú elem van. Erre válaszoltam én aképpen, hogy ez nem nagy szám, mert ez csak akkor lehetséges, ha a halmaz kontinuum számosságú, hiszen már egy részhalmaza is az (két eleme közötti elemei). Tehát az az állítás ezek után, hogy a racionális számok nem folytonos halmaz, nem valami nagy tett.

Ez a definíció teljesen világos, mindenkinek jogában áll ilyen definíciót alkotni. Eszerint nem folytonos pl:

- a racionális számok
- azon x valós számok, amikre 1- az előző halmaz, és a racionális számok unioja
- az x<>2 valós számok

stb.

Ez elég szimpa, de hogy ez mire jó, azt ugye ne tőlem kérdezd.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:42:55   (95)
Kedves topic-olvasók,

azt hiszem, most már le kell szögeznünk valami fontosat, aminek figyekmen kívül hagyásából adódik az, hogy ennyire nem értjük meg egymást.

Mi itt _nem a való világról vitatkozunk!_

Bármilyen matematikai elméletről csak az adott szakterület saját szimbólumrendszerét, axiomáit használva mondhatunk állításokat (Hacsek). Ha saját elméletünket bele akarjuk építeni (DcsabaS_ ), ám legyen, de az már akkor a saját elméletünk és nem a klasszikus elmélet. Azt már csak önbizalom kérdése feltételezni, hogy elméletünk legalábbis ugyanannyira teljes, következetes (ellentmondásmentes) mint a klasszikus elmélet. Viszont senki (Hacsek, DCsabaS_) ne várja el senki mástól (Pint, Lalo, Ebey) stb. hogy az általa kreált új-matematika tételeit inkább elfogadja, mint az eredetit. Mégpedig azért, mert amit az eredeti, klasszikus elméletről ismerünk (eddigi iskolai tanulmányaink vagy saját érdeklődésünk következmémyeként) az sokkal több, mint amit az általatok módosított elméletről nekünk elmondtok itt.

Még egyszer: arról lehet vitatkozni, hogy volt-e ősrobbanás vagy nem, van-e isten vagy nincs, érvényes-e a relativitáselmélet. Arról, hogy az euklideszi tér elméletében jogos-e a 0 kiterjedésű, dimenzió nélküli pont fogalma, nem lehet vitatkozni. Mivel azt az elméletet Euklidesz "így találta ki".
Viszont arról megint csak vitatkozhatunk, hogy a DCsabaS_-tér elmélete axiomarendszere ellentmondásmentes-e. :-))

Nem akartam megbántani senkit, és remélem, nem is tettem ilyet.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:40:22   (94)
Szerintem az én megfogalmazásom volt a pontosabb. Az abszolut geo az, ami az V. posztulátum elhagyásával keletkezik. Igen, Bolyai definiálja a párhuzamosságot, a megszokott értelemben, és felépíti azokat a tételeket, amikhez nem kell az V. posztulátum.
De ezekből az következik, hogy a háromszög szögösszege <= 180. Tehát nagyobb nem lehet.
Tudom, hogy sokféle geo van, de a szögek, távolságok fogalma nem is mindenhol értelmezett.
Mi nem igaz ebben? Azt továbbra is állítom, hogy nagyobb nem lehet a szögösszeg, ha a többi axioma igaz.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:27:40   (93)
pint!

Kezdek monologizálni, ez nem igen tetszik nekem. Na, azért:

Azt írod:
"
Nem kontinuum számosságú halmazok részhalmaza nem lehet kontinuum számosságú.

Hát, ez nem valami falrengető állítás, már bocs. Tehát nem is vitatta senki.
"

Én vitatom. Úgy lenne pontos, hogy kontinuumnál kisebb halmaznak nem lehet kontinuum részhalmaza. Így viszont tényleg semmit mondó az állítás. Viszont kontinuumnál nagyobb halmaznak lehet kontinuum része.

Amit írtam az előbb bővebben:
Minden halmaznál nagyobb számosságú a részhalmazait tartalmazó halmaz. Így a valós számok részhalmazait tartalmazó halmaz nem kontinuum számosságú, hanem annál nagyobb. A részhalmazok közt vannak olyanok, amik csak egy-egy valós számot tartalmaznak. Ez a halmaz viszont kontinuum számosságú és része egy nem kontinuum számosságú halmaznak.

(Tehát ez a halmaz az összes olyan halmazból áll, ami egyetlen valós számot tartalmaz.)


Geőcze Zoárd válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:25:11   (92)
GPF,

Amit a Bólyai geo-ról írsz, így nem teljesen igaz. A Bólyai féle geometria nem egy geometria, hanem inkább egy recept, geometriák készítésére. Az V. posztulátum Euklidészi formájában tényleg kiiktatta ugya, de nem vetette el a párhuzamosságot, mint olyat, hanem definiált helyette egy "változót", amelyik amelyik mindenféle értéket felvehet és ezáltal valahogyan meghatározza a tér görbületét -> minden értékéhez tartozik egy geometria.
Ezért hívják abszolult geometriának, és ahogy sejthető az Euklidszi geometriát speciális esetként kiadja, ha ez a változó=0 (asszem 0, de lehet, hogy 1).

A Riemann geo egy gömb külső felszínén van értelmezve, Lobacsevszkij pedig egy gömb belső felületén értelmezett egy geo-t.

Van ezen kívül még sok minden más is, pl. a projektív sík, ami valahogy úgy jön létre, hogy egy gömb felszínén azonosnak képzeljük az átellenes pontokat (Pl. az Északi Sark ÉS a D-i Sark egy pont), de eről DcsabaS_ biztos többet tud.

G. Zoárd

A lényeg, hogy mindegyik geometriában más és más lehet a 3szögek belső szögeinek összege, MERT ma modell (a geo maga) így van megszerkesztve.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 15:18:37   (91)
Hacsek!

Kösz a bókot.
Nekem úgy tűnik, hogy elszóltad magad, amikor azt írtad, hogy a folytonos, meg a kontinuum ugyanaz.
Ebben megállapodhatunk, hogy szerinted egy halmaz csak akkor folytonos, ha kontinuum számosságú? Én ezt el tudom fogadni, csak legyen már egy kiindulópontunk. Ezek után a racionális számok persze nem lehetnek folytonosak.

1. Én is állítom, hogy nincsenek racionális intervallumok. Én még azt is, hogy irracionálisak sincsenek.

2. Én is be tudok helyezni. Racionálisat is, irracionálisat is.

És akkor mi van? Ettől még nem fogadom el, hogy vannak irracionális intervallumok, hisz bármely két irracionális közé be tudok rakni racionálist. Érdekel az algoritmus?

3. Amiket írsz, azok nem paradoxak, csak nem értelmezettek.

4. Én csak a fogalomösszemosást, a körkörös definíciót, és a megszokottól eltérő, a pontosan definiáltnak nem megfelelő fogalomhasználatot nem fogadom el egy vitában, mint meggyőzési eszközt.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:53:11   (90)
Lalo!

A Bolyai geometriában nem használunk semmit az V. posztulátum helyett. Anélkül építkezik, és a többi axiomából következik, hogy a szögösszeg <= 180 fok. Ezért abszolut geo. Ha az V. posztulátumot elfogadjuk, akkor 180 a szögösszeg, ha helyette azt fogadjuk el, hogy több nem metsző egyenes van, akkor a szögösszeg < 180 fok.

Van a gömbi geo is, ahol a szögösszeg nagyobb 180-nál, de ott nem igaz a többi axioma sem. (pl. két egyenes nem csak egy pontban metszheti egymást.)
Szerintem nem ez a Riemann geo. De ezt nem tudjuk.

Azt hiszem, az előbbi példád, vagyis, hogy nem találtunk nem 180 fokos szögösszegű háromszöget nem jó.

Igen, a zéta fv. gyökeiről szóló sejtésre gondolok, de abból baromi sok minden következik. Azt nem tudtam, hogy a prímfaktorizáció is.
GPF


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:46:02   (89)
Őőőőő, ezt most nem értettem. Megmagyaráznád egyszerűbben?

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:44:30   (88)
Zoárd!
Igen, tudom, ez a 100000 márkás díj, csak nem voltam biztos a név írásában, azért írtam csak az összeget. Ilyen anyagias vagyok.

A másik hozzászólásodra:
A matek kétértékű logikával dolgozik. (A fuzzy-logic szerintem valószínűségeket használ, de itt is egy állítás igaz, vagy hamis, ill. egy valami egy adott valószínűséggel tartozik egy halmazhoz.)


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:40:46   (87)
pint!

Az a mondat nem igaz, hogy nem kontinuum számosságú halmazok részhalmaza nem lehet kontinuum számosságú. Pl. a valós számok összes részhalmaza nem kontinuum számosságú, de ha csak azt a részét tekintjük, amiben az 1 elemű halmazok vannak, az kontinuum.

Nekem baromira nem világos továbbra sem Hacsek definíciója. Ha Neked igen, mondd el Te is, hátha abból megértem.
GPF


Geőcze Zoárd válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:37:32   (86)
GPF,

Wiles megkapta a Wolfskehl díjat is, ezt direkt a Nagy Fermat tétel bizonyítójának írták ki. Ez nem fontos, de érdekes.

Egyébként bocsi, a valósokról nem volt szó. Újragondolom, aztán meglássuk.

G. Zoárd


Geőcze Zoárd válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:23:01   (85)
Kedves Ebey, Hacsek,

Amit Ti feszegettek, az a harmadik kizárásának elve, ami valóban a Russel féle matemetikai logika egyik alpköve. Csakhogy, a világ nem ilyen egyszerű és léteznek más logikák is (feltéve, hogy logika alatt olyan rendszert értünk, amelyben valami állításokról itéleteket mondhatunk). A legismertebb ilyen a Fuzzy logika, ami részben lehetővé teszi a 3. kizárásának hatályon kívül helyezését. (Világos, hogy sakkozni nem lehet, csak "vagy világos, vagy sötét kezd" alapon, itt nincs helye a harmadik lehetőségnek, de egy csomó helyen igen)
Másszóval, a "Ha valami biztos nem hamis, akkor igaz." tipusú állítások nem szügségképpen igazak.

