Igazgató: Prof. BÁRSONY István DSc, H-1525 Budapest, Konkoly-Thege M. út 29-33, Tel.:+361-3922225, Fax:+361-3922226

MFA Nyári Iskola Középiskolásoknak

dr. MÁRK Géza István #02E - SCHRÖDINGER MACSKÁJA, kvantum főnix és hasonló állatok, avagy hullámcsomag dinamika az Interneten - Nanoszerkezetek Oszt.
Témavezető 1.: dr. MÁRK Géza István, Tel.:392-1315, Épület:26., Szoba:21/b., E-mail:mark@sunserv.kfki.hu,mark.geza.istvan@ttk.mta.hu, GEarth:(KFKI_26)
VANCSÓ Péter #02E - SCHRÖDINGER MACSKÁJA, kvantum főnix és hasonló állatok, avagy hullámcsomag dinamika az Interneten - Nanoszerkezetek Oszt.
Témavezető 2.: VANCSÓ Péter, Tel.:392-1316, Épület:26., Szoba:21/b., E-mail:vancso@mfa.kfki.hu,vancso.peter@ttk.mta.hu, GEarth:(KFKI_26)

Tartalomjegyzék:
  • Bevezetés
  • A hullámfüggvény
  • A Schrödinger egyenlet
  • A számítógépes szimulációk fontossága
  • A potenciális energia
  • Web-Schrödinger
  • A diákok által megoldandó feladatok
  • A hullámcsomag dinamikai módszer
  • Paraméterek
  • Alagúteffektus
  • Tiltott és megengedett sávok
  • A kvantum főnix
  • Összefoglalás
  • Irodalom
  • Kvantum szimulációs honlapok

  • Bevezetés:
    Az emberiség ezekben az években lép be a nanovilágba [
    1]. Ahogyan az 1. ábrán láthatjuk, a nanofizikában alkalmazandó méret- és időtartomány igen távol esik a szokásos emberi életünk méret- és időskálájától, de a legfontosabb különbség az, hogy az elektronok mozgásának, az atomok és molekulák tulajdonságainak leírásához a klasszikus fizika törvényei (már) nem elegendőek, a kvantummechanika alkalmazására van szükség. A kvantummechanika ismerete alapvető fontosságú, hogy megértsük a körülöttünk lévő természetet és technikai eszközöket, azok működését.

    1. ábra. A tér- és időskála a nanovilágban, az emberi világban és a makrovilágban. Érdekes felfigyelni rá, hogy az emberi skála a nano- és makroskála között nagyjából középen helyezkedik el.

    A 21. század elején az embereket a mindennapokban körülvevő modern technikai eszközök [2] - például tranzisztor, lézer - működésének megértésénél is nélkülözhetetlenek a kvantummechanikai ismeretek. A kvantummechanika oktatása talán az egyik legnehezebb feladat a fizika tanítása során, a szükséges fogalmak (például hullámfüggvény, ld. alább) absztaktsága és a felhasznált matematikai apparátus (operátorok, parciális differenciálegyenletek, stb.) bonyolultsága [3] miatt. Ha meggondoljuk, a klasszikus fizika fogalmainak és törvényeinek megértésénél is nagy segítségünkre vannak hétköznapi tapasztalataink, a bárki által könnyen elvégezhető kísérletek. Ezzel szemben a kvantummechanika mérettartományában végezhető mérések többnyire közvetettek és csak nehezen értelmezhetőek.

    A hullámfüggvény:
    A klasszikus mechanika alapjait sir Isaac Newton fektette le, a "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" című, 1687-ben megjelent könyvében - ami a világ egyik legnagyobb hatású könyvének bizonyult. A klasszikus mechanika első lépésként egy tömegpont mozgását vizsgálja. Tömegpontnak nemcsak egy szélfútta porszem tekinthető, de akár még a Föld is, amikor a Nap körüli keringését vizsgáljuk. Newton törvényei szerint a tömegpont gyorsulását a rá ható erők eredője határozza meg. Ha ismerjük az a(t) gyorsulást (az idő függvényében), ebből a v(t) sebesség és az x(t) helykoordináta már az idő szerinti egyszerű integrálásokkal származtathatók:
    , illetve
    Ha a tömegpont nem egy egyenes mentén, hanem 3 dimenzióban mozog, akkor a helyzetét az r(t) időfüggő helyvektorral lehet megadni, ahol r(t)=(x(t),y(t),z(t)).
    A kvantummechanika szerint bonyolultabb a probléma, ugyanis általában nem lehetséges egy tömegpont helyének az egzakt és egyértelmű megadása (még a tömegközéppontté sem!), hanem csak azt, hogy a különböző helyeken mekkora valószínűséggel található meg! Ezt a jelenséget kísérletileg is vizsgálhatjuk, például egy régi TV képcsőhöz hasonló szerkezet segítségével. Egy elektronforrásra (pl. izzított fémdrót) és egy fluoreszkáló ernyőre van csak szükség, no és persze vákuumra. Ha az elektronforrás intenzitása nagy, akkor az ernyőn egyetlen fényes és nagy fényfoltot fogunk látni. A fényfolt a közepén lesz a legfényesebb, a széle felé meg halványodik. Ha viszont elegendően kicsire vesszük az elektronforrás intenzitását, akkor az ernyőn nem lesz mindenhol egyenletesen halványabb a fényfolt, hanem egyedi, pontszerű felvillanásokat fogunk tapasztalni - az egyes elektronok becsapódásának helyén. A kvantummechanika szerint nem lehet előre biztosan megmondani, hova és mikor fog egy-egy elektron becsapódni, hanem csak azt lehet teljesen pontosan kiszámítani, hogy az ernyő egyes helyeire mekkora valószínűséggel érkezik majd elektron. Ezért ha az ernyő elő állítunk egy fényképezőgépet és elég hosszú, mondjuk 1 perces expozícióra kinyitjuk a zárat, akkor a fényképen végül is egy nagy, folytonos intenzitásúnak látszó fényfoltot fogunk látni (az egyedi fényvillanások eredőjeként) amely a közepén lesz a legfényesebb (ti. itt legnagyobb az elekronok becsapódási valószínűsége, ezért ide is csapódik be a legtöbb elektron), a széle felé pedig halványul (mert csökken a becsapódási valószínűség). A kvantummechanikában azt, hogy egy tömegpont megtalálási valószínűsége az egyes helyeken mekkora, a ρ(x,y,z) függvénnyel jelöljük - rövidítve ρ(r)-ként írható, ahol r az (x,y,z) helyvektor.