G. Zoárd


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:12:59   (84)
Kedves GPF!

A Bolyai ill. a Lobacsevszkij geometriában azért van 180 fokosnál kisebb szögösszegű háromszög, mert nem tiltottuk meg. (Azaz nem fogadtuk el az eredeti V. posztulátunot, hanem helyette mást használtunk.)

A Riemann geometria az, ahol vannak 180 foknál nagyobb szögösszegű háromszögek. Többet erről sajnos nem tudok.

Olvastam a Nagy Fermat sejtés című könyvet. Milyen Riemann sejtésre gondolsz, ami a zéta-függvény gyökeiről szól? Arról azt hallottam, hogy ekvivalens a prímfaktorizáció gyors (valamilyen polinomfokú) megoldási lehetőségével, ami ugye a nyílt kulcsú titkosítások végét jelentené.


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:06:16   (83)
Oké, leesett. Azért kerülte el a figyelmemet, mert enélkül egy értelmes, de hamis érvelés lett volna, így viszont egy evidencia, amiből viszont nem következik semmi. Rólad inkább feltételeztem az előzőt, és ez nem sértés akart lenni. A te állításod ugyanis átfordítható eképpen:

Nem kontinuum számosságú halmazok részhalmaza nem lehet kontinuum számosságú.

Hát, ez nem valami falrengető állítás, már bocs. Tehát nem is vitatta senki.

A definíciód a folytonos halmazokról így már világos. Részemről mehetünk tovább.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 14:04:45   (82)
A Nagy Fermat Sejtés be van bizonyítva!!! 5 éve. Erről szól az a köny, amiről már többen írtunk. Ez már túl van a felröppenés szintjén, publikálták, lektorálták, elfogadták a bizonyítást. Andrew Wiles bizonyította, megkapta a Wolf díjat (megosztva), ami a matek Nobel díj, és megkapta a Fermat sejtés bizonyításáért járó 100000 márkát is, amit kb. 100 éve ajánlottak fel.

A függetlenségből következik, hogy nem lehet ellenpélda. Akkor nem lenne független, mert meg lehetne cáfolni. Tehát nem egészen más kérdés. A függetlenség nem azt jelenti, hogy MÉG nem cáfolták meg, hanem azt, hogy matematikai eszközökkel az adott axiomarendszerben nem lehet megcáfolni.
GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 13:50:09   (81)
Kedves GPF!

Jól kérdezel.

A "folytonos számhalmaz" definíciómban joggal köthettél volna bele a "kontinuum" szóba, mert nem illik egy fogalmat önmagával definiálni. Ezért választottam ezt az "intervallum számosságot".
Amit kifogásolsz, az tkp. jogos, nem úgy használom az összes fogalmat, ahogy szokásos.
Egyik mentségem, hogy nem is úgy gondolom, ahogy szokásos. A másik mentségem, hogy állításaim nem hamisak, legfeljebb vitathatók.
De hiszen ez az egész topic azért született, mert nekem vitatható, de nehezen cáfolható elméleteim vannak, nem?

Az 1-es pontodhoz: én továbbra is állítom, hogy a valós számkörben nincsenek racionálisszám-intervallumok, mert egyesével (pontszerűen) vannak a számegyenesen.

A 2-eshez: Azt hittem, megnyugodtál már abban, hogy bármely 2, általad megadott valós szám közé én még végtelen sok valós számot tudok helyezni (érdekel az algoritmus?)

A 3-ashoz: a valós számok halmazán paradox a 0-val való osztás, paradox a negatív számok törthatványa, paradox a 0^0, paradox a tg90°, paradox a negatív számok logaritmusa, általában minden, aminek a végtelenhez köze van. Hogy miért paradox a végtelen? Hát erre, csak annyi a válaszom, hogy CSAK.

A 4-eshez: Én nem vagyok konstruktivista, te mégis kifogásolod az én tiedtől eltérő fogalomhasználatomat. Ezek szerint te nem fogadod el az "ösztönös" konstruktivizmust, de ez nem baj.

Hacsek


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 13:46:27   (80)
Kedves GPF!

Idézed:
"A könyv azt a következtetést vonja le, hogy a függetlenségből az következik, hogy biztos nem hamis, csak lehet, hogy az igazságát nem lehet bizonyítani. ..."
Először is, ha nem találtunk függést, abból még nem következik hogy nincs is, csak az, hogy nem találtunk.
Másodszor, ha fenn is áll a függetlenség egy adott axiómarendszer vonatkozásában, abból még nem következik, hogy a független dolog "biztos nem hamis", hiszen később még bővítenünk kellhet az axiómarendszerünket, és akkor kiderülhet a korábban független dolog hamissága.
Egy dolog függetlensége tehát nem azt jelenti, hogy biztosan nem hamis, hanem csak azt, hogy igazságát az éppen használni kívánt rendszerben nem lehet megítélni.

Kérdezed:
"Ha valami biztos nem hamis, akkor ez nem jelenti azt, hogy igaz? Az indirekt bizonyítás nem ugyanez?"
Az arisztotelészi logika alkalmazhatósága azokra az esetekre korlátozódik, amikor egy állítás igazságértéke határozott, vagyis amikor a bizonytalan harmadik eset kizárható. Éppen ebben nyilvánul meg statikus jellege. És éppen ezért eleve hiányos.


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 13:44:39   (79)
Kedves GPF,

ki mondta, hogy nincs ellenpélda? Csak annyi igaz, hogy még nem találtak ellenpéldát. Ha valakinek sikerült bizonyítania, hogy nincs ellenpélda, akkor bebizonyította a Sejtést.

Az pedig, hogy a Nagy Fermat Sejtés azon állítások közé tartozik vagy nem, melyek se nem cáfolhatók, se nem igazolhatók, egy egész más kérdés. Az én tippem az, hogy nem.

Egyébként, mi itt vitatkozunk ezen, de valamikor nem túl régen mintha felröppent volna egy bizonyításnak a híre. Azzal mi lett, nem tudja valaki?


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 13:28:17   (78)
Pintyőke!
Mint az általad nyitott kis új topicból is kiderül, ... Hm, hagyjuk inkább, itt most valami sértő következett volna.

Immár két hete ezen vitatkozunk.

Ha addig a mondatrészig eljutottál volna, hogy "intervallum számosságú", akkor nem lenne problémád.

De jó, felteszem neked a kérdést!
A te nézeted szerint a racionális számok végtelen sűrűségéből az következik, hogy mindenhol vannak racionális számok a számegyenesen. De akkor hol vannak az irracionális számok?

Amikor egy egyenessel, szakasszal jelezzük a valós számokat, az szerinted a racionális számok sűrű halmazát jelzi?

Tényleg érdekelne, hogy te HOGY gondolod (nem az, hogy HOGY NEM?)!


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 13:22:07   (77)
Kedves Hacsek!

1. Mi az, hogy intervallum számosságú elem? Kontinuum? Csak kontinuum számosságú számhalmaz lehet folytonos? Ha csak a racionális számokat tekintjük, ott is vannak intervallumok. Így, a definíciód arra is igaz.
Én nem mondom az állításaidra, hogy hamis, mert nem értem őket. Mindig belekeversz olyan fogalmakat, amiket nem tudok értelmezni.

2. Nem szétválasztási metódusra utaltam, az nem tudom mi. Rendezésre utaltam. Miért lett volna igazad a válaszban?

3. Mondjál paradoxonokat a jelenlegi matematikában! Én nagyon szeretem a paradoxonokat, csak mostanában nem nagyon tudok. Miért paradoxon a végtelen?

4. Van a matematikának egy olyan ága (konstruktivizmus), amely nem fogadja el a végtelent, csak olyan fogalmakat használ amiket meg tud konstruálni. Nagyon komoly eredményeik vannak, pl. a kombinatorika, az algoritmuselmélet sok kérdése ide tartozik. De! Ők nem foglalkoznak a folytonossággal, a végtelennel...

GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 13:11:26   (76)
Kedves Lalo!

Úgy gondolom, hogy találtunk. A Bolyai geometriában vannak nem 180 fokos háromszögek.
Ott az állítás csak az, hogy a háromszög szögösszege <= 180 fok. Nagyobbra nem találtunk példát, mert az már ellentmondana a többi axiomának.
A Riemann-féléről nem tudok sokat. Az nem olyan, hogy a görbülete pontról pontra változik? Vagyis a Bolyai féle általánosítása?
Még nem győztél meg, de jó volt a példa.

Ui. Te olvastad a Nagy Fermat sejtés könyvet? Én nagyon hiányoltam belőle Riemann nevét. Úgy tudom, hogy az ő sejtéséből egy csomó számelméleti tétel következne. Pl. azt hiszem a Nagy Fermat is. Nem tudod mi van ezzel?


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 12:29:27   (75)
Melyik mondat végéig? Arra gondolsz, hogy:
"de annak részhalmaza lehet"?

Nem értem, hogy ez mit változtat a dolgon. Ez két független állítás:
1. Megszámlálható számosságú számhalmaz nem alkothat folytonos számhalmazt.
2. Megszámlálható számosságú számhalmaz lehet részhalmaza folytonos számhalmaznak.

Én az elsőt használtam fel egy ellentmondás megmutatásához.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 12:23:35   (74)
Pint, kedves!

Jussál már el a mondat végéig!


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 12:12:34   (73)
Kedves GPF!

Gondolj a Bolyai-féle abszolút, a Lobacsevszkij féle hiperbolikus, vagy a Riemann-féle elliptikus geometriára! Az V. posztulátum ekvivalens azzal, hogy a háromszögek szögösszege 180 fok. Találtunk példát vagy ellenpéldát nem 180 fokos háromszögekre a nem kibővített axiómarendszerben?


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 12:02:20   (72)
Hacsek

"Az a számhalmaz folytonos, aminek nincsenek szomszédos elemei, mert bármely két eleme között még végtelen sok, intervallum számosságú elem helyezhető el."

A racionális számokra is igaz, hogy bármely két eleme közé stb, tehát nincsenek szomszédos elemek. Akkor most hogy is van ez?


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 11:57:41   (71)
Kedves GPF!

Nem te vagy az első, aki megfogadta, hogy nem vitatkozik velem (:-))
A keménységet pedig állnom kell, ha én is az vagyok.

Hogy mi is a folytonos számhalmaz (mert azt azért meg kell jegyeznem, hogy én mindig számhalmazokról beszéltem)?
Ennek a meghatározásában éppen a te álláspontod különbsége segít:
Az a számhalmaz folytonos, aminek nincsenek szomszédos elemei, mert bármely két eleme között még végtelen sok, intervallum számosságú elem helyezhető el.
Megszámlálható számosságú számhalmaz (pl. a racionális számok) nem alkothat folytonos számhalmazt, de annak részhalmaza lehet.
Az én álláspontom szerint a valós számok halmaza ilyen.

Én is elfogadok érveket arra, hogy ez az állításom hamis.
Te már egyszer utaltál arra, hogy létezik (létezhet)olyan szétválasztási metódus, amiből az következik, hogy vannak szomszédos valós számok, amik között semmi nincs. Én az ehhez a következtetéshez vezető elméletet kissé gorombán nyilvánítottam hamisnak (még egyszer bocs az akkori szóhasználatért), de mentségemre szóljon, hogy igazam volt.
Ameddig nem tudsz tényleg szomszédos elemeket felmutatni, addig nekem a valós számok folytonosan vannak.

Az n. deriváltat, mint példát említettem, mint olyan adatot, ami egy függvényt "n. mélységben" ír le. Arra hoztam fel példaként, hogy a logikai állításoknak is "igazsági szintjei" vannak (lehetnek).

Szerintem vannak paradoxonok a matematikában. A legtöbbre azt mondjuk, hogy inkább nem értelmezzük. A legfontosabb paradoxon-jelenség maga a végtelen.

Ui. Szerintem rettentő unalmas lenne ez a topic, ha mi itt mindenben egyetértenénk. =(:-))


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 11:40:03   (70)
Ebey!

Azért az nem igaz, hogy semmi közük egymáshoz.
Amikor egy konkrét ellenpéldával lehet cáfolni egy állítást, (szerintem nem minden állítás ilyen), akkor az előbbi gondolatmenetem helyesnek tűnik.
Mégegyszer: ha nem cáfolható, egy állítás, akkor nem adható konkrét ellenpélda. Ha nincs ellenpélda, akkor igaz. Hol a hiba?
GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 11:32:41   (69)
Zoárd!

Szerintem még nem volt szó a valós számokról.
Mit jelent nálad a rákövetkezés a valós számok esetén?

Így van, szerintem is keveredik a halmaz és a fv. folytonossága. Szerintem nem kell a mérhetőséget belekeverni a "folytonosságba". Már van így is elég fogalom.
Ami a "folytonossághoz" lehetne hasonló, az a Cauchy, vagy Dedekind féle tulajdonság, vagy az hogy a korlátos monoton sorozatoknak mindig van határértéke, de ezt már írtam lejjebb.

A fv. folytonossága nem mond ki semmit az értelmezési tartományra. Pl. minden olyan fv, ami az egész számokon van értelmezve, (és a valósba képez) folytonos.
Ehhez mit szólsz, Hacsek?

GPF


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 11:25:41   (68)
Kedves GPF, és Hacsek!

Ha valami biztos nem hamis, akkor igaz. És ha biztos nem igaz, akkor hamis. Nincs harmadik féle lehetséges logikai érték, _mert a matematikai logika rendszerét így definiálták_
A nem bizonyítható és nem is cáfolható tulajdonságnak nincs semmilyen köze az igaz és hamis tulajdonságokhoz.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 11:05:09   (67)
Kedves Hacsek!

Nehéz helyzetben vagyok Veled. Sokminden amit mondasz, hordoz némi igazságot, de úgy érzem, hogy sokszor olyan következtetéseket vonsz le, amiket nem lehet. Ez a hozzászólásod is ilyen. Egyszer már megfogadtam, hogy nem vitatkozom Veled, annyira máshogy közelítjük meg a dolgokat, a kiinduló fogalmainkat, axiomáinkat meg nem tisztázzuk. (pl. itt van Nálad a folytonos halmaz fogalma.)
Azt hiszem magamról, hogy el tudok mindenféle nézetet fogadni. Ha a másik is hajlandó elfogadni dolgokat, akkor még vitatkozni is hajlandó vagyok vele. Úgyhogy, ha definiálod a folytonos halmazt, visszatérhetünk erre a kérdésre.

Az aktuális hozzászólásod pontjairól:
1. A logikai érték lehet még független is, a Te 3 fajtádon kívül. Sőt, ha matematikai módszereket használunk, akkor paradox nem lehet. (Ha ezen azt érted, hogy az igazsága is, meg a hamissága is belátható.)
2. Én nem így gondolom. Csak nem értem annak a következtetésnek a hibáját, amit az előző hozzászólásomban tettem.
3. Ezt teljesen nem értem. Mik azok az egymásba fonódó szintek, meg hogy jön ide az n. derivált?

U.i. A könyvben én is sok mindent hiányoltam. Azokat is, amiket Te írsz. A matematika történet nem baj, mert egy kicsit más szemszögből írta, mint amiket eddig én olvastam.
Sajnos már kezdek beletörődni, hogy a mi rétegünknek (mondjuk úgy, hogy a matek után mélyebben érdeklődőknek, de nem matematikusoknak) nem nagyon íródik, vagy fordítódik könyv. Ha nem így van, szóljatok.

Bocs, ha kemény voltam.
Üdv
GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 10:30:42   (66)
Kedves GPF!
Hát ez az. Én már két hónapja olvastam a könyvet, és mindaz, amin vitatkoztunk eddig, ugyanazt a kételyt fogalmazta meg bennem is.
Az én válaszom: a formális logikának vannak szintjei.
1. Egy állítás logikai értéklése
igaz, hamis ÉS paradox lehet.
2. Az hogy valaminek az igazsága nem bizonyítható, logikai paradox. Ez a paradoxon második szintje.
3. Az ilyen módon egymásba fonódó logikai szintek különböző állomásai olyasmik, mint az n. derivált, tehát újabb és újabb tulajdonságokat fednek fel.

A mi vitánkban én végig erre hivatkoztam, ha emlékszel még. Arra hivatkoztam, hogy a valós számok folytonosságát úgy lehet cáfolni, ha lukat mutatsz benne (ld. Fermat-tétel: csak ellenpélda találása cáfolta volna)

Mellesleg: a könyben én hiányoltam, hogy magából a bizonyításból elég keveset közöl. Mondjuk a függelékben közölt marhaságok helyett szívesebben vettem volna egynémely levezetést, másrészt az ókori előzmények (amit máshol is olvasni lehet) helyett is valami érdemi lehetett volna.
Tudom, hogy ezt riportregénynek írták, mégis csalódás volt nekem a sok rizsa.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 10:13:27   (65)
Tisztelt mindenki!

Most a hétvégén olvastam a Nagy Fermat sejtés című könyvet. Teljesen lenyűgözött. No, abban volt egy érdekes okfejtés:

Gödel óta a matematikusok feje felett mindig ott lebeg az a bizonytalanság, hogy amit be akarnak látni, az esetleg független az axionarendszertől, vagyis nem bizonyítható. Igaz, hogy sokáig azt hitték, hogy Gödel tétele csak jelentéktelen, lényegtelen állításokra vonatkozik. Viszont mióta belátták, hogy a kontinuum-hipotézis is független, újra fontos kérdés lett a "Nem teljességi tétel".
Tehát: elképzelhető volt, hogy a Nagy Fermat-sejtés is független, vagyis nem bizonyítható sem az igazsága, sem az ellenkezője. De, mit is jelent ez? A Nagy Fermat-sejtést megcáfolni úgy lehet, hogy megadunk a,b,c,n-t, amire
a^n+b^n=c^n. Ez ellenőrizhető, vagyis, ha független lenne, akkor hamis biztos nem lehet. A könyv azt a következtetést vonja le, hogy a függetlenségből az következik, hogy biztos nem hamis, csak lehet, hogy az igazságát nem lehet bizonyítani.

Amit én nem értek: Ha valami biztos nem hamis, akkor ez nem jelenti azt, hogy igaz? Az indirekt bizonyítás nem ugyanez?

Ugyanez a gobdolatmenet nem alkalmazható a kontinuum-hipotézisre? Ha hamis lenne, azt be lehetne úgy látni, hogy mutatunk egy halmazt, aminek a számossága a természetes számoké és a valósoké közé esik. De, ha független, akkor ilyet nem lehet mutatni, mert akkor nem lenne független. De ha ilyet nem lehet mutatni, akkor nem igaz az állítás?

Nem értem. Help!
GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 10:12:17   (64)
Kedves Lalo!

Nem erre gondoltam, amikor a logikai alapokat hiányoltam. Hanem arra, ami tkp. az egész vitánk tárgya, azaz hogy milyen számkörben értelmezzük pl. az összeadás műveletét és eredményét.
Szerintem már az alapok tisztázásakor érdemi kérdés lenne, hogy az irracionális számok, melyeknek pontos értéke nem ismert, egyaltalán részt vehetnek-e az aritmetikai műveletekben.
ERRE nem ad választ a definíció, ezért mondom, hogy nem érdemes az iskolai módszert követve haladnunk.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-08-02 09:59:37   (63)
Kedves DcsabaS_!

Nem állítunk ilyeneket, hogy "kiterjedés". Ezt Euklidész állította, de azóta kicsit változott a matematikai precizitás fogalma.

Azt azért nem gondoltam, hogy az átdarabolás ilyen könnyen politikai témára terelődik, de a Te logikáddal inkább nekünk kellene darabolni, nem pedig minket. -):

GPF


OPi válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 22:46:04   (62)
Hali!

Itt most mirol van szo ? Marmint a topicban ? Es most mirol van szo ?

OPi;


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 21:30:11   (61)
Kedves GPF!

Az idézett átdarabolhatóság akkor abszurd, ha ugyanakkor azt is állítjuk (márpedig az iskolákban állítják), hogy a kiterjedés sok-sok kiterjedés nélküli pontból tevődik össze. (Ugyanis azok száma változatlan.) Ha a kiterjedést nem a kiterjedés nélküli pontokból eredeztetjük, akkor nem lesz ellentmondás.