    2. ábra. A 2-réses kísérlet a klasszikus fizikában. Az akadályon lévő két nyílás mögötti helyekre jut el legtöbbször a labda a túloldali falon, habár néha más pontokba is eljuthat.

    Ezzel azonban a kvantummechanika furcsaságainak még nincs vége! Feltétlenül számításba kell vennünk az interferencia jelenségét is! Ezt a 2. és 3. ábra szemlélteti az ún. "2-réses kísérlet" példáján. Legyen adott egy fal, melyen mindössze 2 nyílás van. A fal előtt egy pingpongozó áll, aki sokszor egymás után, véletlenszerű irányban, nekiüti a labdát a falnak. A lyukas fal túlsó oldalán egy másik sík fal is található (nevezzük ezt "vizsgáló fal"-nak) amelyen azt figyeljük meg, hogy ennek az egyes pontjaira milyen gyakorisággal jut el a labda. Ahogy az 2. ábrán látható, a labda sok esetben visszapattan, de időnként átjut valamelyik nyíláson át a kettő közül - az A, vagy a B nyíláson. A "vizsgáló falon" ezek mögött a nyílások mögött fogjuk legtöbbször látni a labda nyomát, habár néha a labda "gellert kap" a nyílás szélén és más pontokba is eljut. (A gravitációtól most tekintsünk el, vegyük úgy, hogy nagyon gyorsan ütik meg a labdákat - de ha figyelembe vennénk, az sem változtatna a lényegen.) Mondhatjuk, a pingponglabda nagyjából úgy haladna, mint a fénysugarak a geometriai optikában. Valóban, ha egy ernyőt, amelyen lyuk van, megvilágítunk, a lyuk mögötti részen világosságot látunk, másutt pedig sötétséget.

    Ha ugyanezt a kísérletet elektronokkal végezzük el - mint azt a 3. ábrán mutatjuk -, akkor más eredményt fogunk kapni, amelyet az animáció mutat be. (Ezen az ábrán egy vonalszerű elektronforrás - pl. egy hosszú, izzó fémdrót - hatását szemléltetjük, a két nyílás is egy-egy hosszú rés a falon.)

    Két jelenséget figyelhetünk meg:

  • Az elektronok egyenként, egyedi fényfelvillanásokat okozva csapódnak be az ernyő véletlenszerű helyeire - mint az imént ismertettük.

  • Az ernyőn a fényvillanásokból egy furcsa mintázat alakul ki: egyrészt a két rés közé, azaz középre is sok elektron jut, másrészt lesznek olyan helyek is, ahová meg egyáltalán nem jut részecske!


  • 2-réses interferencia
    3. ábra. A 2-réses interferencia kísérlet elektronokkal és vonalszerű elektronforrással.


    A "furcsa mintázat" az ún. "kvantummechanikai interferencia" nevű jelenség eredménye. Azért nevezzük a jelenséget interferenciának, mert ha hullámokkal, például fényhullámokkal, vagy akár vízhullámokkal (4.a. ábra) végezzük el a kétréses kísérletet, akkor teljesen hasonló eredményre jutunk. Azokban az esetekben a hullámok (elektromágneses-, illetve vízhullámok) interferenciája eredményezi a sajátos intenzitás-eloszlást. A 4.b ábra szerinti módon, ha csak az "A" rés van nyitva, akkor csak az "A" rés mögött látunk egy megvilágított sávot, ha pedig csak a "B" rés van nyitva, akkor csak a "B" rés mögött. De ha mindkét nyílást kinyitjuk, akkor az ernyőn egy különös csíkozat, az ún. interferencia mintázat jelenik meg! Az interferencia jelenségének megfigyeléséhez szükséges, hogy a rések távolsága a hullámhossz nagyságrendjébe essen. Fényhullámok esetében tehát csak legfeljebb néhány mikrométer (1 mm=10-6 m) nagyságrendű távolságra lehet egymástól a 2 rés, mivel a fényhullámok hullámhossza l = 0.4-0.7 mikron.

    Gondos mikrofizikai megfigyeléseink, és az azokat leírni hivatott kvantummechanika szerint a tömegpontok is úgy viselkednek, mint egy-egy hullám! Ezt a törvényszerűséget Louis de Broglie herceg ismerte fel még 1924-ben. Úgy is szokták ezt fogalmazni, hogy a kvantummechanika szerint a részecskéknek ún. "kettős természetük" van: részecskék is, de hullámok is! Azaz, miközben az elektron terjed, hullámként viselkedik (interferál önmagával), de amikor végül becsapódik az ernyőbe, már részecskeként viselkedik (azaz egy meghatározott pontba érkezik).

    4. ábra. Kétréses kísérlet vízhullámokkal (a) és fényhullámokkal (b). A (b) ábra három esetet mutat be: amikor csak az "A" rés van nyitva, amikor a "B" rés és amikor mindkettő egyszerre.


    Az interferencia jellege - hogy kioltás van-e, vagy erősítés - a hullámok esetén a fáziskülönbségtől függ: ha hullámhegy hullámheggyel találkozik, akkor erősítés van, ha hullámhegy hullámvölggyel, akkor kioltás (ez lehet részleges is). Ezért a kvantummechanikai állapot teljes leírásához nem elegendő, ha csak azt tudjuk, hogy hol mekkora valószínűséggel található a tömegpont, hanem azt is tudnunk kell, hogy hol, milyen a fázisa! Matematikailag ez azt jelenti, hogy nem elég a korábban bevezetett ρ(r) függvény, hanem egy ψ(r) (pszi) függvényre lesz szükségünk, ahol ψ egy komplex szám, melynek nemcsak nagysága, de fázisa is van, ρ pedig ennek a ψ komplex számnak a nagysága.
    A ψ(r;t) függvény neve hullámfüggvény. (A "t" időt azért írtuk bele a függvény argumentumába az r helyvektor mellé, mert általános esetben a tömegpont állapota az időtől is függ, vagyis időben változik. A kvantummechanika szerint a ψ hullámfüggvény teljes információt ad a vizsgált fizikai rendszer állapotáról, vagyis a hullámfüggvényből a rendszeren valóságosan elvégezhető bármely mérés eredménye megjósolható. Azaz, bármilyen fizikai mennyiséget (helyet, lendületet, energiát, stb.) is akarjunk megmérni, elvileg pontosan ki tudjuk számítani, hogy milyen eredményt milyen valószínűséggel fogunk kapni, és ugyanabból a kiinduló állapotból senki sem juthat, jobb, vagy teljesebb eredményre. Sok ez, vagy kevés? Pl. nem tudjuk megmondani biztosan, hogy egy adott elektron mikor és hol csapódik be a fluoreszkáló ernyőbe (csak ennek valószínűségét), de a kvantummechanika még így is lehetővé teszi bonyolult fizikai, kémiai, sőt biológiai rendszerek megértését és új technikai eszközök építését. Kvantummechanikai számításokon alapul a modern gyógyszervegyészettől kezdve a tranzisztorok tervezéséig modern életünk számos része.