A nullához (vagy végtelenhez) tartó "határértékek" engem is kielégítenek, legalábbis sokkal inkább, mintha véges számokkal próbálnánk meg leírni a folyton változó világot.

A magyarok ilyen jelentős átdarabolási képességeiről nem tudtam(:-))), ámbár már Bólyai Farkas is letett etéren az asztalra egy s mást. (Talán az országunk újkori darabolódása is motiváló tényező volt?)

******
Kedves Geőcze Zoárd!

A geometriai valószínűség értelmezésénél is ellentmondásokra lehet jutni, ha a "csupa 0 kiterjedésű objektumok összessége nemnulla kiterjedésű" gondolkodást használjuk. Ehelyett 2 eset lehetséges: vagy véges az eseménytér és a valószínűségek is, vagy nem, de akkor viszont határértékekkel kell számolnunk, vagyis pl. a véges mennyiségekhez képest eltűnő, de sohasem azonosan nulla kiterjedésű és valószínűségű pontokkal.

**********
Kedves qsqa!

A folytonosság fizikai tartalma az, hogy mindig egy környezet, éspedig egy infinitezimálisan piciny környezet szabja meg a fizikai tulajdonságokat. Nincs hatás, ami közvetlenül, mintegy az üres téren át hathatna. Ha két dolog között teljes szakadás van, akkor azoknak nem lehet közük egymáshoz, azaz nem lehetnek semmiféle felkutatható értelmes (logikus) viszonyban egymással.
A valóságos objektumok egymástól való való függése és függetlensége is viszonylagos, mert közvetett. Azt mondhatnánk, hogy a valóság kicsiben (infinitezimális méretekben) inkább logikus, mert nagyobb méretekben (a távolabbi közvetítés miatt) határozatlanabbá válnak a dolgok. Ezért van az is, hogy a fizika törvényeit ún. differenciális alakban fogalmazzuk meg. Az integrális alakok csupán csak néha érvényes közelítések. A differenciális törvények nélkül semmi sem maradna a fizikából, legalábbis semmi olyan, amiről tudok.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 20:56:51   (60)
Kedves Hacsek!

Úgy látszik, túl nagyokat léptem, te meg nem olvastad el elég figyelmesen amit írtam.

Az összeadás definíciója után ez következett:

Tétel: Az összeadás asszociatív, azaz (k+m)+n = k+(m+n)
Biz.:HF.

Tétel: Az összeadás kommutatív, azaz m+n = n+m
Biz.:HF.

Akkor most pótoljuk be a házi feladatot:

Bizonyítás: Teljes indukcióval.

m=1 -re a tétel 1+n=n+1 alakú

itt most elindítunk egy második teljes indukciót n-re,

n=1 -re a tétel 1+1=1+1, ami nyilván igaz.
T.f.h. n-re igaz, próbáljunk továbblépni n'-re: (a bal oldalt addig alakítjuk, míg a jobb oldal ki nem jön)

1+n'=1+(n+1) az összeadás I. definíciója szerint,
=(1+n)+1 az asszociatívitás alapján (Ez is HF volt, elfogadadjuk!)
=(n+1)+1 az első (m szerinti) indukciós feltevésünk miatt,
=n'+1 az összeadás I. definíciója szerint,

Azaz 1+n'=n'+1, a második (n szerinti) indukciós lépés kész, tehát m=1 re az első (m szerinti) indukció első lépése megvan.

Most megnézzük m szerint az indukciós átmenetet, azaz feltesszük, hogy m-re igaz a tétel, vagyis m+n=n+m.

Próbáljunk továbblépni m'-re: (megint a bal oldalból indulunk)

m'+n=(m+1)+n az összeadás I. definíciója szerint,
=m+(1+n) az asszociatívitás miatt,
=m+(n+1) az előző részben bizonyítottak miatt,
=(m+n)+1 megint az asszociatívitás miatt,
=(n+m)+1 az indukciós feltevésünk szerint,
=n+(m+1) az asszociatívitás miatt,
=n+m' az összeadás I. definíciója szerint,

Azaz m'+n=n+m', ezzel igazoltuk az indukciós lépést, tehát befejeztük a kommutatívitás igazolását az eddig definiált (természetes) számkörben.

A bizonyítás során felhasznált asszociatívitást hasonló (szőrözős) módon tisztán az axiómákra és az összeadást definiáló kifejezésekre támaszkodva be lehet bizonyítani.

Tehát a kommutatívitás elfogadása nem szemléletbeli kérdés, hanem bizonyított tétel!!!

Nos?


qsqa válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 20:15:24   (59)
kedves DcsabaS_

a folytonossaggal kapcsolatban ezt irtad. ' Ez tulajdonképpen az egyik legalapvetőbb fizikai elv is, ami ha nem lenne, egyebek mellett logika sem lenne.'
ez mit jelent?


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 17:30:19   (58)
Kedves Lalo!
Bizonyára nem tudok elvonatkoztatni a legalapvetőbb ismeretek evidens voltától, de úgy érzem, hogy ebből az összeadás mibenléte nem derül ki. Olyanokra gondolok, mint a növekvés és a kisebb-nagyobb reláció megfogalmazása, az alaphalmaz és a képhalmaz meghatározása. Lehet, hogy tévedek.
Logikailag bizonyítani az 1+1=2-t lehet a legnehezebben, ha vigyázunk arra, hogy a bizonyítandó állítást ne használjuk.
Például a kommutativitás elfogadása is szemléletbeli kérdés, nem tudom, hogy azon kívül, hogy minden eddigi esetben igaz volt, mi bizonyítja még.
Úgyhogy inkább azt javasolnám, hogy tényleg ne ebben az irányban próbáljunk alapokat vetni.

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 17:16:10   (57)
Kedves Hacsek!

Dehogynem!
Igenis definiáltam az addigiakra támaszkodva! Beidézem neked pl. az összeadást!

Az összeadás definíciója:

I. n+1 = n'
II. n+m' = (n+m)'

Szóban: Az n+1 az legyen egyenlő n rákövetkezőjével, n+(m rákövetkezője)legyen egyenlő (n+m) rákövetkezőjével.

A többi, a tulajdonságok már mind tétel!


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 17:04:39   (56)
Kedves Lalo!
Hétfőig megkeresem a fejezeteket, ha nem haragszol, fejből nem tudom a lapszámokat!

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 17:01:59   (55)
Nem mintha rosszat tenne a hangnemnek, de szépen átmentünk szakirodalom szakkörbe. Ez nem baj, de én azt szeretem igazán, hogy ha vitatkozunk, akkor szemtől szembe tesszük, lehetőleg a minimálisra szorítjuk a hivatkozást másokra.
Akar a fene itt a topicban vitatkozni mondjuk Gödellel, vagy azon vívni, hogy a "folytonos halmaz" kifejezés szerepel-e a gimnáziumi tananyagban.
Hangsúlyozom, hogy az én inkriminált állításaim nem eredeti találmányok, de oly módon vállalom őket, hogy az ÉN világnézetem részei. Ettől még lehet vitatni az állításaimat, de magának az állításnak a cáfolatával, nem pedig azzal, hogy "lehet, hogy van olyan ..., ami szerint ..., de még nem ismert." Ez utóbbi is lehet bárki világnézetének az alapja, csak ne próbálja meg vele az enyémet cáfolni. Jó?

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 17:01:49   (54)
Kedves Hacsek!

Megadnád a Sain és a Singh könyvek oldalszámait, de legalábbis fejezeteit, ahol erről olvastál? (A Stewart könyv nincs meg :( )


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 15:36:01   (53)
OFF
Bocs, azt hittem, ügyes vagyok :-(((((
ON

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 15:34:13   (52)
Ja, egy érdekesség: a Typotex adta ki legutóbb Smullyan két logikai feladványokat tartalmazó könyvét, amiből e topic nagyapja, a HREF="forum.cgi?a=t&t=9000780&uq=1146&tp=01x">Logikai feladványok is elindult.

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 15:24:25   (51)
Kedves Lalo!

"Vagy te látsz olyan állítást az eddigiekben, amely se nem bizonyítható, se nem cáfolható?
Jópofa vagy... :-))))

Azért írtam Russelről, Gödelről, mert
1. Szerintem az itt feszegetett témához szorosan kapcsolódik.
2. Érdekes, meglepő és akárhogy is, mindenképpen szemléletformáló
3. Azt gondoltam, újdonság számotokra (ebben jó nagyot tévedtem!)

És Douglas R. Hofstadter : GÖDEL, ESCHER, BACH
(Egybefont Gondolatok Birodalma)
című könyvét ismeritek? Fantasztikus olvasmány! Bár még csk kb. az 1/4-ét olvastam el, de mind témájában, mind stílusában, hangulatában lebilincselő.
A Typotex kiadónál jelent meg a magyar változat, szerintem kiváló fordításban.
Ha még nem ismeritek, de kíváncsiak vagytok, az alábbi címen van róla ismertető.
http://vision.euroweb.hu/typotex/h_kkiad.htm#ikon1


Geőcze Zoárd válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 15:10:11   (50)
Hacsek, Lalo,

Ian Stewart: A Matematika Problémái
Roger Penrose: A Császár Új Elméje

Geőcze Zoárd


Geőcze Zoárd válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 15:04:38   (49)
Kedves Lalo,

Azt hiszem, sikerült belátnod (többé-kevésbé), hogy a valós számok testet alkotnak az összeadásra és a szorzásra nézve. Ez jó, így a rákövetkezés mint reláció szépen beilleszthető a szabványos aritmetikába.

A halmazok folytonosságáról vitatkozóknak csak annyit: a dolog definíció kérdése.
Egyébként, ha jól figyeltem meg, keveredett az előzőekben a halmaz és a halmazon értelmezett függvény folytonossága és az baj. (Ha félreolvastam volna, elnézést mindenkitől) Ki tud valamit a halmazok mérhetőségéről (Lebesgue és társai)? Szerintem, valahol itt kellene keresgélnük a halmazok folyonosságával kapcsolatos kiindulópontot , nem?
A függvény folytonosságára adott definíció meg nem mondja ki gyértelműen, hogy a halmaz is folytonos, amin a függvény értelmezve van. Vagy igen?