    A Schrödinger egyenlet:
    A dinamika feladata az, hogy meghatározzuk egy mechanikai rendszer (legegyszerűbb esetben egy tömegpont) állapotának időbeli változását. Ehhez egy ún. "mozgásegyenlet"-re van szükségünk. A klasszikus mechanika mozgásegyenlete Newton II. törvénye, az F=ma összefüggés. Ennek segítségével tudjuk kiszámítani, hogy adott erők hatására hogyan mozog a részecske - azaz megkapjuk az r(t) függvényt. A kvantummechanikában olyan mozgásegyenletre van szükség, amelyből a ψ(r;t) hullámfüggvény időbeli változását tudjuk kiszámítani. Ezt az egyenletet 1927-ben állította fel Erwin Schrödinger, a formája pedig a következő:

    Ez tehát az az egyenlet, amely mai ismereteink szerint az atom- és molekulafizika, a szilárdtestfizika, sőt a kémia és a biológia összes (nemrelativisztikus) jelenségét alapvetően leírja. Következményeit számtalan kísérlet igazolta az egyenlet megalkotása óta eltelt, több, mint 80 év folyamán.
    E helyen sajnos nincs módunk a Schrödinger egyenlet részletes ismertetésére, csak annyit mondunk róla, hogy az egyenlet bal oldalán a hullámfüggvény időbeli (első) parciális deriváltja áll, a jobb oldalon pedig maga a hullámfüggvény és az ún. H Hamilton operátor. Utóbbi operátor konkrét alakjában van benne az az információ, hogy mi is a konkrét fizikai rendszer, ezért bonyolult fizikai rendszereknél a Hamilton operátor is igen bonyolult lehet. Matematikai szempontból az operátor egy függvényre ható függvény, amely eredményül is függvényt ad, tehát nem más, mint egy valamilyen függvény. Másszóval a Schrödinger egyenlet azt mondja meg nekünk, hogy ha ismerjük egy adott t időpillanatban a hullámfüggvényt (ψ(r;t)) és a fizikai rendszert (), akkor milyen lesz a hullámfüggvény időbeli deriváltja egy-egy pillanatban, azaz a ψ(r;t) változásának sebessége az r helyen. Ezért a Schrödinger egyenlet integrálásával megkaphatjuk a hullámfüggvény időbeli fejlődését a teljes időskálára.

    A számítógépes szimulációk fontossága a kvantummechanikában:
    Látható tehát, hogy a kvantummechanika matematikai nyelvezetének megértése nem egyszerű feladat, és további probléma, hogy a jelenségeket nem lehet közvetlenül a mindennapi tapasztalataihoz kapcsolni (ψ(r;t) komplex értékű függvény!), a mérések pedig mindig közvetettek: maga a hullámfüggvény nem mérhető, csak a belőle származtatható bizonyos, ún. megfigyelhető mennyiségek. Ahhoz, hogy mégis szemléletes képet tudjunk adni a Schrödinger egyenlet "működéséről", egy nagyon hasznos eszközt használhatunk fel, a számítógépes szimulációt! A mai személyi számítógépek sebessége és tárolókapacitása már bárki számára lehetővé teszi egyszerű kvantummechanikai rendszerek numerikus vizsgálatát. Ha például a háromdimenziós hullámfüggvényt egy x,y,z-ben egyaránt 256 pontból álló felosztáson modellezzünk, akkor a hullámfüggvény (duplapontos komplex) tárolásához 256 Megabyte tárolókapacitás szükséges - egy mai köznapi PC-ben pedig általában több, mint 1024 Megabyte memória található! Ha a számítást 2 dimenzióra korlátozzuk és/vagy kihasználjuk az adott rendszer szimmetriáit, akkor még kevesebb memória is elegendő a számításokhoz.

    mechanikai energia
    5. ábra. A sebességtől függő mozgási energia és a helytől függő helyzeti (kék vonal) energia összege adja - konzervatív erőtér esetén - a teljes mechanikai energiát. Zárt rendszer esetén a teljes energia állandó (barna vonal). A függőleges szaggatott vonallal rajzolt nyilak azt mutatják, hogy az egyes helyeken mekkora a mozgási energia.


    A potenciális energia:
    A klasszikus mechanikában ha ismerjük az F(x) erőteret, ki tudjuk számítani a tömegpont mozgását az F=ma Newton féle mozgásegyenletből. Ha pedig ismerjük az a(t) gyorsulást, mint az idő függvényét, ebből a v(t) sebesség és az x(t) helykoordináta idő szerinti integrálással származtatható:
    , illetve
    Konzervatív erőtér esetén bevezethetjük a helyzeti (potenciális) energia fogalmát. Ekkor a rendszer teljes mechanikai energiája a mozgási (kinetikus) energia és a potenciális energia összege. A mozgási energia a sebességtől, a helyzeti energia pedig a helytől függ, ahogyan azt az 5. ábrán láthatjuk. Az ábra szemléletesen mutatja, hogy (mivel a teljes energia konstans), azokon a helyeken, ahol kicsi a helyzeti energia, nagy lesz a mozgási energia, azokon a helyeken pedig, ahol nagy a helyzeti energia, kicsi lesz a mozgási energia. Megtapasztalhatjuk ezt a jelenséget egy hullámvasúton ülve is. A menet elején felhúzzák a hullámvasút kocsiját a pálya legmagasabb pontjára és egy lejtős, 3 dimenzióban kacskaringós sínpályán elengedik. Ahogy a kocsi leszalad egy "völgybe", egyre jobban begyorsul, de mikor ismét egy "hegyre" fut föl, újra lelassul. (Lásd az
    animációt, amely a Budapesi Vidámpark régi hullámvasútján készült!)