DcsabaS_

Ez a nulla kiterjedésű pont-dolog azért gyanús, nem? Minden bevezető valszám kurzus elején elmondják a geometriai valószínűség értelmezését, amit tipikusan a Darts táblával szoktak illusztrálni. Mármost, akkor lehet csupa 0 kiterjedésű objektumok összessége nemnulla kiterjedésű, vagy nem?

Geőcze Zoárd


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 14:59:13   (48)
Lalo!

Sain M.: Matematikatörténet
Ian Stewart: A természet számai
Singh: A nagy Fermat-sejtés

Azt viszont meg kell jegyeznem, hogy nem az alapműveletet definiáltad, csak rögzítetted a legfontosabb tulajdonságait. Micsoda különbség!


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 14:45:54   (47)
Kedves Hacsek!

Az első két alapművelet már meg is van (a természetes számokra), és hamarosan jön a többi, kiterjesztve az egyre bővebb számkörökre.

Honnan származik az az információd, hogy Gödelt megcáfolták volna? Én úgy tudom, hogy tétele elfogadott, legfeljebb az értelmezése változott meg, lásd előző hozzászólásomat.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 14:39:52   (46)
Lalo!

Bár Ebeytől kérdezted...
Hiábavaló lesz ilyen mélyről indítani. Mert a négy alapműveletet is kellene stb.
Szóval Gödel téziséből az következett, hogy semmilyen matematikai vagy logikai tételt nem lehet bizonyítani. Nagy szerencse, hogy valamikor a 70-es években azért megcáfolták.
Ezek is olyan dolgok, mint a GPF-féle szétbontási ügyek. Én nyíltan vállalom, hogy nem hiszek el a formális logikának ellentmondó tételeket, legyen mögöttük bármekkora szaktekintély.

Tehát nem hiszem, hogy az alapok tudásánál van a baj. Inkább azon a szinten lapul a probléma forrása, ami, mint tény már ésszel foghatatlan (végtelen és környéke).


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 14:21:31   (45)
Kedves Ebey!

Félre ne érts, nincsenek nekem ilyen nagyratörő ambícióim. Egyszerűen szeretnék eljutni a számosságokig és a folytonosságig, mert meggyőződésem, hogy itteni vitáink jelentős része az alapok nem ismeréséből, vagy félreértéséből adódik.
Ami a Gödel tételt illeti, mára már letisztult az értelmezése, nem tekintik olyan katasztrófális eredménynek mint annak idején egyes interpretátorai (akik az agnoszticizmus diadalát vélték a tételből kiolvasni). Általában azt az álláspontot szokták vele kapcsolatban képviselni, hogy a nem bizonyítható és nem is cáfolható állításokat csatoljuk az eredeti axiómarendszerhez, s ezáltal kapunk egyre bővebb elméleteket. (Amelyek egymástól gyökeresen eltérhetnek a szerint, hogy az eredeti állítást, vagy a negáltját használjuk a bővítéshez.)
De ez nagyon előttünk van még...
Vagy te látsz olyan állítást az eddigiekben, amely se nem bizonyítható, se nem cáfolható?


Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 13:21:18   (44)
Kedves Lalo!

Szerintem nagyon merész gondolat megkísérelni a számelmélet axiomatikus alapjainak megteremtését és ebből az egész számelmélet felépítését. Azon a szinten, ahol most tartasz (ld. alábbi HF-ok) még tényleg néhány szórakoztató, "kézügyességet javító" feladatot találsz, ami valóban e topic olvasóinak hasznára válhat.

De. Nem tudom, hallottál-e arról, hogy ezt Előtted már megkísérelték mások is, amiből végül egy olyan matematikai eredmény adódott, ami a világnak a matematikához, vagy inkább a matematikának a világhoz való viszonyát gyökeresen megváltoztatta.

Bertrand Russell és Alfred North Whitehead 1903-ban kezdték el a munkájukat és 1913-ban adták ki Principia Mathematica című monumentális munkájuk 3-ik kötetét. Ennek a műnek a második kötete tartalmazza az első kötetben lefektetett formális logikai redszer szerinti axiomatikus vizsgálatát az egész számoknak (többek között, persze).
Annak eldöntése, hogy a P.M.-ban felépített axiomatikus rendszer következetes-e (nincs benne ellentmondás) és teljes-e (bármely, a P.M. szimbólumrendszerével felírható állítás bebizonyítható vagy cáfolható), láthatólag nagyon nehéz kérdés volt, sokan próbálkoztak vele. Hilbert is egyik fő támogatója volt e kutatásoknak.
Aztán valamikor a 30-as évek közepe felé (tudósok, javítsatok, ha rosszul emlékezem!) egy Kurt Gödel nevű német matematikus bebizonyította, hogy a P.M. szimbólumrendszerével megfogalmazható olyan állítás, amely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.
Ami a kacifántos a dologban, hogy Gödel tétele általánosan is igaz minden, az alapvető logikai szabályokkal egyező, következetes matematikai rendszerben.
A következtetést mindenki vonja le magának...


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 11:48:14   (43)
Kedves Hacsek!

Ebben teljesen igazad van, azért léptem még eggyel vissza, hogy egyértelműen értsük egymást.

Akkor menjünk tovább:

Tétel: n'<>n
Biz.: Teljes indukcióval
III. szerint 1'<>1
T.f.h. n -re már igaz. Ekkor (n')'<>n' sem, mert egyébként a IV. szerint n'=n lenne.
Tétel: Ha n<>1, akkor van olyan m, hogy m'=n (az 1-en kívül minden természetes számnak van megelőzője).
biz.: HF

Az összeadás definíciója:

I. n+1 = n'
II. n+m' = (n+m)'

Tétel: Az összeadás asszociatív, azaz (k+m)+n = k+(m+n)
Biz.:HF.

Tétel: Az összeadás kommutatív, azaz m+n = n+m
Biz.:HF.

A szorzás definíciója:

I. m*1 = m
II. m*n' = m*n+m

Tétel: A szorzás az összeadásra nézve disztributív, azaz: (m+n)p=mp+np és p(m+n)= pm+pn
Biz.: HF.

Tétel: A szorzás asszociatív, azaz (mn)p=m(np)
Biz.: HF.

Tétel: A szorzás kommutatív, azaz mn=nm
Biz.: HF.

Így utólag látható, hogy a disztributívitás két alakja ekvivalens.

Nemsokára jönnek a negatív számok...

(A HF-el jelölt bizonyításokat érdemes elvégezni, javítják a kézügyességet.)


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 10:32:38   (42)
Kedves Lalo!

Nem tiltakoztam ugyan, de a "1999-07-29 15:48:31" hozzászólásom arra vonatkozott, hogy az egész és természetes számok meghatározásának módja azért nem egészen egyforma.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 10:27:25   (41)
Kedves Ebey!
Bocs, tényleg elragadtattam magam.

Nincs ellentmondás! Ha én bármikor véges nagyságú intervallumukról beszéltem volna, akkor lenne ellentmondás. De én végtelenül (minden határon túl) kicsi intervallumokról beszélek.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 10:23:28   (40)
Igen.

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 08:55:33   (39)
Kedves DcsabaS_!

Nem tudom megmondani, hogy mennyi a 0 * végtelen. De ez megint nem zavar. (Te sem tudod megmondani, hogy mennyi 5 * szám típusú szorzat.)
Olyan határértékekről tudok beszélni, melyek 0*végtelen-hez hasonlóak, s ez engen kielégít. Nem akarok ilyeneket mondani, hogy mennyire 0 valami (, olyat sokkal inkább, hogy mennyire végtelen.)
Matematikailag teljesen pontosan meg lehet magyarázni az átdarabolhatóságot. Lehet, hogy ez filozófiailag abszurdnak tűnik, de én inkább azt a következtetést vonom le belőle, hogy ilyen eszközeink, fogalmaink vannak, el kell fogadnunk a furcsaságokat.

Egyébként tudod, hogy nemrég bebizonyították, hogy egy 1 sugarú kör is átdarabolható 2 sugarúvá? (Lackovich Miklós bizonyította, akadémikus is lett. Azt hiszem így kell írni a nevét, ha nem, elnézést.)
Hacsek erre biztos azt mondaná, hogy milyen hülye az Akadémiánk.
Egyébként a pontok száma természetesen minden körben, gömbben, kockában, szakaszban, egyenesben ugyanannyi, kontinuum. Nem ez volt a felfedezés (vagy feltalálás) hanem az, hogy egybevágósági trafókkal átvihetők egymásba egy kis kör meg egy nagy kör részei. Én ezt el tudom fogadni, és még mindig nem érzem abszurdnak a dolgokat.

GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 08:32:47   (38)
Tisztelt mindenki!

Igazából nem tudom, min vitatkozunk Hacsekkel. Azt hiszem a folytonosság volt az eredeti kérdés, csak Hacsek belehozta a számosságokat, aminek szerintem nem sok köze van hozzá.
Szerintem sokunkat megnyugtatna, ha Hacsek közölné az ő folytonosság, vagy határérték definícióját, de nem egyiket a másikkal definiálva. (Engem az érdekel, hogy mitől folytonos egy halmaz. Van ilyen fogalom? Én nem emlékszem, de ez nem sokat jelent.)
Szerintem a folytonosságnak nincs köze a számossághoz, viszont a rendezéshez annál több. Ezért jöttem elő a jólrendezhetőséggel. Engem is érdekelne, hogy hogyan lehet jólrendezni a valós számokat, de persze nem tudom, s azt hiszem senki sem tudja, csak az egzisztencia bizonyítás van meg. Ez igaz?

GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-30 08:22:41   (37)
Ezek a Peano axiomák ugye?
Vagy ezekkel a közbevetésekkel megzavarom a padagógiai modszeredet?
Akkor bocs.
GPF

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 18:56:28   (36)
Kedves Hacsek!

Mivel nem tiltakoztál az előző, négy pontba foglalt állításom ellen, általad elfogadottnak tekintem őket. Hogyan lehetne ezeket formalizálni?

Legyen a ' a rákövetkezés jele.

I. Az 1 természetes szám.
II. Minden n számhoz van egy n' rákövetkező.
III. Semmilyen n-re nem lehet n'=1 .
IV. Ha m'=n' , akkor m=n .
V. Nincs más természetes szám, mint az I-II. -ben feltételezettek.

Figyeljünk arra, hogy a II. axióma egyrészt létezést, másrészt egyértelműséget is kimond. A IV. egyértelműséget állít, de létezést nem. (Mármint, hogy lenne minden számnak megelőzője.) A III-IV. formalizálja az ismétlődés kizárását. Az V. lezárja a számsort, ezek és csak ezek a természetes számok.

Nna. Van ezek ellen kifogás?


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 18:36:28   (35)
Kedves GPF!

Egyre jobban sajnálom, hogy most nincs időm elmélyedni a vitában (pedig már régóta reménykedtem benne, hogy egyszer csak terítékre kerül a halmazelmélet).

Írod:
"Nekem nem tűnik abszurdnak az, hogy 0 kiterjedésű pontok végtelen sokasága már nem 0 kiterjedésű."
Érdekes. Pedig nyilvánvaló, hogy ezen az alapon nem tudnád megmondani, hogy mennyi legyen egy "nulla x végtelen" típusú szorzat értéke - leszámítva a teljesen önkényes definíciókat. Csak valami olyasmit lehet tenni, hogy "pontosítjuk" a nulla értelmezését, ami meg gyakorlatilag nem jelent mást, mint hogy helyettesítjük egy határértékben nulla valamivel, amit már meg tudunk "mérni", hogy mennyire nulla (szinte sohasem teljesen). Ilyen "nullából" éppoly sokféle van, mint "végtelenből", amire szintén igaz, hogy nem egy közönséges szám, mert a végtelent is csak egy dinamikus valamiként lehet megragadni.

Ha most az előbbiek ellenére úgy képzeljük el a dolgot, hogy pusztán a per definitionem nulla kiterjedésű pontok valamilyen halmaza is kiterjedésre vezethet, akkor hogyan magyarázhatnánk meg az olyan furcsaságokat, hogy pl. egy ponthalmaz egyes pontjait forgatással áthelyezve megváltozik a ponthalmaz térfogata!?! Hát nem logikusabb inkább arra gondolni, hogy a térfogat nem a pontokból áll össze, hanem a pontok közötti térből? Hiszen ekkor érthető, hogy a pontrendszer átstruktúrálása akkor is mértékváltozásra vezethet, ha a pontok száma egy fikarcnyival sem változik meg!

*********
Kedves Hacsek és GPF!

Úgy látom, hogy Hacsek a valós számok halmazának fogalmába beleérti annak szokásos rendezését is, GPF meg mintha nem. Szóval nem igazán ugyanarról beszéltek. A maga területén jogos lehet mindkét álláspont, ugyanis a kiválasztási axióma igazsága (amiből a halmazok jólrendezhetősége fakad), pont annyira kétes, mint az, hogy egy végtelen folyamat véges időben befejezhető. Valószínűleg egyes esetekben használható, de nem mindig.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 18:36:03   (34)
Ebey!

Ha én Hacsek lennék, azt mondanám erre, hogy természetesen a szokásos "természetes" rendezésre gondoltam, annál is inkább, mert nem általában mint halmaz, hanem a számegyenesen elhelyezkedő valós számok tulajdonságai a fontosak.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 18:27:49   (33)
A jólrendezhetőség ekvivalens a kiválasztási axiómával, amely viszont független a halmazelmélet többi axiómájától. Semmi se zárja ki tehát, hogy a jólrendezés nélküli matematikát használjuk. Ennek ellenére a fősodor
matematikusai a kiválasztási axiómára építenek elméletet, amiben igy benne van a valós számok jólrendezhetősége is.

Ha valakit web-es irodalom érdekel, találtam egy, a halmazelmélet ilyetén problémáiról szóló szegedi egyetemi kurzus vázlatot a címen. (De meglehetősen tömény.) :(


pint válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 17:27:45   (32)
GPF: azért ez a rendezés engem is érdekelne. Amúgy minden másban neked adok igazat.

Ebey válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 17:27:11   (31)
Kedves Hacsek!

Kicsit elragadtattad mgad szerintem.

Te mondtad:
1. Bármely két racionális szám között végtelen (Hacsek) azaz tetszőlegesen sok (GPF) racionális szám van.

2. A valós számokat nem lehet úgy rendezni, hogy legyen köztük két szomszédos, mert még végtelen sokat közéjük lehet gyömöszölni.

3. A racionális számokat lehet úgy rendezni, hogy bármelyiküknek van szomszédja (hiszen megszámlálhatóan végtelenen vannak, tehát sorba rendezhetők)

Mindhárom állítás a Tied (nem szó szerint idézve, igaz, de csodálnám, ha bármelyikkel ellenkeznél).

No most, nincs-e Szerinted ellentmondásban a 3. állítás az 1. és 2. állítással?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 17:26:24   (30)
Hacsek!
Ez most elég meggyőző érvelés volt.
Nem tudom, hogy az az én bajom-e, ha el tudok fogadni olyan nézeteket is, amik első pillantásra furcsának tűnnek.
Az, hogy "közötte van" a rendezéstől függ, és én el tudom fogadni, hogy egy halmazt sokféleképpen lehet rendezni. Biztos sok halmazról Te is el tudnád fogadni, csak ne ellenkezzenek az elméleteiddel.
GPF

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 17:10:36   (29)
GPF

Itt most kategorikusan kijelentem: nincs két szomszédos valós szám, mert még végtelen sokat közéjük tudok gyömöszölni (te lehet, hogy nem tudsz, de ez a te bajod).
Az az elmélet, ami ennek az ellenkezőjét állítja, f@szság. Éntőlem magától Einsteintől is származthat, akkor is.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 16:49:47   (28)
Hacsek!
Megint mi az, hogy önmagában zárt halmaz, de nem folytonos?
Mikor nevezel egy számhalmazt folytonosnak? És önmagában zártnak?

Két racionális közé is tetszőlegesen sok racionálist tudsz begyömöszölni, ez tehát nem jó a folytonosság definíciójának.

Az előbb épp azt mondtam, hogy van olyan rendezés, ami szerint a valós számoknak vannak szomszédos elemei. Ezt itt most kategorikusan kijelentem. És azt is, hogy nincs köztük semmi. Ismétlem, nem a szokásos rendezéssel.

GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 16:26:43   (27)
GPF!
Előhang: Egyikünk sem fogalmaz itt halálpontosan, de még ez a szerencse...

Az első gond a mihez képest: a racionális számok halmaza önmagában zárt halmaz, de nem folytonos. DE ha nem engeded, hogy a valós számok halmazához viszonyítsam, akkor nincsenek benne szakadások.

A másik: nem általában halmazt, hanem számhalmazt nevezek folytonosnak.
Ronda despotizmus, de a valós számok halmazát mindaddig folytonosnak fogom nevezni, amíg nem tudod megakadályozni vagy cáfolni, hogy két (általad) tetszőlegesen megválasztott elem közé én még végtelen sok elemet tudok begyömöszölni.

Nem hangzott még el ilyen kategorikusan, de ki kell jelenteni: a valós számok halmazának nincsenek szomszédos elemei, azaz nincs rá következő valós szám.
Nemhogy nem igaz, hogy "nincs közte semmi", hanem végtelen sok elem van "közöttük".
Ezt szólom. Uff.


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 16:19:07   (26)
Menjünk csak sorjában!

Az előzőket elfogadod a természetes számsor tulajdonságainak? (Azokból ugyanis levezethetjük az egész számok tulajdonságait.)

Szóval, igen vagy nem?


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 16:06:54   (25)
Hacsek!

Nem ezt kérdeztem, hanem azt, hogy ha csak a racionális számokat ismernénk, az folytonos lenne-e, a Te elképzeléseid szerint.
Azt ugye elismered, hogy a valós számok halmazánál is van bővebb halmaz?
Tehát az, hogy egy halmaz bővebb a másiknál, nincs összefüggésben a folytonossággal.
Egyébként azért kérdem ezeket, mert nem tudom, hogy mikor hívsz egy halmazt folytonosnak. Én nem ismerek ilyen fogalmat.
Függvények esetén van folytonosság, azt egy kicsit ismerem.

A másik kérdésem az volt, hogy az y=x fv. folytonos-e, ha az értelmezési tartománya a racionális számok halmaza.
Ez szerintem olyan fogalmakat használ, amik egyértelműek, úgyhogy várom ismét válaszaidat.

Ja, és még egy. Ahogy mi rendezzük általában a valós számokat, az csak egy az ezer közül.
A jólrendezhetőségi tétel szerint minden halmaz rendezhető úgy, hogy minden részhalmazának van legkisebb eleme. (pl. a természetes számok halmazára a szokásos rendezéssel ez elég egyértelműen igaz.) A valós számokra azt hiszem, még nem találtak ilyen rendezést, de létezik. (Ez a kiválasztási axiomából következik, amit persze lehet nem elfogadni, bár elég szemléletes)
Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen rendezés esetén meg lehet mondani, hogy egy valós szám után melyik következik. Közte nincs semmi.

Ehhez mit szólsz?

(Ui. lehet, hogy pontatlan voltam, de a lényeg igaz.)


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 15:48:31   (24)
Kedves Lalo!
Csúsztatsz és visszatáncolsz.

Először az egész számok halmazát kérted tőlem meghatározni. Mert 1-től könnyű ám elindulni...


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 15:43:52   (23)
GPF!

Kérdésedre: a valós számok halmaza nagyobb számkör, mint a racionálisaké, ezért a racionális számok nem fedhetik le szakadások nélkül a valós számok folytonos halmazát.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 15:36:28   (22)
Nekem nem tűnik abszurdnak az, hogy 0 kiterjedésű pontok végtelen sokasága már nem 0 kiterjedésű. Persze pontosan definiálni kell a kiterjedés fogalmát.
Szívesen hallom az ellentmondásokat.
GPF

GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 15:26:05   (21)
Bocs, Lalo, de miért kell újfajta bevezetéseket kitalálni? Vannak erre bevett axiomarendszerek, azok közül is van ami elég szemléletes. Nem emlékszem pontosan a Peano félére, de a Te első kettőd eléggé hasonlít rá, de a többi nem az.