    A 6. ábra azt mutatja be, milyen kapcsolatban van egymással a középiskolás fizikából jól ismert F(x) erő és a V(x) potenciális energia. Ahol a potenciál növekszik, ott a mozgás irányával ellentétes irányú erő hat a tömegpontra, azaz lassul a mozgás (mikor a hullámvasút kocsija a "hegyre" fut föl), ahol pedig a potenciál csökken, ott a mozgás irányába hat az erő, azaz gyorsul a mozgás (mikor a hullámvasút kocsija a "völgybe" szalad le). Minél gyorsabban változik a potenciál, annál nagyobb abszolút értékű az erő. Mindez úgy fogalmazható meg matematikailag, hogy az F(x) erőfüggvény a V(x) potenciálfüggvény x szerinti első deriváltja, szorozva mínusz eggyel.




    erő és potenciál
    6. ábra. Az erő és a potenciális energia kapcsolata. A fölső kék görbe az Epot=V(x) potenciális energiát mutatja a hely függvényében, a lila függőleges nyilak a mozgási energia nagyságát mutatják egyes jellegzetes pontokban (miközben a teljes mechanikai energia állandó). A piros nyilak azt mutatják, hogy melyik tartományokban milyen irányba hat az erő. Az alsó kék görbe az erő a hely függvényében.

    Vajon mi történik, ha van olyan térrész, ahol V(x)>Emech, azaz, ha a potenciális energia nagyobb, mint a teljes energia? Ahogy a részecske egyre "mászik föl a potenciálhegyen", azaz egyre közeledik ahhoz az xhatár ponthoz, ahol V(xhatár)=Emech, egyre csökkenni fog a mozgási energiája. A határpontban teljesen elfogy a mozgási energia, nullává válik a sebesség. Viszont mivel a potenciális energia görbe emelkedő tendenciát mutat ezen a helyen, az F(xhatár) negatív. Tehát a részecske csak egy röpke pillanatra áll meg (az ún. "holtponton"), majd azonnal visszafordul és ismét "leszalad" a potenciálhegyen. A 7. ábra mutatja be ezt a helyzetet, a rózsaszínnel színezett x tartományba sohasem lép be az Emech energiájú részecske. Ezért ezt a tartományt klasszikusan tiltott tartománynak (vagy potenciálfalnak) nevezzük. Maradva a korábbi hullámvasútas példánál: ha a hullámvasút kocsijának, miközben fölfelé "mászik" egy "potenciálhegyre", elfogy a mozgási energiája (például a súrlódás miatt), akkor nem éri el a potenciálhegy tetejét, hanem megáll és visszagurul.

    klasszikusan tiltott tartomány
    7. ábra. A klasszikusan tiltott tartomány. A kékkel jelzett V(x) potenciális energia függvény a rózsaszínnel jelzett x tartományon nagyobb értéket vesz föl, mint a barnával jelzett teljes mechanikai energia. Ezért ebbe a (rózsaszínnel jelzett) tartományba nem tud belépni a részecske, bármelyik irányból is közelít, a tartomány határán (ahol V(x)=Emech) vissza kell fordulnia - ahogyan a kék nyilak mutatják.


    alagúteffektus
    8. ábra. A klasszikus fizika szerint a (piros ponttal jelölt) tömegpont nem tud áthatolni a (szürkével jelölt) potenciálfalon. A kvantummechanika szerint viszont bizonyos (kiszámolható) valószínűséggel át tud hatolni rajta.

    A kvantummechnika azonban mást mond. A kvantummechnika szerint a részecske behatolhat a tiltott tartományba, sőt át is haladhat rajta, ahogy ezt a 8. ábra viccesen szemlélteti. Olyan, mintha a részecske valami "alagutat" talált volna a potenciálhelyben, ezért hívjuk ezt a különös jelenséget alagúteffektusnak. Hogy akkor miért nem tapasztaljuk a mindennapi életben, hogy a falnak dobott labda áthatolhat a falon, a fal megsérülése nélkül? Megérthetjük, ha kiszámoljuk az alagutazás valószínűségét. A kvantummechanika szerint az alagutazás csak egy bizonyos P valószínűséggel következik be (ahol P<1), azaz, ha sokszor, N alkalommal nekimegy a részecske a potenciálfalnak, akkor átlagosan csak P*N alkalommal halad át, (1-P)*N alkalommal pedig visszapattan. (Azaz, ha például P=0.001, akkor 1000 próbálkozásból egyszer halad át és 999-szer visszapattan.) Ez az alagutazási valószínűség viszont a potenciálhegy magasságától és vastagságától (milyen széles a tiltott tartomány x-ben) nagyon erősen függ. Képletben ezt egy úgynevezett derékszögű potenciálra - amilyent a 9. ábrán is láthatunk - lehet a legegyszerűbben kifejezni:

    derékszögű potenciálfal
    9. ábra. Derékszögű potenciálfal. A potenciálfal szélessége d, magassága V0. A bal oldali nyíl a bejövő részecskét mutatja, az '1-P' feliratú nyíl jelzi, hogy a részecske 1-P valószínűséggel visszaverődik, a P feliratú nyíl pedig, hogy a P valószínűséggel áthalad a potenciálfalon.

    Ebben a képletben az "alfa" jel az arányosságra utal, ezért a képlet szerint a P átmeneti valószínűség exponenciálisan csökken, amikor a potenciálgát d vastagsága növekszik és akkor is, ha a V0 magassága növekszik! A nanofizikában előforduló potenciálhegyekre (ahol nagyságrendileg d=1 nm) a P átmeneti valószínűség jelentős értékű lehet, például P=0.5, ami azt jelenti, hogy minden második esetben átalagutazik a részecske. Ám makroszkopikus, centiméter, vagy méter vastagságú falakra nézve az átmeneti valószínűség igen kicsiny, gyakorlatilag elhanyagolható értékű - mivel az exponenciális függvény értéke nagyon gyorsan tart nullához d növekedésével. Azaz, ha egy labdát dobálunk másodpercenként egy falnak, az Univerzum fennállásának 20 milliárd éves ideje sem lenne elegendő ahhoz, hogy egyszer alagúteffektussal átmenjen a falon. (Sokkal előbb kopna el a labda és a fal is...)
    Ezek után azt hihetnénk, hogy az alagúteffektussal a hétköznapi életben egyáltalán nem is találkozhatunk. De nem ez a helyzet! Ha például egy villásdugót bedugunk a konnektorba (10. ábra), akkor ugye azt tapaszaljuk, hogy folyik az áram. Természetesnek vesszük, pedig, ha belegondolunk, nem is annyira nyilvánvaló. Ugyanis a fémek felületén a szabad levegőn mindig van egy valamennyi oxid réteg, és ezek az oxidok kevés kivételtől eltekintve szigetelők! Ha pedig a külső oxid burkolat szigetelő, akkor a klasszikus fizika szempontjából nézve nem szabadna rajta áthaladnia az elektronoknak! A kvantumfizika mást mond. Minthogy az oxid vékony (néhány nanométeres, azaz néhány atomnyi a vastagsága) az elektronok az alagúteffektussal át tudnak hatolni rajta!
    10. ábra. Villásdugó és konnektor. Ha bedugjuk, folyik az áram. Ki hinné, hogy ezt is köszönhetjük az alagúteffektusnak!

    Egy másik példát is bármikor láthatunk, ha felnézünk az égre (ld. az animációt). A Napban ugyanis úgy szabadul fel az energia, hogy a hidrogén atomok összeütköznek, magjaik fúziós folyamattal héliummá egyesülnek és eközben energia szabadul fel. Ám a hidrogén atommagoknak (vagyis a protonoknak) pozitív a töltése, így taszítják egymást. Ahhoz, hogy egyesülni tudjanak, igen nagy erővel kell "egymásba lőni" a 2 protont, hogy legyőzzük az elektrosztatikus taszítást. Azt gondolhatnánk, a Nap belsejében fennálló sok millió fokos hőmérséklet elegendő ahhoz, hogy a hőmozgás következtében olyan erősen ütődjenek egymáshoz a protonok, hogy már képesek legyenek egyesülni (fuzionálni). Ám a pontos számítások szerint a Napban ehhez egyszerűen nincs elég meleg! Mégis, valamiért világít a Nap. Ennek magyarázatát is az alagúteffektus adja (ld. az animációt): ha elegendő közel jutnak egymáshoz a protonok, akkor a köztük lévő (elektromos) potenciálgáton át tud alagutazni a proton - és így létrejöhet a fúzió.

    Web-Schrödinger:
    Az MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet Nanoszerkezetek Osztályán, belga kutatókkal együttműködésben kifejlesztett Web-Schrödinger egy olyan interaktív számítógépes szimuláció, amely szemléletessé teszi az időfüggő Schrödinger egyenlet megoldását. A numerikus számítás maga egy alkalmazásszerveren fut, így a felhasználónak nem kell telepíteni semmit sem a saját számítógépére, hanem egyszerű web-böngésző segítségével használhatja a programot a
    http://www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/index.html címen. A program interaktív voltából adódóan a felhasználó betöltheti az előre elkészített példákat, és tetszése szerint változtathatja azok beállításait, továbbá készíthet teljesen új példákat is, melyek elmentése szintén lehetséges. Ahhoz, hogy megértsük hogyan "kormányozhatja a hullámfüggvényt" a felhasználó a szimuláció során, kicsit részletesebben meg kell ismerkednünk a programmal.

    A szimuláció három lépésből áll:

  • Először meg kell határoznunk a ψ0(r) kezdőállapot- és a V(r) potenciálfüggvényeket, majd beállítanunk néhány számolási paramétert, mint például a szimulált időintervallumot.

  • Ezután a program kiszámítja a hullámfüggvény időbeli fejlődését.

  • Végül megjeleníti a megtalálási valószínűség időbeli fejlődését.


  • A diákok által megoldandó feladatok:
    A Nyári Iskola alatt a diákoknak lehetőségük lesz élőben kipróbálni a kvantummechanika működését a Web-Schödinger program segítségével. Szimulációk segítségével tanulmányozni fogjuk a legalapvetőbb kvantummechanikai jelenségeket (hullámcsomag szétfolyása, alagutazás, energiasávok, stb). Olyan példákat is tanulmányozhatnak, amelyek tényleges tudományos jelentőséggel bírnak a nanofizikában, például a pásztázó alagút mikroszkóp (STM) szimulációját.
    Az alábbiakban röviden bemutatjuk a Web-Schrödinger programot és néhány jellemző alkalmazását.

    A hullámcsomag dinamikai módszer:
    Erwin Schrödinger 1926-ban [
    4] azzal a céllal alkotta meg a kvantummechanikai hullámcsomag fogalmát, hogy hidat építsen a klasszikus és a kvantummechanika között. A hullámcsomag egy térben lokalizált hullámfüggvény, azaz olyan kvantumállapotot ír le, amikor a részecske nagy valószínűséggel egy adott pont közelében található. A Schrödinger egyenletből levezethető, hogy a hullámcsomag tömegközéppontja jó közelítéssel úgy mozog, mint egy klasszikus tömegpont, ha a potenciál lassan változik a hullámcsomag méretéhez képest. A hullámcsomag leggyakrabban alkalmazott formája a Gauss hullámcsomag - a Web-Schrödinger program is ezt használja kezdőállapotként:

    ahol a hullámcsomag hullámszámvektora, l a de Brogile hullámhossz, "a" pedig a hullámcsomag szélessége - minél nagyobb "a", annál szélesebb a hullámcsomag. Az n vektor a részecske haladási irányát adja meg, N pedig egy normálási faktor. A hullámszám a részecske lendületéből így számítható ki: , , ahol "h" a Planck állandó. r0 adja meg a részecske helyét - a negatív kitevőjű exponenciális függvény miatt ezen a helyen maximális a ψ hullámfüggvény abszolút értéke, r0-tól távolodva gyorsan csökken. Mivel ρ=|ψ|2 adja a megtalálási valószínűségsűrűséget a hely függvényében, azonnal láthatjuk, hogy a Gauss hullámcsomag valóban lokalizált állapotot ír le: a részecske megtalálási valószínűsége az r0 pontban a legnagyobb, attól távolodva meg rohamosan csökken. Mint azt korábban leírtuk [5], a hullámcsomag dinamikai módszerben egy adott potenciáltérben vizsgáljuk a hullámcsomag mozgását (szimulált szóráskísérletként). Ennek szemléltetése pedig kiemelkedő fontosságú, ugyanis segít elképzelni, hogyan terjed egy elektron, mi történik, ha potenciálgáttal érintkezik, hogyan megy végbe a kölcsönhatás, stb.