Egyébként nem hiszem, hogy így eredményre tudunk jutni, ennél mélyebb, filozófiaibb már a vita.
Bocs.
GPF


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 14:16:49   (20)
Kedves Hacsek!

Mit szólnál a természetes számsor leírásának következő módjához:

1. A számsor 1-gyel kezdődik.
2. A számsor minden számához van egy közvetlenül rákövetkező.
3. A számsorban nincs ismétlődés.
4. Minden számhoz eljuthatunk számlálással.

?
Elfogadható ez a számodra?


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 13:50:12   (19)
Kedves Hacsek!

A kérdésben az én álláspontom eltér az iskolaitól. Ugyanis aszerint a számegyenes különféle, de nulla kiterjedésű pontok végtelen sokaságából állna. Ez viszont ABSZURDUM. Ugyanis nulla kiterjedésű objektumok bármilyen sokasága sem vezethet nem-nulla kiterjedésűhöz. Ha ezt logikailag mégis megengedjük, akkor azzal bebiztosítjuk a különféle ellentmondások végeláthatatlan sokaságát is. Vagyis az a véleményem, hogy nulla méretű pontokból nem lehet eredeztetni vonalat, vonalakból felületet, felületekből térfogatot, stb. A kiterjedés ugyanúgy nem származtatható a nem-kiterjedésből, ahogyan a mozgás sem származtatható a tökéletes nyugalomból. Ehelyett éppen fordítva kell eljárnunk, azaz a nyugalmat kell a mozgás speciális (és közelítő) eseteként felfognunk, a nem-kiterjedést pedig a kiterjedésének. Gyakorlatilag ugyanazt az utat megismételve, amit annak idején a pont, az egyenes, stb. fogalmainak megalkotásakor már egyszer megjártunk, csak ezúttal nem menni el addig az elvonatkoztatásban. Ahogyan a halmazelméleti számosság fogalom is visszatérés egy ősibb, fizikaibb, gyakorlatibb síkra, ugyanúgy a kiterjedéssel kapcsolatos fogalmainkat is közelítenünk kell a fizikai valósághoz, vagyis alapvető mennyiségekként olyanokat kell bevezetnünk, amelyek eleve bírnak a bennünket érdeklő kiterjedésekkel. Pl. intervallumokból már állhat egy teszőleges vonal (pl. számegyenes), mert van kiterjedésük, ugyanakkor általuk a pontok fogalmához is el lehet jutni (határátmenettel). Általuk tehát igazabb matematikához juthatunk (lásd disztribúcióelmélet).

Üzenetedből úgy látom, hogy az intervallumokat Te az irracionális számok révén próbálod meg rácsempészni a számegyenesre (:-))). Abban egyetértünk, hogy a számegyenes kiterjedését az intervallumok adják, és a racionális számok csak mazsolák rajta. De szerintem nemcsak a racionális számok mazsolák, hanem mazsolák az irracionális számok is, a nem algebrai irracionális számokkal együtt.

A határérték fogalmában az az izgalmas, hogy intervallumok sorozatával operálván alkalmassá válik arra, hogy központi figurája legyen a kiterjedt és a nem-kiterjedt dolgok matematikájának. De van vele kapcsolatban egy fontos dolog, ami általában elsikkad: a határérték nem egy "szám", hanem egy dinamikus folyamat. A kettő ugyanúgy különbözik, mint a találat és a lövés. A határérték a lövés, ami néha betalál egy számra.


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 13:45:29   (18)
Hacsek!

Én úgy látom, hogy most már az egyetlen érved a számosságok közti különbség.

Kérdéseidre:

1. Mi az a szakadási pont a valós számok rendszerében?
2. Mi a Te modelled?

Egyébként nagyon sok modellt lehet adni a valós számhalmazra, mint ahogy még a másik témában utaltam is rá, ezek közül pár:

1. Cauchy féle (vagy korlátos, monoton) racionális elemű sorozatok ekvivalencia osztályai. (ELTE volt Anal II tanszék)
2. Dedekind féle racionális számhalmazok. (Algebra)
3. A sík egy egyenesének pontjai.
4. Axiomatikus leírás. (Jó, ez nem modell)
És még van biztos ezer mód.

Ha érdekes, valamelyiket részletesebben is kifejtem, bár ezeknek utána lehet nézni.

Még egy kérdés.

Ha csak a racionális számokat ismernénk, az nem lenne folytonos?
Vagy y=x fv. amit a racionális számokon értelmezünk az folytonos?

GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 13:26:29   (17)
DcsabaS_

Mindenben igazad van. Én egy adott rendszert gondoltam. Tudom, hogy pl. a valós számok axiomarendszere levezethető a halmazelméletiekből. Nem igazán erről szólt a hozzászólásom. Azt hiszem, nincs köztünk vita.
GPF


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 13:04:04   (16)
Lalo!

Aki viszont nem matematikus, annak az okoz gondot, hogy ha 1-től 4-ig számozza be a bőröndjeit, akkor négy van, de ha 9-től 12-ig, akkor csak három!!!


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 12:40:09   (15)
Kedves Obi wan!

Ha a halmazelméleti felépítést választjuk (tőszámok). De kiindulhatunk a megszámlálásból, a sorszámokból is (Peano axiomarendszere), ahol bizony az 1 az első természetes szám.

Ismeritek a vonatkozó viccet? A matematikus kétségbeesetten számolgatja átszálláskor a bőröndjei: "Nulla, egy, kettő, három - hová lett a negyedik?"


Obi wan válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 12:27:24   (14)
Kedves Lalo!
Remélem, hogy a természetes számok után zárójelbe tett egész számokat nem gondoltad komolyan, mert a természetes számok halmaza 0-val kezdődik és nem eggyel! (0,1,2,3,4,5...)

Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 12:26:02   (13)
Lalo!

Hát... az egész számok azok úgy vannak.

Legyen két (axiomatikus) alapfogalom: az egység (jele legyen 1), és a kiindulópont (jele legyen 0). Az egység többszörösei (sorozatos összeadással és kivonással) ugyancsak legyenek egész számok.
A kapott halmaz elemeiről legyen eldönthető a kisebb-egyenlő-nagyobb reláció.

(És már sokkal előbbre ugorva jegyezzük meg: hogy a természetes számok alapvető sajátossága az egyértelmű prímtényezős felosztás, de ez itt most még tényleg korai)


Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 12:10:48   (12)
Kedves Hacsek, Zéta, DcsabaS_, GPF!

Az a gyanúm, hogy sokunk fejében vannak nem teljesen tisztázott, félreérthető, vagy félig megértett nézetek. Itt az idő rendberakni ezt a szénaboglyát, hiszen mindenki világosán látja, hogy nem tudunk egymással szót érteni.

Elsőként építsük fel a valós számkört!

Induljunk ki az egész számokból! Mit tudunk velük kapcsolatban mindenki számára elfogadhatóan rögzíteni?

(Leginkább Hacsek álláspontja érdekelne!)


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 11:31:50   (11)
Kedves DcsabaS!
Köszönöm! Onnan kaptam segítséget, ahonnan nem vártam. Annak idején a Magyarulezben soxor álltunk egy oldalon, mégis vitatkoztunk.

Kíváncsi volnék azonban a kérdésben az érdemi véleményedre:
Te elfogadod-e (ténynek, axiómának, tételnek vagy bárminek), hogy a valós számok halmaza folytonos, mégpedig mint a pontszerű racionális számok és a közöttük lévő irracionálisszám-intervallumok összessége.


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 10:42:28   (10)
Kedves GPF!

Írod:
"Az axiomáknak az egyik tulajdonsága, hogy nem lehet őket levezetni más axiomákból..."
Nem tudom, hogy ezt miért gondolod így (hacsak nem az iskolai tanulmányaid miatt (:-))) ), de az, hogy mit tekintünk axiómának és mit levezetendő tételnek, az bizony választás kérdése. Ezért bár egy adott logikai rendszerben nem vezetjük le máshonnan az axiómának választott dolgokat, más rendszerekben azok még simán lehetnek levezetett és bizonyított tételek.

Jól visszaköszön ez ott is, hogy vajon a folytonosságot, vagy pedig a határértéket választjuk-e alapfogalomnak. Neked a folytonosság tűnik jobb választásnak, nekem viszont a határérték. Éspedig azért, mert a folytonosság hétköznapi értelmezése olyasmiket is folytonosnak lát/gondol/hisz, amelyek a precíz gondolkodás tükrében nem azok. Így ha nem akarjuk már a kiindulásul vett fogalmat is másféle értelemmel ellátni, mint ami az emberek számára természetesnek tűnik, akkor másik kiindulópontot célszerű választanunk. A határérték fogalmához nem kötődik hétköznapi jelentés, ezért azt lehetséges elegendő pontossággal és egyértelműséggel megfogalmazni, majd pedig ebből levezetni egyebeket.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 10:29:09   (9)
Kedves GPF!

Egyetértünk (?) abban, hogy axiómát nem kell magyarázni.
Így elsőre az a fő kérdésem továbbra is:
Te hogyan definiálnád a valós számhalmazt?

Na most a részletkérdésekről:
Való igaz, nem szeretem a TETSZŐLEGESEN kicsi kifejezést, gimnazista gügyögésnek érzem. Összemossa azt a fontos tényt, hogy a VÉGTELEN fogalma egyaránt megjelenik a minden határon túl nagy és kicsi jelenségekben. Ezért használom (ha megengeded) a "végtelenül kicsi" kifejezést.

A te 9' pontod igaz, de nem cáfolja az én 9. és 10. pontomat.
A te 9' pontodból levezethető (képzeletbeli 10') állításoddal szemben az én 10. állításom azért helytálló, mert nem a racionális, hanem az irracionális számok kontinuum-számosságúak.

(Most már tényleg kíváncsi volnék a te eredeti feladatod megoldására, mert azt gondolom, hogy ha az nem az én axiómám szerinti valós számhalmazt vesz alapul, akkor nem is függvény, azaz EGYÉRTELMŰ megfeleltetés.)