    Paraméterek:
    Elsőként a felhasználó a számolási doboz méretét, illetve annak felosztását tudja beállítani. Jellegzetes nanofizikai alkalmazásoknál a számolási doboz mérete néhány nanométer, a felosztást pedig úgy kell megadni, hogy a szimulációban előforduló de Broglie hullámokat jól mintavételezze. Elekronvolt nagyságrendű energiáknál ez - elektronra - 0.01-0.1 nm lépésközt jelent.
    A második lépés a potenciálfüggvény megadása, voltaképpen ezzel határozzuk meg azt a fizikai rendszert, amelyet vizsgálni akarunk. A különböző potenciálokkal vagyunk tehát képesek különböző jelenségek szemléltetésére, mint például az alagutazás folyamata, a tiltott és megengedett sáv kristályokban, dobozba zárt részecske, stb.
    Háromfajta potenciál "építőkocka" közül választhatunk, a kör, a téglalap és a félsík, melyeket tetszőleges módon és számban helyezhetünk el a számolási dobozban, természetesen értékeik megadásával, ezáltal széles alkalmazási spektrumot kínálva a felhasználónak. A 11. ábrán, amely egy, a programból kimentett képernyőkép, láthatjuk, hogyan lehet bonyolult potenciálokat is egyszerűen felépíteni a programmal: ezen a képen egy szén nanocső pásztázó alagútmikroszkópos leképezésének szimulációjánál használt potenciált [
    5] mutatunk be. A 11. ábrán az STM tű - nanocső - hordozó felületnek a csőre merőleges keresztmetszetét láthatjuk: az alsó fekete félsík a hordozót, a középső gyűrű a nanocsövet (mely a Van der Waals potenciálon "lebeg" a hordozó fölött, kb. 0.335 nm távolságra), a fölső félsík a félkör alakú kiemelkedéssel az alagútmikroszkóp tűjét szimulálja. Az STM leképezésnek ezzel az egyszerű, geometriai modelljével számos kísérleti eredmény vált értelmezhetővé, melyekről részletesen az alábbi cikkekben lehet olvasni [5,6,7].

    Web-Schrödinger 2.0
    11. ábra. STM tű - szén nanocső - hordozó felület potenciál konstrukciója a Web-Schrödingerben - a Web böngésző ablakából kimentett képernyőkép. Láthatjuk, hogyan lehet összerakni az STM leképezés szimulációjához használt potenciált a különféle objektumokból. A jobboldali kép az így elkészült potenciált mutatja: a fehér szín a nulla potenciál, a fekete -9.81 eV, ezt a potenciálkád mélységet a grafit Fermi energiájából és kilépési munkájából számítottuk ki, ld. [5]. A nanocső átmérője 1 nm, ez megfelel egy tipikus egyfalú szén nanocső átmérőjének. A méreteket a programban Angströmben (1 A = 0.1 nm), az energiákat elektronvoltban kell megadni.

    A következő lépés a kezdeti hullámcsomag paramétereinek megadása. Itt tudja a felhasználó a hullámcsomag kezdeti helyét, kinetikus energiáját, szélességét és még egyéb, ehhez kapcsolódó adatokat beállítani. Végül a már említett számolási lépésközt (δt) és a szimulált időtartamot adhatjuk meg. A számolás eredményét a program képek formájában jeleníti meg (a "results" menüpontban). A képeken a megtalálási valószínűségsűrűség, időfüggése látható. Megismerkedvén a lehetőségeinkkel, alább pár példával szeretnénk bemutatni a program működését (ezek amúgy szintén megtalálhatóak a program "példák" menüpontja alatt).

    Alagúteffektus:
    A klasszikus fizika törvényei szerint egy E energiával rendelkező részecske nem tud behatolni V>E potenciállal rendelkező térrészbe, ez számára ugyanis tiltott tartomány. Ennek szemléletes példája a mély gödör alján lévő, abból kigurulni nem tudó labda esete. A kvantummechanika azonban mást mond: hullámtulajdonságából kifolyólag a részecskének van egy véges valószínűségű esélye arra, hogy áthaladjon az energiáját meghaladó "magasságú" potenciálfalon. Ezt a jelenséget nevezzük alagúteffektusnak, ennek nem egy megjelenési formájával találkozhatunk a természetben és a technikában, kezdve a radioaktív bomlástól, a villanykapcsoló működéséig A Web-Schrödingerrel most ezt a jelenséget szeretnénk bemutatni. A beállításokhoz, mint említettük, a kritérium, hogy a potenciálfal magassága legyen nagyobb a hullámcsomag energiájánál. Ekkor az áthaladási valószínűség jó közelítéssel: , ahol k paraméter a részecske tömegéből, energiájából, illetve a potenciál nagyságából számítható. Innen már látszik, hogy nem érdemes a potenciálfal szélességét túl nagyra választani, mert akkor az átjutás mértéke túlságosan is lecsökkenhet, ezáltal a jelenség kevésbé szemléletes. A példában a potenciál értéke, V=7eV , a kezdeti energia pedig, E=5eV. A potenciálfal vastagsága pedig d=2 Angström. Ezekkel az értékekkel az átmeneti valószínűségre T=0.17 értéket kapunk a fenti képletből, a visszaverődési valószínűség meg eszerint R=1-T=0.83.

    hullámcsomag alagutazása
    12. ábra. Hullámcsomag alagutazása, a ρ(x,y,t) megtalálási valószínűségsűrűség függvény különböző időpillanatokra. A felülről lefelé haladó kezdeti hullámcsomag nekiütközik az E energiájánál nagyobb V0 magasságú potenciálfalnak. Az áthaladás valószínűségét (az alagutazást) a potenciálfal túloldalán megjelenő hullámcsomag mutatja, a potenciálfal felső oldalán pedig a visszavert hullámcsomagot láthatjuk. A vízszintes sötét sáv a potenciálfal. A szürkeskálájú ábrázolásban a sötétszürke jelenti a legnagyobb megtalálási valószínűséget, a fehér pedig a 0 megtalálási valószínűséget. Nemlineáris szürkeskálát alkalmaztunk, hogy a nagyobb és kisebb megtalálási valószínűség értékek egyaránt jól látszódjanak az ábrán.

    A megtalálási valószínűségsűrűség időfejlődése a 12. ábrán látható. Mivel a kezdeti hullámcsomagnak egy -y ("lefelé") irányú lendületet adtunk, megfigyelhetjük, hogy időfejlődése során a -y irányban is halad, amíg csak el nem éri a potenciálfalat. A további képek azt mutatják, ahogyan a hullámcsomag kölcsönhatásba lép a potenciálfallal, az utolsó kép pedig a kölcsönhatás lezajlása utáni végállapotot mutatja. A teljes folyamat 2.32 fs = 2.32x10-15 s időt vesz csak igénybe. A vízszintes csíkokat a visszavert és beérkező hullámok interferenciája okozza. Látható, hogy bár a részecske elég nagy eséllyel visszaverődik, mégis, bizonyos véges valószínűséggel át is juthat a potenciálfalon (szürke folt a potenciál túloldalán). Ilyen módon tehát szemléletes képét sikerült alkotnunk az alagutazás folyamatáról.

    Tiltott és megengedett sávok kristályokban:
    Az ideális kristály a térben szabályosan ismétlődő, azonos szerkezeti egységekből álló rendszer. Ha egy hullám, melynek hullámhossza összemérhető a kristály periodicitásával, kölcsönhatásba lép a kristállyal, akkor fellép a diffrakció jelensége. A diffrakció pedig erősen függ a hullámhossztól, ezáltal bizonyos hullámhosszú hullámok át tudnak hatolni a kristályon (megengedett sáv), míg mások visszaverődést szenvednek (tiltott sáv). Ha elektronok szóródnak, akkor ez a jelenség alakítja ki többek között az elektronok sávszerkezetét - ezen alapszik a félvezető eszközök működése is -, látható fény szóródása esetében pedig különböző színek megjelenését tapasztalhatjuk. Azokat a kristályokat, melyeken periodicitása a látható fény hullámhosszának nagyságrendjébe esik fotonikus kristályoknak nevezzük, és bizonyos ásványoknál és élőlényeknél ez okozza a színpompás megjelenést [
    8].

    A 13. ábrán bemutatott szimulációban a potenciálok megegyeznek, de a kezdeti állapotok energiái eltérőek, ezáltal szemléltetve a tiltott és megengedett sáv hatását. Láthatjuk, hogy a szimulációban a tiltott sáv esetén is van egy kis áthaladás és a megengedett sáv esetén is egy kis visszaverődés. Ez abból adódik, hogy a hullámcsomag nem egy ún. energia sajátállapot, azaz van egy bizonyos ΔE energiaszórása. Ezért a tiltott (megengedett) sávba eső hullámcsomag - kis valószínűséggel - mégis áthaladhat a kristály potenciálon. A hullámcsomag ΔE energiaszórását természetesen tetszőleges mértékben csökkenthetjük, de ez csak azon az áron lehetséges, hogy a Δr térbeli kiterjedését megnöveljük (azaz egyre inkább közelítünk a síkhullám határesetéhez). Ám a hullámcsomag térbeli kiterjedésének növelése megnöveli a szükséges számolási doboz méretet is.

    megengedett és tiltott sáv
    13. ábra. Megengedett és tiltott sáv. A felső sorban a bejövő hullámcsomag energiájának középértéke 10.61eV, amely a megengedett sávba esik, ezért a hullámcsomag áthalad a kristályon. Az alsó sorban az energia 14.88eV, ez egy, a tiltott sávba eső érték, ezért a hullámcsomag visszaverődik. Szürke színnel továbbra is a hullámcsomag megtalálási valószínűségsűrűségét ábrázoltuk, a sötét vonalak pedig a kristály periodikus potenciálját mutatják. A kristály ebben a szimulációban hét darab, 0.53 A vastag, 9.81 eV magas potenciálfalból állt, amelyek 5.3 A távol vannak egymástól. A szórási folyamat a kisebb energiájú hullámcsomag esetén lassabb.

    A kvantum főnix:
    A szabad térbeli kvantummechanikai hullámcsomag - azaz, ha a részecske nem hat kölcsön semmi mással - alapvető tulajdonsága az ún. szétfolyás, azaz a megtalálási valószínűség az idő előrehaladtával egyre nagyobb térrészre terjed ki. Megfelelő potenciál alkalmazásával azonban megfordíthatjuk ezt a folyamatot! Azt a jelenséget, amikor a kezdeti hullámcsomag időfejlődése folyamán újra kialakul a kezdeti állapot, quantum revival-nek (kvantumállapot újjászületésnek) nevezzük. Egy végtelen mély potenciáldoboz esetén a folyamat érdekessége még, hogy az a periódusidő, ami alatt a hullámfüggvény visszatér a kezdeti állapotába, független a kezdeti hullámcsomag paramétereitől, egyedül csak a doboz méretei határozzák meg, ami szöges ellentétben áll a klasszikus szemlélettel. Ezt nevezik revival-paradoxonnak. További részletek erről az következő cikkben találhatók [
    9]. Érdemes megemlíteni, hogy hasonló jelenség (az ún. Talbot effektus) már 1936 óta ismert az optikában!

    A kvantumállapot újjászületésének bemutatásához, mint említettük a "dobozba zárt részecske" modelljéből indulunk ki, melyben a hullámcsomag egy 2 dimenziós potenciálgödörbe van lokalizálva. ρ(x,y;t) időfejlődését láthatjuk a 14. ábrán, ahol a szimuláció teljes időtartama egy újjászületési periódus. Megfigyelhetjük, hogy a kezdeti hullámcsomag először elkezd szétfolyni, majd visszaverődik a potenciálfalról, interferencia mintázatok alakulnak ki. A szimuláció végére rekonstruálódik a kezdeti állapot. Ám a közbenső időkben is bámulatosan érdekes jelenséget figyelhetünk meg: az ún. többszörös (tört) újjászületéseket: a kezdeti hullámcsomag több példányban rekonstruálódik a potenciáldoboz különböző helyein. A többszörös újjászületések szimmetriaszerkezetét a V(r) potenciál szimmetriája szabja meg. Mivel a 14. ábrán a potenciál az x és y irányban szimmetrikus, a kezdeti hullámcsomag x és y irányban is megismétlődik. Láthatjuk, ahogyan a hullámcsomag szétfolyik, úgy egyre szélesebb lesz, de egyre alacsonyabb lesz a csúcsa. Fizikailag ez azt jelenti, hogy a kezdeti, jól lokalizált állapotban a hullámcsomag az r0 hely (az origó) kis környezetében található nagy valószínűséggel, de később már nagyobb térrészre tejed ki. A többszörös rekonstrukciók esetén, ha a rekonstrukció n-szeres, a maximális megtalálási valószínűség 1/n2 arányban csökken a kiinduló állapothoz képest.

    14. ábra. 7 nm széles dobozba zárt részecske időfejlődése látható a képeken, amely jól meghatározott idő - esetünkben 71 fs - után ismét felveszi a kezdeti állapotot, azaz újjászületik. Ennek az időnek a tört részeinél (1/2, 1/3, 1/4, ...) a tört újjászületések (2x-es, 3x-os, 4x-es) figyelhetőek meg. Az időfejlődést egy újjásszületési periódus (revival time) hosszúságban (TR=71 fs) szimuláltuk és TR/15 időközönként mintavételeztük. A 3/15 és 6/16 képeken az 5x-ős, az 5/15 képen a 3x-os újjászületést figyelhetjük meg. A mintázatok TR/2 időtől fordított sorrendben ismétlődnek. A kétszeres újjászületést nem látjuk, mert a TR/2 idő nem esik pontosan egyik időfelosztás pontra sem. De a 7/15 és 8/15 képeken megfigyelhetjük a hullámcsomag alakját a 2x-es rekonstrukció előtt és után kis idővel.