A véleménykülönbségünk tényleg szemléletbeli, és ez éppen a "végtelenül kicsi" általad nem elfogadásából származik.
Az én állaspontom az, hogy a "végtelen kicsi" távolságnak éppen az lehet a legnagyszerűbb tulajdonsága, hogy mégis végtelen sok elem pakolható bele.
Ezek valóban tudatfeletti (hogy ne mondjam irracionális) dolgok.

Ha nem fogadod el a konklúziómat, hát nem. De ekkor ismételten arra kérlek, hogy:
1. Mutass legalább egy szakadási pontot a valós számok rendszerében!
vagy
2. Adj az enyémnél jobb modellt a valós számhalmaz felépítésére!


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 09:47:44   (8)
Az axiomáknak az egyik tulajdonsága, hogy nem lehet őket levezetni más axiomákból.
Axiomákban csak alapfogalmak szerepelnek, amelyeket nem magyarázunk meg.

A Te axiomád, miszerint a valós számok folytonosan helyezkednek el, tartalmaz min. egy olyan fogalmat (folytonos) amit definiálni szoktak, más, egyszerűbb tulajdonságokra vezetnek vissza. Pl. két szám különbségére, vagy távolságára.
Ezért nem fogadom el ezt az axiomát.

A felsorolt 10 állításod közül az első 9-cel kevés bajom van, azért ezeket leírom:
6. pontban nem értem azt a kifejezést, hogy pontszerűen.
7. pontban a végtelenül közel van, helyett a tetszőlegesen közel jobban értelmezhető számomra. Nem értem, mit jelent a végtelenül közel. Mennyi két végtelenül közel levő szám különbsége?

A 9. ponthoz hasonlóan tennék még egy megjegyzést, legyen ez:
9'. Két tetszőleges különböző irracionális szám közé végtelen sok racionális szám helyezhető el.
(ezt elhiszed?)

A 10. pontot pedig szintén nem értem. Ilyesmi az én 9' pontom alapján az irracionális számpárokra is igaz kellene, hogy legyen.

Így a konklúzióval természetesen nem értek egyet. Nem lehet két olyan irracionális számot mutatni, ami közt ne lenne racionális, így NINCS irracionális intervallum.

GPF


GPF válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 09:31:14   (7)
Nagyon igazad van, talán csak az utolsó előtti megjegyzéseddel vitatkoznék.
Szerintem a folytonosság "egyszerűbb, szemléletesebb" fogalom, mint a határérték, ezért egy fordított definíció lenne indokolt. (Én legalábbis úgy tanultam, de logikusnak is tűnik.)
Amit itt írsz, az fv-ek folytonossága és határértéke. Ennek van értelme, sokkal több, mint egy számhalmaz folytonosságának.

GPF


DcsabaS_ válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 09:01:56   (6)
Kedves stika!

Írod:
"A pásztor a természetes számok nélkül is ellenőrizni tudja, hogy hiánytalan-e a nyája. Amikor kiengedi őket a karámból mindegyiknél betesz egy kavicsot egy köcsögbe, amikor visszajönnek, akkor meg kiveszi. Ha nem marad kavics, akkor OK."
A halmazelméleti számlálási módszer pont azért felel meg inkább a "kavicsos" módszernek, hogy ne kelljenek hozzá természetes számok, így aztán szélesebb körben használható, beleértve a természetes számok generálását is!
A halmazelmélet megjelenése előtt, a véges mennyiségekkel való foglalkozás tapasztalatainak alapján az emberek (a matematikusok is!) általában úgy hitték, hogy a végtelen sorozatoknak is a végükre lehet járni, ezért logikailag nem kifogásolható, ha úgy hasonlítjuk össze két sokaság elemeinek a számát, ha előbb megszámoljuk az egyiket, majd a másikat, azután összehasonlítjuk az eredményül kapott számokat. Ezzel a módszerrel csak az a baj, hogy egyáltalán nem biztos, hogy az egyszer elkezdett számlálás valaha is befejezhető, ha pedig nem, akkor korrekt összehasonlítást sem tehetünk a végén! Ad hoc ötletektől vezéreltetve persze kinevezhetjük az egyik sokaságot nagyobbnak, de kiderült, hogy ez meg mindenféle ellentmondásokra vezet. Ilyen ellentmondásokra elsőként Zenon figyelt fel (vagy legalábbis róla tudjuk elsőként, hogy felfigyelt), de pl. Archimedes is beléjük ütközött, amiért is azokat az eredményeit, amelyeket tulajdonképpen integrálszámítással kapott meg, utólag minden esetben geometriailag is bizonyította, hogy kizárja a tévedés lehetőségét. Ezt a módszerét később Newton is alkalmazta az ún. infinitezimális számítás megalkotásakor, azaz ő is tudta, hogy a végtelen mennyiségek használatával elég könnyen lehet ellentmondó, téves eredményre jutni, ezért a végeredményt szükséges másképp is (általában geometriailag) bebizonyítani. A "végtelen" ellentmondásmentesnek tekintett kezelése az "epszilon-delta" apparátus (Cauchy és mások) kifejleszéséhez köthető (bár ezügyben igazából még a halmazelmélet is csak a nyitányt jelenti). A matematikai értelemben vett folytonosságon azt értjük, hogy a helyettesítési érték egyenlő a határértékkel, vagyis hogy a helyettesítési értékeket meghatározzák a közvetlen környezetek helyettesítési értékei. Ez tulajdonképpen az egyik legalapvetőbb fizikai elv is, ami ha nem lenne, egyebek mellett logika sem lenne.


Zéta válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 08:36:46   (5)
Talán azt kellene tisztázni először, mi az, hogy intervallum.

stika válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-29 04:48:37   (4)
Még ez sem igaz, a természetben egyáltalán nincs matematika. Ha Isten egyáltalán teremtett valamit, akkor ez az egyenlő-különböző meg az igaz-hamis ellentétpárok, esetleg a halmaz fogalma.
Egy példa. A pásztor a természetes számok nélkül is ellenőrizni tudja, hogy hiánytalan-e a nyája. Amikor kiengedi őket a karámból mindegyiknél betesz egy kavicsot egy köcsögbe, amikor visszajönnek, akkor meg kiveszi. Ha nem marad kavics, akkor OK.
Namármost. A matematika emberi alkotás, célja általában a természet megértése, leírása, sokszor pedig -legalábbis az adot pillanatban- öncélúnak tekinthető játék, szellemi kaland. Utóbbira példa a Bool algebra, ami valamikor a múlt században születetett a formális logika leírására, ma pedig a számítástechnika alapja.
Ha a matematika emberi alkotás, akkor axioma renszerei is azok. Ezek közül egyeseknek nincs semmilyen gyakorlati haszna, mások többé-kevésbé használhatók. Hogy mennyire, azt az alaklmazás korlátai szabják meg. (Lásd Euklideszi és a Bólyai geometria)

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-28 21:44:49   (3)
Kedves Hacsek!

Szerintem ezek egyáltalán nem axiómák, legalábbis ebben a formájukban. Olyan sok mindent mondasz a valós számokkal kapcsolatban, hogy a közös alap megkeresése érdekében szeretnélek megkérni, hogy menjünk egy kicsit még hátrább. Mit szólnál a természetes számokhoz? (1,2,3,...) Mit jelenthetünk ki ezekről biztosan, amit mindenki elfogad?

Egyébként is, ugye, Isten megteremtette az egész számokat, s minden más emberi alkotás. :)


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-28 19:28:05   (2)
Nos, a válaszaim a saját állításaimra (nem értem különben, miért kell általam egyébként AXIÓMÁNAK nevezett tényeket magyaráznom, hiszen az axióma éppen arra való, hogy kiindulásként fogadjuk el indoklás nélkül)

1. A valós számok halmaza intervallum.
2. Két valós számról eldönthető, hogy melyik a kisebb vagy nagyobb, hacsk nem egyenlőek.
3. A valós számok racionális vagy irracionális számok lehetnek.
4. Racionális szám nem egyenlő irracionális számmal.
5. A racionális számok megszámlálhatóan végtelen sokaságúak, hiszen pl. megadható olyan (végtelen) sorozat, amelyből egyetlen racionális szám sem hiányzik.
6. Az 5. pontból következően a racionális számok pontszerűen helyezkednek el a valós számok nagyság szerinti elrendezésében.
7. A racionális számok egymáshoz végtelenül (minden határon túl) közel vannak, mert pl. két racionális szám számtani közepe is racionális szám.
8. Az irracionális számok (amelyek megszámlálhatatlanul végtelen számosságúak) a 4. pont alapján különböznek a racionálisoktól, ezért csak azok között helyezkedhetnek el.
9. Két tetszőleges különböző racionális szám közé végtelen sok irracionális szám helyezhető el.
10. A 9. pont egymáshoz végtelenül (minden határon túl) közel álló racionális számpárra is igaz.

Konklúzió: A valós számok halmaza a pontszerű racionális számokból és a közöttük elhelyekedő irracionálisszám-intervallumokból áll össze, melyek együtt minden valós számot tartalmaznak, hiány és szakadás nélkül.


Hacsek válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-28 18:49:06   (1)
Ezt nekem kell lenullázni

Lalo válasz erre | adatok | e-mail     1999-07-28 18:47:23   (0)
A Szórakoztató matematikai feladványok topicban a feladatok megoldása kapcsán késhegyig menő viták folynak a matematika alapjait képező kérdésekről. Kérem, hogy a matematika megalapozásával, filozófiájával öszefüggő problémákat itt vitassuk meg. Elsőként megismétlem Hacsekhez intézett kérdésemet:

Mit jelentenek szerinted a következő állításaid:

"a számegyenesen a számok folytonosan helyezkednek el"
"a valós számok halmaza nem szakadásos"
?


Teszt banner Teszt banner

Az itt olvasható hozzászólásokért a szerkesztőség nem vállal felelősséget.
Ha úgy gondolja, hogy egy hozzászólás méltatlan, kérjük olvassa el moderálási alapelveinket.

Impresszum | Hirdetési árak

MyBB v2.0 © Index