    A kvantum főnix jelenség egyáltalán nem csak az egyszerű Gauss hullámcsomagra működik! A 15. ábrán bemutatott szimulációban kezdőállapotnak egy olyan hullámcsomagot készítettünk, amely az "MFA" betűszóból áll (a Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet nevének rövidítése). Láthatjuk, hogy a számítógépes szimuláció szerint erre a bonyolultabb alakú hullámcsomagra is bekövetkeznek a részleges- és teljes újjászületések!

    15. ábra. A kvantum főnix (quantum revival) jelenség. A ψ0(x,y) kezdőállapotot az M,F,A betűkből alakítottuk ki, a V(x,y) potenciál pedig egy 29 nm széles dobozpotenciál. A részábrákon a ρ(x,y;t) megtalálási valószínűségsűrűséget ábrázoltuk színkódolással, kiválasztott, jellegzetes időpillanatokra, amelyeket a többszörös és teljes újjászületések közelében választottunk. A teljes újjászületés ideje TR=9.3 ps. Mindegyik részábrát egyenként normáltuk. A kék négyzet a dobozpotenciált mutatja..


    Összefoglalás:
    A hullámcsomag dinamikai szimulációk még a kvantummechanika filozófiai kérdéseit is segítenek megvilágítani az alagútjelenség példájának segítségével. Ugyanis a hullámcsomag, amíg nem éri el a potenciálgátat, egyenletesen halad és közben szétfolyik. A szétfolyás jelensége ellen még talán nem nagyon berzenkedik a klasszikus szemléletünk - annyi történik mindössze, hogy a részecske helyének "bizonytalansága" egyre nagyobb lesz. Ám az alagútjelenség lezajlása utáni végállapotban (12. ábra) azt láthatjuk, hogy a hullámcsomag 2 különálló részre oszlott, amelyek egyre távolodnak egymástól - azaz immár nem is 1, hanem 2 hely van, amelynek környezetében nagy valószínűséggel található meg a részecske. Nevezzük ezeket "A" (a potenciálfal egyik oldalán lévő) és "B" (a potenciálfal másik oldalán lévő) helynek. Az idő múlásával a 2 rész-hullámcsomag bármilyen messzire eltávolodhat egymástól. De mivel az egyrészecske hullámfüggvény valójában egyetlen tömegpont megtalálási valószínűségsűrűségét adja meg, a részecske vagy csak az "A" hely környezetében, vagy csak a "B" hely környezetében lesz majd megtalálható - viszont hogy melyik helyen is találjuk majd meg a részecskét, az csak akkor derül ki, ha megmérjük, hogy hol is van. Ám amint megmértük és pl. úgy találtuk, hogy az "A" (vagy a "B") oldalon van a részecske, abban a pillanatban határozottá (egyértelművé) válik, hogy tehát akkor a másik oldalon nincs! Az "A" és "B" helyeken történő részecske hely meghatározás akkor is antikorrelációt fog mutatni, ha a 2 mérés között a t=d/c időnél rövidebb idő telik el (ahol "d" a 2 hely távolsága és "c" pedig a vákuumbeli fénysebesség), ami azt a benyomást kelti, mintha c-nél nagyobb sebességgel tudna haladni a részecske felbukkanási helyét meghatározó információ. Ez azonban nincs így, mivel a részecske lokalizálódása az "A" vagy a "B" helyre nem egy pillanat műve, hanem legalább t=d/c időt igényel, hiszen minden szóbajöhető helyen párhuzamosan zajlik. Ezekről a kérdésekről lásd bővebben [
    10,11] Geszti Tamás cikkeit!




    Irodalom:
    [1] Gyulai József: "Az emberiség útja a nanovilág felé", Mindentudás Egyeteme előadás, 2003.; http://www.mfa.kfki.hu/mfa.video/Gyulai_MindenTudas_E.avi
    [2] Gyulai József: "Az anyagtudomány apoteózisa", Fizikai Szemle 46/8 (1996) 264.
    [3] D. F. Styer: "Common misconceptions regarding quantum mechanics", American Journal of Physics, 64, pp. 31-34, (1996)
    [4] E. Schrödinger: "Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweitere Mitteilung)", Ann. Phys 79(1926)489.
    [5] Márk Géza István: "Egy hullámcsomag kalandjai az alagútmikroszkópban", Fizikai Szemle 61/6 (2006) 190.
    [6] Márk, Géza, I.; Biró, László, P.; Gyulai, József: "Simulation of STM images of 3D surfaces and comparison with experimental data: carbon nanotubes", Phys. Rev. B 58, 12645(1998).
    [7] Márk,Géza,I.; Biró,László,P.; Lambin,Philippe: "Calculation of axial charge spreading in carbon nanotubes and nanotube Y-junctions during STM measurement", Phys. Rev. B 70, 115423-1(2004).
    [8] Rajkovits Zsuzsanna: "Szerkezeti színek az élővilágban", Fizikai Szemle 72/4 (2007).
    [9] Styer, Daniel F.: "Quantum revivals versus classical periodicity in the infinite square well", American Journal of Physics, Volume 69, Issue 1, pp. 56-62 (2001).
    [10] Geszti Tamás: "Párolt macska", Fizikai Szemle 1997/5.
    [11] Geszti Tamás: "Kvantum és klasszikus határán", Fizikai Szemle 2008/6.

    Kvantummechanikai szimulációkat tartalmazó honlapok címei:
    http://phet.colorado.edu/simulations/index.php?cat=Quantum_Phenomena
    http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
    http://titan.physx.u-szeged.hu/~serenyi/ph14hu/
    http://www.falstad.com/mathphysics.html
    http://www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/help_h.html
    http://webphysics.davidson.edu/applets/applets.html
    http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/
    http://natsim.net/en.html
    http://www.schulphysik.de/
    http://web.phys.ksu.edu/vqm



    ELÉRHETŐSÉGEK:
    Témavezető 1: dr. MÁRK Géza István, Tel.:392-1315, Bp. XII. Konkoly-Thege M. út 29-33, Épület:26., Szoba:21/b., E-mail:
    mark@sunserv.kfki.hu,mark.geza.istvan@ttk.mta.hu, GEarth:(KFKI_26)
    Témavezető 2: VANCSÓ Péter, Tel.:392-1316, Bp. XII. Konkoly-Thege M. út 29-33, Épület:26., Szoba:21/b., E-mail:vancso@mfa.kfki.hu,vancso.peter@ttk.mta.hu, GEarth:(KFKI_26)

    Utolsó frissítés: Sun, 03 May 2015 20:52:38 GMT, Számláló: